變體飛行器有限時間收斂LPV魯棒控制

劉正華, 溫 暖, 祝令譜

(北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院, 北京 100191)

0 引 言

常規飛行器雖然可以進行大包線、多任務的飛行,但其在不同飛行條件下的氣動性能不是最優的,其氣動外形是基于各個任務段的折衷設計。然而,變體飛行器依靠自身配備的智能驅動機構,可以大尺度的改變氣動外形。此種技術使得飛行器能夠在差異較大的飛行環境中完成擬定的飛行任務,且總體飛行性能不會出現明顯的削弱。因此在航空領域中,智能變體飛行器一直作為研究熱點,得到了國內外學者的廣泛關注[1]。

但是變體自由度對氣動參數的求取和變體動態過程中的建模與姿態穩定控制提出了更高的要求。如何建立能夠真實反映變體飛行器動態特性的數學模型,同時使設計出的控制器能夠保證機體變形過程的穩定性和動態響應成為了變體飛行器研究的重點之一。線性變參數(linear parameter varying, LPV)技術可以涵蓋大范圍的參考點并且還可以描述復雜系統由于某些參數變化而具有的動態特性[2]。因此,近年來針對變體飛行器的LPV建模和基于LPV系統的動態輸出穩定控制器設計已較為成熟。文獻[3]采用準定常假設氣動參數的方法,給出了一種翼展可伸縮的變體飛行器縱平面LPV模型,并依賴于單一李雅普諾夫函數方法,設計了狀態反饋控制器,并給出了保證系統漸進穩定的LMI條件。文獻[4]對于一種后掠角可變的飛行器,設計了平滑切換LPV控制器,保證了變體過程中的切換穩定性。在文獻[5]中,基于增益整定的H∞控制方法,對一種折疊翼飛行器設計了LPV魯棒控制器。文獻[6]采用基于奇異值分解的張量積轉換方法,對一種大尺度的變體飛行器設計了LPV控制器。

對于原始的非線性系統,可以在多個平衡參考點上進行Jacobian線性化從而得到一系列的線性時不變(linear time-invariant, LTI)模型。之后,全局的LPV模型可以通過插值和擬合這些LTI系統而得到。這是當今最常用的飛行器LPV模型獲取方法[2]。然而這種近似線性化方法無疑會帶來模型參數上的不確定性。在控制器設計階段,必須考慮由于系統參數攝動帶來的模型不確定性。因此,LPV系統的魯棒控制器是使被控對象滿足理想性能的一種有效解決途徑。滑模變結構技術作為一種魯棒控制策略,由于其滑動模態的不變性使其對系統的參數攝動和外部擾動均不敏感,從而廣泛的應用到不確定的LTI系統中[7-9]。但是對于LPV系統,只有少量的關于滑模技術的研究。其中大部分還是作為滑模觀測器應用到LPV系統中[10-11]。在僅有的對于LPV系統的滑?？刂破髦?文獻[12]提出了一種時變的超平面滑模控制。文獻[13]設計了一種積分滑模控制器,并將其應用到實際的LPV系統模型中。在最近的文獻[14]中,二階滑?？刂萍夹g被應用到不確定的LPV系統中。但上述滑模LPV控制器都不能夠有效解決系統中的不匹配不確定性問題。

故本文以一類翼展可伸縮飛行器的多胞體LPV模型為研究對象,將原先應用于LTI系統中的滑模控制技術拓展到了不確定的LPV系統中。給出了針對系統中存在的不匹配不確定性的滑動模態存在性條件和有限時間收斂的趨近律控制器設計步驟。本文的主要貢獻在于:在變結構控制器的滑模面函數求取過程中,推導出一種可以很大程度降低保守性的線性矩陣不等式(linear matrix inequality, LMI)條件;通過參數依賴的Lyapunov函數穩定性分析,證明所設計的趨近律可以使系統在有限時間內收斂至滑動模態。

1 多胞體LPV變體飛行器模型

本文以左右機翼可以對稱的沿翼展方向水平伸縮的輕型飛機Navion L-17[3]作為研究平臺。其機翼的大幅度伸展可以迅速地影響到飛機的固有氣動參數。假設可達到的最大翼展是原本體翼展的2倍,變體效果如圖1所示。翼展變形率ξ=Δb/b作為變體調度量,其中Δb為翼展變形量,b為本體翼展,可知ξ∈[0,1]。

圖1 變體形態示意圖Fig.1 Morphing configuration

1.1 變體非線性模型描述

此變體飛行器的縱平面運動學與動力學方程是建立在飛行器的氣流坐標系中。

(1)

