強散射過程中基于奇異值分解的光學傳輸矩陣優化方法?

張熙程 方龍杰 龐霖

(四川大學物理科學與技術學院,成都 610065)

1 引 言

近年來,通過相位調制技術控制光波在生物組織等強散射介質中的傳輸逐漸引起了人們的研究興趣.目前的相位調制技術包含了逐個調節相位[1]、分區調節相位[2]、遺傳算法(GA)優化相位[3]、測量傳輸矩陣[4,5]及本研究小組提出的四分法調制相位[6,7]等.其中,通過測量傳輸矩陣來控制光在散射介質中的傳播是一種快速且有效的方法,是因為傳輸矩陣能明確表征輸出光場與輸入光場的線性關系[8?15].

目前,測量散射介質傳輸矩陣(TM)的實驗都是在開放系統中進行的[16?29],實驗結果必定存在誤差.原因在于:首先,給定入射光場后,實驗收集的出射光場是有限的;其次,探測器本身與環境噪聲均對測量結果引入了誤差.因此,實驗測得的傳輸矩陣不可能是介質本身的本征傳輸矩陣,僅是介質傳輸矩陣的近似.因而利用傳輸矩陣得到的輸出通道的效率,即透過散射介質聚焦的焦點強度并不是最高的.目前,對散射介質研究的焦點多集中于盡量增加輸入通道的數目來增加輸出通道的效率,尚未見從優化傳輸矩陣(即搜索介質的本征傳輸矩陣)的角度出發去增加輸出通道效率的報道.本文提出以實驗測得的傳輸矩陣為基礎來尋找靠近介質本征傳輸矩陣的一種方法,探討如何提高散射介質的成像效果.本文通過對實驗測得的傳輸矩陣進行反演操作,并通過奇異值分解獲得散射介質TM的奇異值,然后對奇異值直接優化處理獲取介質的本征傳輸矩陣的近似.本方法以輸出通道的聚焦效率為目標函數,使用GA優化傳輸矩陣的奇異值.

2 傳輸矩陣優化原理

散射介質實驗傳輸矩陣優化的原理與過程如圖1所示.首先,通過實驗獲得介質的傳輸矩陣;其次,對介質的傳輸矩陣進行奇異值分解,獲得代表介質傳輸矩陣的奇異值,并按照從大到小的順序排列;然后,以輸出通道的聚焦效率作為目標函數,對奇異值分布進行優化運算,選擇出優化的奇異值,利用矩陣求逆得到介質傳輸矩陣的逆矩陣,在此實驗條件下獲取散射介質本征傳輸矩陣的近似;最后,利用得到的逆矩陣求出入射場,加載到空間光調制器(SLM)上,得到更明銳的焦點,驗證介質的傳輸矩陣優化.

圖1 優化實驗所測傳輸矩陣的原理與過程Fig.1.Principle and process of optimizing the measured transmission matrix.

3 原理驗證

傳輸矩陣表征了介質的散射特性,輸入電場Ein與輸出電場Eout的線性關系用介質的傳輸矩陣聯系:

其中m,n分別對應輸入輸出通道數,分別對應m個元素的輸出場列向量與n個元素的輸入場列向量,tmn為傳輸矩陣的元素,T為介質的傳輸矩陣.因此,可以通過測量對應輸入光場的輸出分布求出確定實驗條件下的傳輸矩陣.本實驗中利用Hadamard矩陣和四個參考光干涉產生正交的輸入場,測量輸出光場分布,并通過求解線性方程組獲取散射介質的傳輸矩陣[12?14].實驗中SLM有32×32=1024個獨立控制單元,輸出光強分布由電荷耦合器(CCD)來測量.通過求解線性方程組獲得散射介質的傳輸矩陣.實驗可以通過任意形式的輸入場進行干涉實驗,測量輸出光場分布,再通過求解方程組獲取介質的傳輸矩陣,但建立的方程組中,線性獨立方程的個數不能少于求解所需獨立方程的個數.另外可以用Hadamard矩陣作為輸入光場的方法,詳細內容見參考文獻[30].

