雙基地MIMO雷達多目標高精度跟蹤算法

張正言, 張劍云

(國防科技大學電子對抗學院, 安徽 合肥 230037)

0 引 言

陣列雷達通過綜合利用空間和時間信息處理技術提高了估計性能,多輸入多輸出(multiple-input multiple-output,MIMO)雷達進一步發展了這種技術,取得了更大的優勢,屬于新的雷達體制[1]。與傳統的相控陣雷達不同之處在于MIMO雷達各個發射天線的信號是正交的,而相控陣雷達則是相關的,因此MIMO雷達擁有空間分集,波形分集等優勢,等效于擁有更多的陣元,能夠探測更多的目標[2-5]。MIMO雷達按照陣元之間的距離可以分為統計MIMO雷達與相干MIMO雷達,相干MIMO雷達無需實現時間同步,因此工程上比統計MIMO雷達更容易實現,引起了眾多學者的關注。相干MIMO雷達根據收發基地是否分置劃分為單基地MIMO雷達和雙基地MIMO雷達,其中雙基地MIMO雷達具有雙基雷達與MIMO雷達的優點,作為本文研究的對象?，F有的MIMO雷達方面的文獻大部分都是定位方面的[6-9],而跟蹤方面的研究處于起始階段,且多數跟蹤算法性能較差,特別是低信噪比時算法性能急劇下降甚至失效。

文獻[10]將旋轉不變子空間(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法應用到雙基地MIMO雷達目標參數估計中,復雜度較低,但是由于沒有充分利用接收信息,估計性能有所下降,且需要額外的收發角度配對算法。文獻[11]介紹了多目標分類(multiple signal classification, MUSIC)算法在雙基地MIMO雷達中的應用,該算法屬于空間譜超分辨算法范疇,角度估計精度較高,收發角度自動配對,不需要額外配對算法。但是付出的代價是需要波峰搜索,算法的計算量較高。

目前關于目標定位的算法大都是基于子空間類的,需要進行協方差矩陣的估計與分解,計算量較大,不能直接用于解決目標跟蹤問題。

文獻[12]為了解決單基地MIMO雷達目標角度跟蹤問題,提出基于改進平行因子(parallel factor, PARAFAC)分析角度跟蹤算法。文獻[13]為了解決單基地MIMO雷達角度關聯問題,利用Kalman濾波思想,并采用緊縮投影近似子空間跟蹤(projection approximation subspace tracking deflation, PASTd)算法實現角度跟蹤。然而文獻[12-13]的計算量都較大,影響跟蹤速度。因此,文獻[14]利用協方差矩陣差與角度差之間的關系,得到適合單基地MIMO雷達的低復雜度跟蹤算法,但跟蹤性能較低。

雙基地MIMO雷達與單基地MIMO雷達相比具有收發基地分置帶來的優勢,同時由于收發角度不同出現了新的問題。

文獻[15]參考文獻[14]的思想,將其擴展到雙基地MIMO雷達中,通過兩個近似關系,得到了相鄰時刻協方差矩陣差與角度差的線性關系。該算法有效地降低了跟蹤計算量,無需額外的關聯算法,但是算法性能較低。文獻[16]利用PASTd算法完成了雙基地MIMO雷達跟蹤過程,跟蹤性能優于文獻[15],但無法實現角度的自動關聯。為了解決文獻[16]的不足,文獻[17] 提出基于自適應非對稱聯合對角化(adaptive asymmetric joint diagonalization, AAJD)跟蹤算法。AAJD算法增加了濾波的思想,從收發導向矢量求取目標角度時,利用了上一時刻估計出的角度信息,將其代入收發導向矢量公式,作為下一時刻的初始矢量。算法中有濾波的思想,能夠實現角度的自動關聯,彌補了文獻[16]的不足,但低信噪比時存在信號子空間擴展問題,造成性能的下降。

本文分析了低信噪比時AAJD算法性能下降的原因,針對信號子空間擴展問題給出相應的改進,得到與特征值作用相同的變量,對特征值進行排序,選擇大特征值對應的特征矢量,得到正確的信號子空間,解決了低信噪比時算法失效的問題。因排序后特征矢量順序是隨機的,無法使用AAJD中ESPRIT算法求解角度,本文采用估計性能更高的MUSIC算法代替ESPRIT算法,并根據跟蹤狀態的不同將MUSIC算法分為相應的兩步,減小了算法的計算量,滿足跟蹤要求。本文算法能夠解決信號子空間擴展問題,并且對MUSIC算法進行改進,在提高精度的同時減小了算法計算量。