式中,飛行空速和海拔用V與h表示;俯仰角速度和俯仰角以q和θ表示;m和Iy分別表示變體飛行器的固有質量和繞y軸的轉動慣量;推力以T=Tδtδt表示,其中δt為油門開度,Tδt為油門推力系數;g代表重力加速度。

式(1)中的氣動力和氣動力矩以及各氣動系數與迎角α、升降舵偏角δe關系的表達式均取自于文獻[3]。

1.2 多胞體LPV建模

本文只考慮變體飛行器在縱向平面運動,選取飛行器的工作參考點為飛行海拔h0=1 524 m,空速V0的馬赫數為0.1。且飛行器在水平無側滑勻速平飛時進行變體運動,并以此為所研究的運動過程。對于變體飛行器的非線性系統(1), Jacobian線性化是獲得其LPV模型的最常用方法。平衡點選取為ξ=0,0.1,0.2,…,1,此變體飛行器的多項式參數依賴LPV模型可表示為

(2)

對于此多項式參數依賴的LPV系統(2),采用文獻[15]中的高階奇異值分解(high order sigular value decomposition,HOSVD)方法獲得其多胞體LPV模型。在綜合建模準確度與計算復雜性基礎上,舍棄較小的奇異值及其對應的特征向量,最終獲得具有兩個頂點的多胞體LPV系統如下:

(3)

式中,頂點Ai和權值函數λi(ξ)的具體表達式如下:

當基于Jacobian線性化和張量積轉換,將非線性系統(1)轉換至多胞體LPV系統(3)后,這兩個系統模型應具有近似一致的動態響應。假設翼展變形率ξ在10 s內由ξ=0變為ξ=1,此兩種模型在變體過程中的動態響應比較如圖2所示。

圖2 LPV模型與非線性模型的開環動態響Fig.2 Nonlinear model vs. LPV model

從圖2可以看出多胞體LPV模型與非線性模型的開環動態響應差別很小。多胞體LPV模型在一定程度上可以描述原始非線性系統的動態特征。因此,后續的控制器設計可以基于此LPV系統。并且由圖2可得在沒有控制器保證的變體過程中,高度與速度變化劇烈,不能維持原來的初始值。由于翼展變長,翼面積變大,導致升力系數變大,故攻角減小以尋求新的平衡狀態。

通常情況下變體飛行器的氣動參數獲取是基于準定常氣動假設的[15]。但是在此大尺度變體過程中氣動參數會出現“滯回環”效應[16],即非定常的氣動參數會出現在變體過程中,已知的氣動參數存在不確定性。與此同時,整機的重心和轉動慣量均會隨著變體機構的運轉而發生變化。故本文考慮如下的帶有參數攝動項的不確定多胞體LPV系統

(4)

式中,ΔA為系統參數矩陣的攝動不確定項；ΔB為控制輸入矩陣的攝動不確定項。

對于此變體飛行器帶有不確定項的LPV模型,需設計魯棒控制器使得飛行器在變體動態過程中全局穩定且變體前后保持速度與高度不變。

2 滑模魯棒LPV控制器設計

對于不確定LPV系統(4),本文對如式(5)所表示的多胞體LPV系統設計滑模魯棒控制器。

(5)

式中,x為系統狀態變量;u為系統的控制輸入;A(Θ)為系統的名義LPV系數矩陣;ΔA(Θ)代表系數矩陣參數的模型不確定量;B為系統的控制輸入常矩陣;此LPV系統的時變參數向量Θ(t)=[θ1(t),…,θm(t)]T∈Rm。

假設3B為列滿秩矩陣,且B⊥為矩陣BT的零空間上的任意一組基。

注1當B矩陣為時變參數矩陣或者含有不確定性時,可在控制輸入量u前加入適當的濾波器使控制矩陣B(Θ)或者B+ΔB成為系數矩陣的A(Θ)的一部分[17]。故對于一般的LPV系統,通過此方法構成的增廣形式的系統模型仍具備式(5)形式。

針對具有不匹配的不確定性的LPV系統(5),魯棒滑?？刂破鞯脑O計步驟主要包括:滑動模態的存在性證明和趨近律控制器設計。

2.1 基于LMI的滑動模態的存在性證明

首先,滑模面選取為

s(t)=BTP-1x(t)

(6)

式中,BT為式(5)中的控制矩陣B的轉置；P為待設計的正定實對稱Lyapunov矩陣。

定義轉換矩陣M和轉換后的狀態向量v為

(7)

式中,B⊥為矩陣BT的零空間上的任意一組基。

則原系統(5)的等價轉換形式為

(8)