實驗光路如圖2所示.使用波長λ=632.8 nm的圓偏光He-Ne激光器(長春瑞研光電科技有限公司)作為實驗的光源.光路中所用的光學散射介質S是由直徑為5μm的氧化鋁(Al2O3,浙江武義恒宇儀器有限公司)球形顆粒與PDMS(聚二甲基硅氧烷,美國道康寧)均勻混合并固化在顯微鏡載玻片上的均勻涂層,厚度約為100μm.來自激光器的圓偏振光通過豎直方向透振的偏振片P后被針孔濾波,接著由一個放大倍數為40×的顯微物鏡O1與凸透鏡L1(焦距100 mm),得到擴束之后的線偏振平行光,使得其偏振方向與SLM的位相調制最敏感的方向一致.并照射到液晶SLM(Holoeye PLUTO-TELCO,分辨率為1920×1080,每個像素的大小為8μm×8μm)上.SLM產生的32×32=1024個調制輸入模式通過L2(焦距300 mm)與L3(焦距100 mm)這一4f系統縮束,然后由顯微物鏡O2(10×,NA=0.25)聚焦到散射樣品的一側,最后通過顯微物鏡O3(20×,NA=0.40)收集出射面的散射光并成像到CCD(加拿大Pointgrey生產,實驗中所用模式為F7_Mono8_960×600_Mode1,每個像素的大小為5.86μm×5.86μm)接受窗.

圖2 實驗光路圖 Laser是波長為632.8 nm的圓偏光氦氖激光器;P是豎直方向透振的偏振片;O1,O2,O3為顯微物鏡,放大倍數分別為40×,10×,20×,數值孔徑NA分別為0.65,0.40,0.25;L1,L2,L3是焦距分別為100 mm,300 mm,100 mm的凸透鏡;M是平面鏡;BS是分光鏡;SLM是純相位調制的液晶SLM,分辨率為1920×1080,單個像素大小為8μm×8μm;CCD是分辨率為1920×1200@41 fps的圖像傳感器,像素大小為 5.86μm×5.86μm;CCD與SLM通過電腦(PC)實時控制;sample是PDMS與直徑約為5μm球形氧化鋁顆粒均勻混合并固化到載玻片上制作而成Fig.2.Schematic diagram of the experiment.A He-Ne laser is circularly polarized with a wavelength of 632.8 nm;P is a polarizer;O1,O2,and O3are microscopic objectives,and the magnifications are 40×,10×,and 20×,respectively;numerical aperture NA=0.65,0.40,and 0.25,respectively;L1,L2,and L3are lenses with focal lengths of 100 mm,300 mm,and 100 mm,respectively;M is a plane mirror;BS is a non-polarizing 50%beam splitter;SLM stands for a spatial light modulator,the resolution of SLM is 1920×1080 pixels;the size of a pixel is 8μm×8μm;the CCD is a detector with a resolution of 1920×1200;the sampling frequency is 41 fps,and the pixel size is 5.86μm×5.86μm;the CCD and the SLM are controlled by a personal computer(PC);the sample is PDMS and its diameter is about 5μm;the spherical alumina particles are uniformly mixed and cured on a glass slide.

實驗中首先設定好目標焦點的具體位置,然后以Hadamard矩陣作為正交輸入基加載到SLM上并隨即在CCD上獲得與輸入相對應的輸出響應(散斑圖案),此過程需要重復4096次.TM聚焦完成后,通過計算以獲得并存儲傳輸矩陣的振幅和相位信息.由于SLM是純相位調制光學元件,我們從獲得的傳輸矩陣中取出目標焦點的相位信息重構輸入相位,加載到SLM上便可以輸出TM聚焦獲得的目標焦點.此步的實驗結果如圖3所示,其中圖3(a)為傳輸矩陣的相位分布RGB圖(共1024行、1024列),每一行對應一種輸出模式的相位信息;圖3(b)為利用圖3(a)中的第671行的相位信息重構輸入場獲得的相位掩模灰度圖,對應32×32=1024個輸入通道模式;圖3(c)是將圖3(b)的相位加載到SLM上后CCD輸出的聚焦結果,對應傳輸矩陣第671行得到的輸出場分布.