1 信號模型

圖1為本文MIMO雷達陣列結構,M和N分別為發射和接收陣元數。所有的陣元都是均勻線性分布的,發射和接收陣元之間的間距分別用dt和dr表示。目標距離收發基地較遠,可以看成遠場點目標,各發射陣元發射相互正交的信號,并且有相同的帶寬和中心頻率。假設運動產生的多普勒頻率不影響編碼波形的正交性,信號的載波頻率記為fc。

圖1 MIMO雷達運動目標的示意圖Fig.1 A schematic diagram of a moving target for MIMO radar

第m個陣元的發射信號記為sm(m=1,2,…,M),sm(t)為基帶信號,發射信號經P個目標反射后到達接收陣列可表示為

(1)

x(t)=At(φ)⊙Ar(θ)vec(diag(ε))+n(t)=

W(φ,θ)ε+n(t)

(2)

式中，W(φ,θ)=[at(φt,1)?ar(θt,1),at(φt,2)?ar(θt,2),…,at(φt,P)?ar(θt,P)]為MN×P維的收發方向矢量;ε=[ε1exp(jω1t),…,εPexp(jωPt)]T;⊙和?分別代表Khatri-Rao積和Kronecker積。假設不同的目標多普勒頻移各不相同。

2 基于改進MUSIC的雙基地MIMO雷達高精度角度跟蹤算法

2.1 AAJD算法描述

本節對AAJD角度跟蹤算法進行概述。AAJD算法通過求解函數最小值得到收發導向矢量,求解過程分為兩個步驟。

(3)

式中,y(t)=x(t);d=ε。

步驟1無限制條件尋優

(4)

求導得

(5)

(6)

(7)

當相鄰角度變化較小時

(8)

(9)

(10)

具體求解過程為

apr(θ(t))=apr(θ(t))/‖apr(θ(t))‖,

apt(φ(t))=apt(φ(t))/‖apt(φ(t))‖

(11)

由式(11)可得收發導向矢量,利用ESPRIT算法,估計出目標p的DOD和DOA。(·)T,(·)H,(·)-1分表表示轉置,共軛轉置,求逆操作。

最后通過得到的收發角度,更新t時刻的特征矢量,即

W(t)=At(φ(t))⊙Ar(θ(t))

(12)

2.2 低信噪比時的改進AAJD算法

隨著信噪比的下降,AAJD算法求出的導向矢量精度下降,信號子空間擴展到了噪聲子空間中,AAJD算法求出的收發導向矢量包含了噪聲信息,前P級收發導向矢量不能正確的表示目標真實方向矢量,出現了噪聲子空間與信號子空間相互交疊的情況。大特征值對應的特征矢量張成的子空間為信號子空間,因此本文對AAJD算法進行改進,從中得到與特征值作用相同的變量,用于表征信號特征值的變化,解決低信噪比時角度跟蹤問題。

改進AAJD算法對AAJD算法步驟一進行改進,利用了降維的思想,基礎的理論是主成分的順序估計[18-19]。具體過程可以描述為用p=1的AAJD算法更新最大特征矢量(最大特征值對應的導向矢量),然后用接收數據向其投影并移除,獲得新的數據矢量。由于最大特征矢量已經被移除,此時第二大特征矢量成為最大特征矢量,重復上述過程,P次操作后,就獲得了所有的導向矢量。表1給出了改進AAJD算法步驟一的流程。

表1 改進AAJD算法步驟1的流程

在求解導向矢量的過程中,能夠得到特征矢量對應的特征值,并且一次循環只得到一個特征矢量,所以特征值與特征矢量之間是一一對應的,下面給出嚴格的數學證明。

首先,給出一個命題,并進行相應的證明。

命題1在雙基地MIMO雷達目標角度跟蹤中,g(t)是改進AAJD算法中的特征值變量,λ(t)是協方差矩陣C(t)分解得到的特征值,當算法收斂時,g(t)與λ(t)作用相同,都為估計出的特征值。

證明λ(t)和W(t)是數據協方差矩陣C(t)分解得到的特征值和對應的特征矢量,根據特征值分解理論

C(t)W(t)=λ(t)W(t)

(13)

在改進AAJD算法中

(14)

將式(8)代入式(14),可得

(15)

(16)

進一步化簡得

C(t)Wi(t)=gi(t)Wi(t)

(17)

