雙腔光力學系統中輸出光場糾纏特性的研究?

張秀龍 鮑倩倩 楊明珠 田雪松

1)(東北石油大學電子科學學院,大慶 163318)

2)(遼寧大學物理學院,沈陽 110036)

3)(黑龍江科技大學理學院,哈爾濱 150001)

1 引 言

量子糾纏是量子物理區別于經典物理的最顯著特征之一.它不但可用于驗證可觀測量之間量子關聯的非局域性,而且在量子信息處理和量子通信等領域有極其重要的應用價值.自薛定諤等提出量子糾纏以來,量子糾纏就引起了人們極大的興趣.人們在理論上和實驗上對宏觀物體之間的量子糾纏都做了廣泛研究,比如在原子系綜之間的糾纏[1,2]以及超導量子比特之間的糾纏[3?6].近年來由于納米技術的進步,使腔光力學得到了快速發展[7?10].最近,腔光力學系統中的量子糾纏引起了越來越多的關注,因為腔光力學系統中的光輻射壓力可以使系統中的各個子系統之間產生量子糾纏.例如,在理論上對光力學系統中諧振子之間的糾纏[11?14]、不同光模之間的糾纏[15?26]以及光模與諧振子之間的糾纏[27?35]都做了廣泛研究,而在最近一個實驗中實現了諧振子與微波場之間的量子糾纏[36].

本文研究了左右兩個光腔與中間一個力學振子耦合的光力系統中輸出光場之間的量子糾纏的性質,此系統中,在參數放大相互作用和劈裂相互作用的共同作用下,使左右兩腔中的光模之間產生量子糾纏,從而使經過濾波器后的輸出光場之間也會產生量子糾纏.研究發現,力學振子的弛豫速率、濾波器的帶寬以及非相等耦合(左右兩腔的有效光力耦合常數G1與G2不相等)都對輸出光場之間的量子糾纏大小有著顯著的影響.這些研究結果有望應用于在光力系統中實現量子態轉換、量子隱形傳態等量子信息處理過程.

2 理論模型與主要公式

我們研究了一個雙腔光力學系統,如圖1所示,左右兩個光學腔與中間一個力學振子相耦合;分別表示光學腔i和力學振子的湮滅算符(本征頻率);κi和γ分別表示光腔i和力學振子的弛豫速率.驅動場Hd從左右兩側射入并驅動腔模ωi,則系統的哈密頓量可寫為

其中gi為光學腔i與力學振子之間的耦合常數.如果用紅邊帶激光(ωd1=ω1?ωm)和藍邊帶激光(ωd2=ω2+ωm)分別驅動腔1和腔2,通過標準的線性化方法,在相對系統自由哈密頓量做旋轉以及在旋波近似下,則系統哈密頓量變為

由系統哈密頓量(2)可以得出系統算符的海森伯-郎之萬運動方程:

其中分別為力學振子和光腔的輸入熱噪聲算符,其關聯函數分別為Ni分別為力學振子和光學腔的平均熱占有數.本文主要研究在系統參數滿足κi?γ和的條件下,濾波器帶寬σ、力學振子弛豫速率γ以及非相等耦合G2G2時,系統總是穩定的[21,24].

圖1 雙腔光力學系統輸出光場示意圖Fig.1. Sketch of the output light fields in a doublecavity optomechanical system.

本文采用對數負性[38,39]的方法來數值計算兩個輸出光場之間的量子糾纏大小.經過濾波器之后的輸出光場可以表示為

為簡單起見,采用方形濾波函數來輸出光場,即

其中θ[ω]為階躍函數,σ為輸出光場的帶寬,ω為輸出光場的中心頻率.則經過此方形濾波函數的輸出光場可以表示為

其中,τi為光場從光腔ωi的輸出時間,本文研究從兩光學腔同時輸出的光場之間的糾纏,所以可取τ1=τ2=0.用對數負性來計算輸出光場之間的量子糾纏度,其定義為

其中

和

以及4×4關聯矩陣V的定義為?,其中,且.2×2矩陣B,B′和C與關聯矩陣V的關系為

3 輸出光場之間的糾纏性質

根據對數負性(9)式來分別討論力學振子的弛豫速率γ、濾波器帶寬σ以及非相等耦合G1>G2對輸出光場之間糾纏的影響.