理論上講,在獲得了系統的傳輸矩陣后,即可計算得到任何輸出場分布所需要的輸入場.為了使輸出場滿足特殊要求,比如在指定位置聚焦、聚焦多個焦點等,我們對傳輸矩陣進行反演后得到輸入場的相位分布.由(1)式,輸入場與輸出場通過傳輸矩陣相聯系,可以得到

其中T表示實驗中測得的實際傳輸矩陣,T?1表示對T進行反演(求逆矩陣).將該反演的相位Ph(Ein)加載到SLM上,即可得到所要求的出射場分布,例如聚焦的出射場[0···0 1 0···0].然而,由于散射系統是一個開放系統,計算傳輸矩陣時并沒有測得所有出射信號,因此,傳輸矩陣的逆矩陣并不存在(或非有限值).

圖3 TM聚焦的實驗結果 (a)傳輸矩陣TM的相位信息;(b)用目標焦點的相位信息重構該焦點的輸入相位掩模;(c)將重構的輸入相位掩模加載到SLM上,在CCD上獲得的TM聚焦結果Fig.3.Experimental results of focusing light by TM approach:(a)Phase mask of the transmission matrix;(b)phase mask of a focal point;(c)the optimized output intensity in the target plane.

為了避免這樣的問題,數學上可通過奇異值分解的方法計算逆矩陣.首先,將需要求逆的目標矩陣(如這里的傳輸矩陣T)進行變換:

其中T為傳輸矩陣,U是一個正交矩陣,V也是一個正交矩陣(V′是V的轉置矩陣),奇異值矩陣D是對角矩陣(D=[λi]).T的逆矩陣與D的倒數的直接關系為

圖4 (a)直接反演所得輸入場的相位分布;(b)將(a)圖的相位分布加載到SLM上,獲得的輸出結果,并未獲得目標焦點,反而引入了無物理意義的誤差Fig.4.(a)The optimized phase mask of the direct inversion;(b)the output intensity distribution corresponding to the phase mask of Fig.(a),in which the target focus can’t be seen since many random errors.

其中U′是U的轉置矩陣.將方程(4)用于方程(2)中即可計算獲得產生任意輸出場的輸入場位相分布.例如,通過方程(2)和方程(4)計算得到.圖3(a)中縱坐標671處對應的焦點的輸入場相位分布,如圖4(a)所示.然而將其加入到實驗裝置上的LSM后,在CCD相應位置并沒有得到所期望的焦點,如圖4(b).從圖4(b)可以看到,出射面沒有形成聚焦.

因此,方程(4)直接得到的矩陣并不代表介質或系統的傳輸矩陣(或逆矩陣).顯然,直接進行奇異值分解得到的奇異值分布也存在問題,這是由于矩陣反演過程中極小奇異值的倒數變得異常大,以至于對噪聲非常敏感,如方程(5)所示.因此去掉這些極小的奇異值是必要的.

其中T?1表示濾波后的傳輸矩陣逆矩陣;D?1表示濾波后的奇異值逆矩陣,也是一個對角矩陣;N是保留的奇異值個數.