式中,M1與M2如式(7)所示。

對于此等價形式的動態系統(8),其處于滑模面上的降階動態[7-8]可以表示為

(9)

定理1對于給定的不確定性常數εΔ,滑模面s(t)存在且滑模切換面上的動態系統(9)是魯棒穩定的充分條件為存在S個矩陣Pi>0,標量σ>0及分塊矩陣

滿足LMI約束條件式(10)和式(11):

(10)

(11)

(12)

證明根據魯棒穩定性定理,系統(9)穩定的充分條件為存在矩陣Xc>0滿足

{M1[A(Θ)+ΔA(Θ)]PB⊥}TXc+

Xc{M1[A(Θ)+ΔA(Θ)]PB⊥}<0

(13)

Π(Θ)=

(14)

為了降低由單一Lyapunov函數帶來的保守性問題,本文在不同的頂點處采用不同的Lyapunov的函數,從而實現參數依賴的思想。即令P滿足

(15)

則Π(Θ)可以等價的表示為

Π(Θ)=

(16)

由式(16)可知

(17)

由式(11)與式(17)可得

(18)

證畢

注2對于整個多胞體LPV系統,定理1采用文獻[18]中的方法,在增加一定的計算量的前提下,沒有要求存在任何公共的矩陣變量滿足所需要的矩陣不等式。這與文獻[19]中通過引入附加矩陣解除Lyapunov矩陣與系統矩陣耦合乘積項,從而實現參數依賴穩定思想的處理方法的根本區別。故定理1具有較低的保守性。

2.2 有限時間收斂的趨近律控制器設計

在上一節基礎上,將基于參數依賴思想設計滑模趨近控制律,使不確定性LPV系統(5)在此控制律下能夠在有限時間內收斂到滑模切換面s(t)=0上,并且在之后一直保持此滑動模態運動。

定理2假定滑模面式(6)存在,即不等式(10)與式(11)對于Pi有解,則不確定的LPV系統軌跡式(5)在滑模趨近律式(19)控制下可以在有限時間內到達切換面s(t)=0。

u(t)=-M2(Θ)[A(Θ)+P′(Θ)P(Θ)-1[BM2(Θ)-I]]x(t)-

κ(Θ)sign(M2(Θ)x(t))

(19)

式中,M2(Θ)如式(7)所示(并取P=P(Θ)),且

(20)

μ>0為可調增益參數。

證明選取s(t)=0作為滑模切換面,故參數依賴的Lyapunov函數選取為

(21)

(22)

此外注意到

與κ(Θ)>0

(23)

得到不等式

(24)

代入式(20),不等式(24)可以等價地表示為

(25)

證畢

3 仿真與分析

表1 參數不確定性

表2 控制器參數

對閉環系統進行50次蒙特卡羅仿真,每次仿真中各參數的不確定性獨立隨機變化,仿真結果如圖3和圖4所示。

圖3 控制輸出圖Fig.3 Output of the controller

圖4 控制效果圖Fig.4 Effectiveness of the controller

由圖3和圖4可以看出,在變形過程中,所設計的滑模控制器在參數攝動的情況下能夠保證高度只有0.2 m的變化,速度有不大于0.02 m/s的變化。且在10 s后變體運動結束時,飛行器的飛行海拔和空速與變體前相同,這是由于狀態變量中存在有飛行海拔與空速的誤差積分環節。由于存在參數攝動,升降舵和俯仰角速度在初始階段會出現較大的變化,但其均在可接受的范圍內。變體結束后的攻角、升降舵偏角和油門均達到新的平衡值。翼展的增加會使油門呈減小趨勢,這也說明了變體飛行器依靠氣動外形改變來優化飛行性能的特性。綜上,所設計的滑模魯棒LPV控制器能較好的保證變體動態過程的閉環系統性能,消除參數不確定性所帶來的影響,維持變體前后定速定高飛行。

4 結 論

(1) 利用Jacobian線性化和模型張量積轉換,將變體過程中非線性模型轉化為多胞體LPV模型。所得的LPV模型中參數矩陣存在不匹配的不確定性。

(2) 將原先只存在于LTI系統的滑?？刂破魍茝V到此不確定的LPV系統中。此控制器設計過程分為了兩步:首先給出了LMI形式的定理,保證在不匹配不確定性的情況下的滑動模態的存在性和穩定性。再者設計參數依賴的趨近律控制器,其可以使原LPV系統在有限時間內收斂至滑模切換面上。

(3) 50次非線性仿真結果表明,運用所設計的魯棒滑模控制器,在存在參數攝動和模型不匹配的情況下,可以保證變體過程中全局穩定性,并使變體前后速度和高度不變。

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