將式(13)與式(17)對比可得出結論:g(t)與λ(t)相同,都為特征矢量對應的特征值,至此命題1得證。

證畢

當信噪比較低時,通過AAJD算法求出導向矢量,其張成的子空間與真實的信號子空間存在較大的誤差,AAJD算法估計出的導向矢量不是真實的方向矢量。

從定理1可知g(t)與λ(t)作用相同,是判斷信號子空間與噪聲子空間的依據。表2給出定位靜止目標時不同信噪比條件下改進AAJD算法的g(t)與λ(t)的對比。進一步說明了命題1的正確性及低信噪比時存在信號子空間擴展問題。設收發陣元數分別為4和3。

表2 不同信噪比下改進AAJD算法g,特征值λ的比較

從表2可以看出,信噪比為0時,改進AAJD 算法求出的g和特征值λ分布相同,大特征值集中在前3級,與目標個數相同。當SNR=-5 dB時,λ的值仍然集中在前3級,而g的前3個值不都是最大值,即此時對應的特征矢量存在誤差,從g的分布可以看出,大特征值已經擴散到第4級。當SNR=-10 dB時,擴散問題更加嚴重,已經擴散到11級。根據特征值與特征矢量之間的關系,大特征值對應著目標的導向矢量,又g和λ的作用相同,因此用g作為判斷依據,從中找出最大的P個值,其對應的矢量即為特征矢量。

2.3 基于改進MUSIC角度估計算法

改進AAJD算法是通過對特征值排序找出真實信號子空間的,找到的目標導向矢量是隨機的,AAJD算法步驟2中ESPRIT算法不再適用,本文采用性能更高的MUSIC算法代替ESPRIT算法,并改進MUSIC算法,降低計算量。

在陣列信號處理中,大特征值與小特征值對應的特征矢量分別張成信號子空間Us與噪聲子空間Un,兩個空間相互正交,可知方向矢量W(φ,θ)也正交于噪聲子空間

WH(φ,θ)Un=0

(18)

由于在信號處理中噪聲是不可避免的,因此W(φ,θ)與Un不完全正交,為一極小值,其倒數較大,所以MUSIC算法的譜估計公式為

(19)

對式(19)進行譜峰搜索,找出極大值對應的坐標即為目標的收發角度,得到了目標的位置。

(20)

(21)

將式(21)代入式(20)得

(22)

通過改進AAJD算法,求出了目標的收發聯合導向矢量,可以結合MUSIC算法求出目標的收發角度,但是MUSIC算法需要進行波峰搜索,特別是在雙基地MIMO雷達中,涉及到二維搜索,計算量較大,因此對MUSIC算法進行改進。

跟蹤過程可以分為兩種狀態：一是非收斂狀態,當雷達剛捕捉到目標時,或者觀察的目標個數及狀態發生突變時,跟蹤處于非穩定狀態,目標角度的跟蹤結果誤差較大,而且同時要完成空域掃描任務；二是跟蹤處于收斂的穩定狀態,當跟蹤目標一段時間后,進行了數據的積累,目標角度跟蹤誤差較小,可以看成是有效跟蹤。

針對跟蹤過程的兩種狀態,將MUSIC算法分為對應的兩個過程。當跟蹤過程處于非收斂狀態時,此時雷達有兩個任務,一是要對全空域進行觀察,二是使跟蹤進入到第二階段即穩定跟蹤狀態。因此,這一階段的MUSIC算法需要對全空域進行掃描,由于此時不是穩定狀態,收發導向矢量與真實方向矢量之間的誤差較大,無需進行精確掃描,可以設置較大的步長進行粗掃描,求出目標在空域中的大致位置,為下一階段的跟蹤過程做準備。

跟蹤的第二階段為穩定狀態,此時目標個數及狀態不會發生突變,跟蹤結果與目標實際位置誤差較小,屬于有效估計。當進行t時刻目標角度估計時,t-1時刻的估計角度可以看成是先驗信息,因為目標個數及狀態不會發生突變,因此可以預估t時刻目標所處的大致區域,并且AAJD算法的前提條件是相鄰時刻之間的角度變化較小,可以在t-1時刻估計出的目標角度(φ,θ)上,預測t時刻目標角度位于([φ-a,φ+b],[θ-c,θ+d])范圍內。a、b、c和d為常數,根據目標運動速度確定大小,a、b、c和d越小,算法需要的計算量越小,但是目標角度誤差有增大的風險。為了進一步減小穩定狀態時MUSIC算法的計算量,本文假設目標的收發角度不會同時相等,因此可知([φ-a,φ+b],[θ-c,θ+d])范圍內只有一個目標,MUSIC算法是通過搜索比較找出峰值點,估計出目標角度,所需的計算量較大。而已知([φ-a,φ+b],[θ-c,θ+d])范圍內僅有一個目標,因此無需找出峰值點,僅需找出最大值即可,其對應的角度為目標角度,將二維搜索比較過程變為求最大值過程,減小了算法的計算量。