傳輸矩陣T奇異值分解后,減小因變換中引入的誤差是優化傳輸矩陣的第一步.首先,將獲得的傳輸矩陣進行奇異值分解,求出奇異值λi(奇異值分解的結果是按照從大到小的順序排列的);然后,從最小的奇異值逐一去掉,并利用保留下來的所有奇異值按由大到小的順序重構維度有所降低的奇異值矩陣D,并根據(5)式求出降低了變換誤差的實驗傳輸矩陣的逆矩陣T?1;最后利用(2)式重構輸入場并同時檢測對應的反饋結果,以便獲得最佳的奇異值組合.實驗結果如圖5所示,其中圖5(a)為奇異值分布曲線,縱坐標表示奇異值的大小,橫坐標對應奇異值重大到小排列的占位,排在第1位的是最大的奇異值2.2193×106,排在第1024位的是最小的奇異值29,奇異值的最大值與最小值之間有5個數量級的差異;圖5(b)為奇異值倒數的分布曲線,它的分布剛好與奇異值分布相反,是從小到達排列的,縱坐標表奇異值倒數的大小,橫坐標與圖5(a)意義相同;圖5(c)顯示了被保留(顯示為1)與被去掉(顯示為0)的奇異值的占位分布;圖5(d)為去掉奇異值后利用剩余的奇異值(主要是大奇異值)重構輸入相位而得到的焦點光強變化曲線;通過光強曲線信息,可以找到獲得最大光強的那些奇異值的占位信息.圖5(d)的曲線分布表明,連續去掉極小的奇異值,利用剩下的奇異值重構聚焦結果,焦點歸一化光強(由圖5(d)光強的RGB值大小表示)的變化趨勢為:增加到177,然后下降到144;在圖5(d)所示的曲線中某一點的意義為:從大到小排列1024個奇異值,當給定某一橫坐標,例如800,則縱坐標對應CCD所探測到的光強.此光強所代表的意義是:保留前800個大的奇異值,去掉其余的224個小的奇異值,然后利用這800個大的奇異值重構輸入相位,并將此重構的輸入相位加載到SLM上,隨即讓CCD直接探測目標焦點區域的光強.其中圖5(e)就是利用反饋光強最大值177所對應的那些奇異值(前1003個大的奇異值),重構入射場獲得的相位分布;圖5(f)是圖5(e)的相位加載到SLM上后輸出的焦點,這與圖4(b)的聚焦結果有本質差異.

上述結果表明,介質或系統傳輸矩陣是可以利用輸出通道(焦點)的增強效率為評價函數來進行優化的.以上我們只是逐一去掉奇異值,同時觀察焦點的增強效率來優化傳輸矩陣,以輸出場最大為目標來尋找優化的傳輸矩陣.從光強曲線的變化趨勢分析,非極小奇異值應該也同樣可進行優化來尋找本征傳輸矩陣的近似.

圖5 傳輸矩陣奇異值分解與減小變換誤差的實驗結果 (a)菱形對應的綠色曲線為奇異值λ的分布曲線;(b)叉形對應的橙色曲線是奇異值倒數1/λ的分布曲線;(c)連續法篩選出的最優奇異值組合,橫坐標N表示奇異值從大到小排序所占的位置,1表示保留的奇異值,0表示去掉的奇異值;(d)逐一去掉較小的奇異值后,利用剩余的奇異值重構輸入相位,并實時探測反饋的聚焦光強,最后描繪出重構結果的光強變化曲線;(e)利用最大光強反饋的奇異值信息(圖中是從大到小排列的前1003個奇異值),重構入射場的相位灰度圖;(f)利用重構的輸入相位獲得的焦點Fig.5.The experimental results of the singular value decomposition and the related results:(a)The curve of singular values(up rectangles);(b)the curve of the inverse values of the singular values;(c)the curve of reduced singular values,in which 1 represents the reserved singular values and 0 represents the replaced singular values;(d)the intensity curve with different singular values;(e)the optimized phase distribution;(f)the optimized intensity distribution in the CCD plane.

在上述實驗的基礎上,我們選擇GA來進行第二階段優化,即全局優化奇異值.前面的實驗去除奇異值的數值誤差后,獲得了從大到小的連續1003個奇異值,并在此基礎上再進行GA優化.GA的流程圖與相關實驗結果如圖6所示,其中圖6(a)為GA流程圖.實驗中,首先產生120個初始種群(由0和1組成的1024個元素的篩選向量),優化過程中由篩選向量對應位置的元素(0或1)去乘以奇異值組合中對應位置的奇異值,與0位置對應相乘的奇異值將被去掉,而與1對應位置相乘的奇異值將被保留,并以聚焦效率為GA的適應度函數計算所有個體的適應度,然后按照適應度函數值從大到小進行排序并判斷是否達到最優奇異值組合.是,則終止優化并輸出最優個體;否,則選出這一代最優的兩個個體作為親代,然后進行單點交叉親代個體的部分編碼,其余部分編碼以大于等于0.6的變異率產生新的編碼,最后產生新的更優子代新種群.然后再計算新種群中每個個體的適應度值、排序并判斷是否達到最優.是,則終止GA并輸出最優解;否,就再次進入下一交叉變異循環,直到獲得最優的奇異值組合.經過GA全局篩選獲得最優奇異值組合后,利用獲得的最優奇異值組合重構輸入相位分布,將此相位分布加載到SLM上以獲得優化的聚焦效果.

實驗結果如圖6所示.介質傳輸矩陣的奇異值分布曲線與圖5(a)相同,此處不再贅述;圖6(b)顯示了GA選擇優化后,被保留(顯示為1)與被去掉(顯示為0)的奇異值的占位分布,經過GA優化選擇奇異值后,從大到小去掉了第83個、第179個、第678個、第932個、第1004個以及1020—1024最后5個,總共去掉了大小都有的10個奇異值;圖6(c)是優化過程中,歸一化光強的增強曲線,遺傳了2021代后終止了優化,輸出的最優個體為圖6(b)中保留的奇異值;圖6(d)是利用GA選出的最優奇異值組合,重構輸入場獲得的相位灰度圖;圖6(e)是將圖6(d)中的相位加載到SLM上后輸出的最終聚焦結果,從實驗數據來看,比去掉極小的奇異值尾數所得的焦點光強又進一步增強.

圖6 GA全局優化奇異值的實驗結果 (a)GA流程圖;(b)GA全局篩選出的最優奇異值組合,1024個奇異值從大到小依次排列,1對應的位置表示被保留的奇異值,0對應的位置表示被去掉的奇異值,最終去掉了第83,179,678,932,1004,1020—1024這10個奇異值;(c)GA優化選擇奇異值的過程中,目標焦點歸一化光強的增強曲線;(d)利用最優奇異值組合重構輸入場所得的相位灰度圖;(e)利用重構的輸入相位獲得的最終焦點Fig.6.The experimental results of the genetic algorithm:(a)The flow diagram of the genetic algorithm;(b)the optimized set of singular values selected by GA approach,in which the discarded singular values are 83,179,678,923,1004,1020 to 1024;(c)the intensity curve during the GA optimization process;(d)the phase mask of the optimized phase distribution;(e)the optimized intensity pattern.

4 結果對比

至此,我們得到同一介質或系統的三種傳輸矩陣:實驗檢測獲得的傳輸矩陣(簡稱為TM)、奇異值分解并去極小尾數后獲得的一級近似本征傳輸矩陣(簡稱為WS_TM)及奇異值分解結合GA進行的全局優化獲得的二級近似本征傳輸矩陣(GA_TM).本節通過以上傳輸矩陣對輸出場的貢獻來對進行對比,展示我們提出的傳輸矩陣優化的有效性.

由所得TM,WS_TM及GA_TM,經方程(2)求得在CCD特定位置形成焦點的輸入相位分布,加載在SLM后即可得到如圖7所示的結果.圖7(a),(d),(g)分別對應TM,WS_TM與GA_TM的聚焦結果,歸一化最大光強Imax對應的RGB值分別為129,177與192,WS_TM與GA_TM的背景噪聲明顯低于TM的背景噪聲,信噪比相對較高;而圖7(d),(g)間的背景噪聲大小、信噪比的高低肉眼不能直接分辨,計算結果列于表1.圖7(b),(c),(e),(f),(h)與(i)的灰度值大小對應歸一化后的相對光強,0為純黑色(相對光強為零),255為純白色(相對光強最大).圖7(b),(e),(h)分別對應圖7(a),(d),(g)的焦點灰度圖,紅色小方框表示目標焦點的聚焦范圍,對應CCD上焦點的位置和大小(5×5個像素);而圖7(c),(f),(i)分別對應圖7(a),(d),(g)去掉焦點后的背景灰度圖,橙色小方框表示去掉焦點的區域,并且填充為無背景噪聲貢獻的0值(純黑色).實驗中,由于聚焦的散射光不可能完全被限制在CCD上所設置的目標范圍,而是在該區域附近一個較小的范圍內.因此背景圖片中去焦點的橙色小方框比焦點設定像素5×5要大些,以便達到盡可能多地去除焦點光強同時又保留了真實背景的效果.數據結果見表1,其中第一列為獲得焦點的實驗方式;第二列為焦點歸一化光強的最大值;第三列為焦點的信噪比.