下面給出改進MUSIC算法的過程：

Ift

此時跟蹤處于非穩定狀態,需進行全空域的大步長粗搜索：

搜索范圍ω=([-90°,90°],[-90°,90°])；

搜索步長設為1°。

利用式(19)～式(22)找出峰值點,并從中選擇值最大的P個峰值點對應的坐標即為目標角度。

Else

此時跟蹤處于穩定狀態,需進行固定小空域的小步長精細搜索：

搜索范圍:ωt,i=([φt-1,i-a,φt-1,i+b],[θt-1,i-c,θt-1,i+d])

搜索步長設為e。

利用式(19)～式(22)找出區域中的最大值,對應的坐標即為目標角度。

End

其中,φt-1,iθt-1,i為t-1時刻估計出的目標發射角和接收角。K,a,b,c,d,e都為常數,K表示目標是否處于穩態,a,b,c,d根據目標運動速度確定,搜索步長e由跟蹤精度要求確定。

2.4 算法流程

步驟1根據經驗設置跟蹤收斂門限K;

步驟3如果i≤K時,結合2.3節改進MUSIC算法,求出目標的角度,跳轉到步驟2;

步驟4如果i>K時,結合上一時刻估計出的角度,預測出目標角度的取值范圍ωt,i=([φt-1,i-a,φt-1,i+b],[θt-1,i-c,θt-1,i+d]),結合第2.3節改進MUSIC算法,求出目標角度跳轉到步驟5;

步驟5將估計出的目標角度代入收發聯合導向矢量公式得到W(t),并作為下一時刻的初始矢量,跳轉到步驟2。

2.5 算法的性能分析

不難看出本文算法具有如下的優點:

(1) 為了解決低信噪比時AAJD算法失效的問題,改進AAJD算法求出與特征值作用相同的變量,求出更加精確的噪聲子空間,解決了低信噪比AAJD算法失效的問題。且改進AAJD與AAJD算法求解特征矢量時的計算復雜度為O(MNP+P)和O(MNP+P2),當待估目標數較多時,改進AAJD算法能大大減小計算量。

(2) 改進AAJD算法采用估計精度更高的MUSIC算法代替ESPRIT算法,提高了雙基地MIMO雷達目標角度跟蹤性能。

(3) 改進AAJD算法對MUSIC算法進行改進,根據跟蹤狀態,將MUSIC算法分為相應的兩種過程:非穩定狀態全空域的粗搜索和穩定狀態小范圍的精細搜索,降低了算法的復雜度。為了滿足跟蹤要求,進一步降低計算量,將穩定狀態的峰值搜索變為取最大值操作。

值得注意的是,雖然本文算法中的MUSIC算法會增大計算量,但是通過改進降低了增加的計算量。

3 仿真實驗

假設雙基地MIMO雷達的收發陣元間距均為波長的一半,發射哈達碼波形脈沖信號,保證各個陣元的發射信號相互正交。陣元發射的載波頻率為1 GHz,發射脈沖寬度為10 μs,脈沖重復頻率為10 kHz,目標散射系數dp和加性噪聲都是隨機產生的。

實驗1定位靜止目標

假設存在4個點目標,收發角度為(θ1,φ1)=(30°,-40°),(θ2,φ2)=(40°,20°),(θ3,φ3)=(-50°,-20°)和(θ4,φ4)=(-16°,35°)。收發陣元數M=N=4,觀測脈沖K=150,遺忘因子β=0.95。給出不同信噪比下本文算法與AAJD算法的仿真結果。為了進行有效對比,只給出穩定狀態的跟蹤結果,根據經驗取K>50以后的數據進行對比。信噪比SNR=10 dB時仿真結果如圖2所示,信噪比SNR=0 dB時仿真結果如圖3所示,信噪比SNR=-5 dB時仿真結果如圖4所示。

從圖2可以看出,本文算法與AAJD算法估計結果都與目標真實角度相互重合,這說明本文算法與AAJD跟蹤算法都能夠成功定位目標。這是因為在信噪比較高時,噪聲影響較小,本文算法與AAJD算法估計出的導向矢量中不包含噪聲成分,信號子空間不存在擴展現象,與真實的方向矢量相同,能夠從中估計出目標的真實角度。從目標星座圖可以看出本文算法估計精度高于AAJD算法,這是因為本文算法采用了估計精度更高的MUSIC算法。