由實驗結果可以計算GA優化與去尾數消數值誤差(WS)的聚焦效率η.定義聚焦效率為:最大光強差IGA/WS-ITM與傳輸矩陣聚焦的最大光強ITM之比.

計算結果表明:GA優化與去尾數WS的聚焦效率分別比TM聚焦效率高ηGA=48.8%,ηWS=33.3%.

表1 三種方法聚焦的歸一化最大光強與信噪比Table 1.Normalized intensity and signal-to-noise ratio for three approaches.

圖7 TM聚焦、去尾數減小變化誤差(WS)以及GA優化的實驗結果 (a),(d),(g)分別為TM,WS和GA聚焦的實驗結果,歸一化最大光強的RGB值分別為129,177和192;(b),(e),(h)分別為TM,WS和GA聚焦的灰度圖,紅色小框對應聚焦區域,大小為5×5像素;(c),(f),(i)分別為TM,WS和GA聚焦的背景,橙色方框填充為純黑色以便去除焦點,大小為20×20像素Fig.7.The experimental results by TM,WS,and GA approaches:(a),(d),(g)The color intensity distribution in the output plane by TM,WS and GA approaches,respectively;(b),(e),(h)the greyscale intensity distribution in the output plane by TM approach,WS and GA approach,respectively;(c),(f),(i)the background noise of the results,in which the rectangles represent the discarded focus.

下面計算信噪比.定義焦點對背景的歸一化平均光強之比為信噪比SNR,即

其中分別表示焦點、背景的歸一化平均光強.計算表明GA優化的信噪比最高,TM聚焦的信噪比最低,SNR依次為10.29,9.73,7.54,GA優化與直接去尾數WS分別將信噪比提高了36.5%和29.1%.

5 討 論

在消除物理上的奇異現象和降低傳輸矩陣反演引起的奇異現象時,我們從數學上將產生奇異現象的少數奇異值直接設置為零.這樣處理相當于降低了傳輸矩陣的維度,同時也向傳輸矩陣中引入了誤差.對奇異值優化而言,直接去奇異值極小尾數的一階優化與GA全局選擇的二階優化都能增強焦點的光強并提高信噪比.另外需要說明的是,雖然GA是全局優化模式,但是當陷入局部最優模式后,甚至達不到直接去尾數的聚焦效果.這樣的實驗結果見圖8與表2.圖8(a)—(c)是裝置設置與優化參數固定的情況下獲得的一組實驗結果,分別對應TM,WS和GA聚焦,本組實驗中WS和GA聚焦都增強了聚焦效率和信噪比,但是GA卻不如WS聚焦結果,這是GA陷入局域小的緣故;圖8(d)—(f)是改變了激光光強、移動了介質的輻照位置以及另外的優化參數等條件的情況下獲得的另一組實驗結果,可以看出,這一組實驗中TM,WS和GA聚焦三種方式的效果都極差,雖然能看見焦點,但聚焦效率與信噪比都很差.根源在于:最初實驗獲得的傳輸矩陣的有效信息太少、噪聲信息太多,加上變換引入的誤差使優化的效果顯著下降,甚至無效果或更差.從理論上分析,因去掉了部分奇異值,丟掉了傳輸矩陣的部分信息,GA優化奇異值與直接去奇異值尾數都不可能達到本征傳輸矩陣的結果,只能是更進一步地接近它.

圖8 GA優化較WS聚焦結果差和無效優化的實驗結果 (a),(b),(c)為裝置及優化參數固定所得的結果 (a)TM優化結果,(b)直接去尾數(WS)的實驗結果,(c)GA聚焦結果,這組實驗中去TM奇異值尾數(WS)較GA優化好,GA優化陷入局域小;(d),(e),(f)降低激光光強與優化參數設置為一組值所得的結果,(d)GA優化結果,(e)直接去尾數(WS)的實驗結果,(f)TM聚焦結果,這組實驗沒有優化效果,有些GA與WS的實驗結果甚至還不如TM聚焦Fig.8.Comparisons of without converging in the optimization:(a),(b),(c)Correspond one of the experiment,in which GA optimization does not converge,(a)the field distribution of the focal point after the TM evaluation,(b)the focal point after WS optimization,(c)the focus after GA optimization without converging;the focus of WS is better than that after GA in this experiments,meaning that the optimization was terminated at the local extra in the GA processing;(d),(e),(f)correspond the case in which the illumination power was reduced,(d)the field distribution at the focal point with the optimized phase pattern after TM evaluation,(e)the focal point after WS optimization,(f)the focal point after GA optimization.

本實驗的光路簡單,操作方便,實驗結果主要受儀器調節、優化參數設置和環境變化(如空氣流動,溫度變化)等因素的影響;另外,介質的移動、激光光強的衰減、噪聲水平的變化等因素也可能對實驗產生不可預測的結果.實驗中,入射場的調制模式若低于16×16=256個模式,則無法得到聚焦效果,因為實驗測得的傳輸矩陣僅包含了介質本征傳輸矩陣較少的信息,使所測結果的誤差信息遠大于有效信息,分解所得的奇異值就很難表示出傳輸矩陣的有效信息,最后導致嚴重的物理奇異現象.由于SLM調制入射場的模式數量將反映散射介質傳輸矩陣的精細程度,進而影響聚焦效果,理論上應該是調制的輸入模式越多,實驗測得的TM越接近介質的本征傳輸矩陣.若入射場的調制模式太多,如128×128或者更高,聚焦優化完成實驗的時間太長,對于靜態介質,這樣的時間可以接受.但是對于動態介質,例如生物介質,其靜態時間在毫秒量級以下,可采用數字微鏡(digital micromirror)來實現[26,27].

對傳輸矩陣進行奇異值分解獲得的奇異值是從大到小排列的,末尾那些極小的奇異值對輸入場信息的傳輸貢獻卻非常有限,反演(求逆)后,這些奇異值的倒數將會變得異常的大,引入的誤差使實驗出現異常的聚焦結果.從連續去尾數的光強曲線分析發現:去掉相鄰的兩個尾數時,焦點光強有增有減,也有不變.這表明連續去掉的極小奇異值并不是一個最好的方法,而通過全局優化選擇則可以獲得更好的效果.需要強調的是,除了通過GA全局優化選擇外,還可以通過其他全局優化的方法進行優化,如模擬退火、模式搜索算法等.

本文在進行GA優化的過程中,直接對所有的奇異值進行GA選擇優化極易陷入局域最優而終止優化過程.為了保證收斂于全局最優,在GA優化開始前最好先去掉幾個極小的奇異值尾數.但是去掉太多又失去了很多傳輸矩陣的有效信息,無法得到精確的優化位相分布.另外,在GA產生新個體時,去掉奇異值的概率如果太大,優化結果去掉的奇異值也越多,所測傳輸矩陣保留的有效信息就越少,GA聚焦的結果就越差.

6 結 論

到目前為止,有關TM的研究,通常是傳輸矩陣的實驗檢測、利用傳輸矩陣聚焦和成像等.由于環境變化、儀器探測等影響,實驗測得的TM并非介質的本征傳輸矩陣.我們提出在實驗基礎上測得的傳輸矩陣可進一步優化.本文在傳輸矩陣的理論背景下,以實驗測得的TM為基礎,利用所測TM的奇異值的可能誤差大小進行TM的一階優化;在去掉少數對噪聲敏感的極小奇異值后,再通過GA對TM進行二階全局優化,將光在介質中的傳輸效率和信噪比分別提高了48.8%和36.5%,能使實驗所測傳輸矩陣的光學性質更靠近散射介質的本征傳輸矩陣.本文提出的方法可以用于通過散射介質聚焦或者成像的光場傳輸控制中,例如生物組織成像、腦成像及診斷等.

[1]Vellekoop I M,Mosk A P 2007Opt.Lett.32 2309

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