從圖3仿真結果中可以看出本文算法與AAJD算法都有效,估計出了目標的真實位置,但是AAJD算法在部分快拍數時失效,穩定性低于本文算法,這是因為AAJD算法在信噪比SNR=0 dB時,部分快拍估計出的收發導向矢量與真實方向矢量誤差較大,受到了噪聲的影響,其中包含了噪聲的矢量,因此估計出了錯誤的目標角度。本文算法性能優勢進一步擴大,這是因為解決了低信噪比時信號子空間擴展的問題。

圖2 SNR=10 dB時兩種算法的估計結果Fig.2 SNR=10 dB estimation results of two algorithms

圖3 SNR=0 dB時兩種算法的估計結果Fig.3 SNR=0 dB estimation results of two algorithms

圖4 SNR=-5 dB時兩種算法的估計結果Fig.4 SNR=-5 dB estimation results of two algorithm

從圖4可以看出，本文算法能夠實現目標角度估計,而AAJD算法估計出了錯誤的角度,這是因為在信噪比較低時本文算法通過對特征值進行排序,估計出更加準確的收發導向矢量,解決了信號子空間的擴展問題,在信噪比較低時仍然能夠成功定位目標。

對比圖2～圖4,可以看出本文算法性能都優于AAJD算法。高信噪比時本文算法使用MUSIC算法代替ESPRIT算法,提高了跟蹤定位精度。隨著信噪比的下降,AAJD算法性能急劇下降直至失效,而本文算法仍然有效，說明本文算法的有效性及理論分析的正確性。

實驗2多個運動目標跟蹤結果的驗證

空中觀測區域內存在5個運動目標,均為遠場點目標,雙基地MIMO雷達的收發陣元數M=N=4,發射脈沖個數K=500,遺忘因子β=0.85。信噪比SNR=5 dB本文算法與AAJD算法仿真結果如圖5所示,信噪比SNR=-5 dB仿真結果如圖6所示。

圖5 SNR=5 dB兩種算法目標跟蹤結果Fig.5 SNR=5 dB target Angle tracking of two algrithms

圖6 SNR=-5 dB兩種算法目標跟蹤結果Fig.6 SNR=-5 dB target angle tracking of two algrithms

在圖5中,兩種算法的跟蹤結果都與真實軌跡重合,說明兩種算法都成功跟蹤到了運動目標。從圖6中表明本文算法的跟蹤結果仍然較好,而AAJD算法誤差較大,說明AAJD算法已經失效,而本文算法仍然能夠成功跟蹤目標,這是因為本文算法找到更加準確的信號子空間。對比圖5和圖6的跟蹤結果可以發現本文估計軌跡與真實軌跡重合度高于AAJD算法的重合度,說明本文算法跟蹤性能高于AAJD算法。

實驗3算法的性能隨SNR的關系

本文算法的性能優勢的驗證。將本文算法與AAJD算法的RMSE進行比較。對空中4個目標進行跟蹤,收發陣元數M=N=5,信噪比SNR=-10～15 dB,觀測脈沖數K=400,蒙特卡羅仿真次數M=500,取100≤K≤400用于求解RMSE(穩定狀態),圖7為實驗結果。

實驗結果表明本文算法的RMSE低于AAJD算法,且隨著信噪比下降,本文算法與AAJD算法的RMSE都增大,但是AAJD算法上升的更快,兩者之間的RMSE差增大,信噪比較低時AAJD算法已經失效。這是因為在信噪比較高時,本文算法中的MUSIC算法性能優于AAJD算法中的ESPRIT算法,低信噪比時,本文算法得到正確的噪聲子空間,估計出的目標角度更加準確。

圖7 RMSE隨SNR的變化Fig.7 Change of RMSE along with SNR

4 結束語

基于AAJD算法的雙基地MIMO雷達目標跟蹤性能較低,特別是低信噪比時算法性能急劇下降甚至失效。本文對AAJD算法進行改進,找出與特征值相同作用的變量,按特征值變量大小對特征矢量進行排序,找出更接近真實方向矢量的收發導向矢量,得到的噪聲子空間更加準確,解決低信噪比時AAJD算法無法跟蹤目標的問題。并且引入MUSIC算法,提高了跟蹤性能,對MUSIC算法進行改進,將其分為更適應跟蹤的兩個過程,有效地減小了計算量。

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