首先研究力學振子的弛豫速率γ對糾纏的影響,這里主要討論強耦合情況(G>κ),并取參數G1=G2=G=5×105,κ1=κ2=κ=105以及σ→0.帶寬σ→0,此時輸出光場為單色平面波,濾波器的中心頻率ω即為輸出光場的頻率.圖2給出了在力學振子弛豫速率γ不同取值下,即γ=1(紅色實線),γ=102(藍色虛線),γ=104(綠色點線)時的輸出光場之間糾纏En隨著濾波器中心頻率ω/κ的變化曲線.從圖2可知,在σ→0的條件下,當輸出光場的中心頻率與光學腔共振時(在旋轉參考系下,共振時ω=0),兩個輸出光場之間的糾纏最大,糾纏隨著中心頻率ω的增加不斷減小,并且有En(ω)=En(?ω).通過計算可知,在共振時糾纏,由此可以看出在輸出光場中心頻率與光學腔共振頻率附近,力學振子的弛豫速率γ對輸出光場之間的糾纏有著很大的影響,γ=1時,En(0)≈16.81,γ=102時,En(0)≈12.21,γ=104時,En(0)≈7.60.而當輸出光場的中心頻率遠離光學腔的共振頻率時,力學振子的弛豫速率γ對糾纏的影響逐漸減小.對于弱耦合情況(G<κ),糾纏曲線形狀與強耦合情況沒有太大區別,只是糾纏數值相對較小,圖2只給出了γ=102時的弱耦合糾纏曲線,見黑色實線,其他參數為:G1=G2=G=2×104,κ1=κ2=κ=105.

圖2 在σ→0的條件下,力學振子弛豫速率γ取不同值時,輸出光場之間糾纏En隨著輸出光場中心頻率ω/κ的變化曲線 強耦合條件下(G=5κ=5×105),γ=1(紅色實線),γ=102(藍色虛線),γ=104(綠色點線);弱耦合條件下(G=κ/5=2×104),γ=102(黑色實線)Fig.2. Under the condition of σ → 0,the output entanglement En is plotted with the change of center frequency of output fields ω/κ for different mechanical decay γ:for strong coupling(G=5κ =5×105),γ =1(red solid line),γ=102(blue dashed line),γ=104(green dotted line);for weak coupling(G=κ/5=2×104),γ=102(black solid line).

由以上討論可知,當σ→0時輸出光場糾纏的最大值出現在共振處,即ω=0.然而接下來的討論發現,濾波器半寬σ對輸出光場糾纏產生重要的影響.當σ取有限值時,糾纏的最大值不再出現在ω=0的位置,相反在ω=0處,糾纏取局部最小值.在這里我們只討論強耦合情況(弱耦合糾纏圖形只是數值較小),并取參數γ=1,G=5κ=5×105(G1=G2=G,κ1=κ2=κ).通過計算可知,當輸出光場中心頻率ω滿足時,. 圖3給出了在濾波器帶寬σ取不同值時輸出光場糾纏En隨著輸出光場中心頻率ω/κ的變化曲線:σ=103(紅色虛線),σ=104(藍色點線),σ=105(綠色實線).由圖3可知,輸出光場之間的糾纏En最大值出現在絕對值大于σ/2的某一中心頻率處,而在范圍內幾乎為零,這是因為γ/σ≈0.這說明濾波器帶寬σ對共振頻率附近的糾纏有很強的抑制作用.輸出糾纏的最大值也隨著σ的增加不斷降低.由公式可知,當半寬σ不為零時,可以通過提高力學振子的弛豫速率γ的方法來提高共振頻率(ω=0)附近的輸出光場糾纏大小.

圖3 在濾波器帶寬σ取不同值時,輸出光場之間糾纏En隨著輸出光場中心頻率ω/κ的變化曲線 σ=103(紅色虛線),σ=104(藍色點線),σ=105(綠色實線);其他參數 γ=1,G1=G2=G=5×105,κ1=κ2=κ=105Fig.3.The output entanglement En is plotted with the change of center frequency of output fields ω/κ for different filter bandwidth σ: σ =103(red dashed line),σ=104(blue dotted line),σ=105(green solid line).Other parameters:γ=1,G1=G2=G=5×105,κ1= κ2=κ =105.

最后討論非相等耦合(G1>G2)對輸出光場糾纏的影響,這里分強耦合和弱耦合兩種情況討論,參數取γ=1,σ=103,κ=105.強耦合情況下(G1=G=5×105>κ),圖4給出了在G2/G1取不同值時輸出糾纏En隨著輸出光場中心頻率ω/κ的變化曲線:G2/G1=1(紅色虛線);G2/G1=0.95(藍色點線);G2/G1=0.90(黑色實線).當G2/G1=1時,由上面的討論可知,濾波器帶寬σ對ω=0附近的糾纏產生很強的抑制作用.但是如果采用非相等耦合,則可以有效抵制濾波器帶寬σ對輸出糾纏的抑制作用(見圖4中的藍色點線和黑色實線).由圖4可知,與相等耦合時(紅色虛線)在ω=0附近的輸出糾纏相比,非相等耦合時的輸出糾纏得到大幅提高,并在共振頻率處取局部最大值,而且非相等耦合時輸出光場糾纏會出現三個峰值.這是因為在強耦合條件下哈密頓量Hint的三個本征模發生劈裂[22].圖5給出了在弱耦合時(G1=G=2×104<κ),在G2/G1取不同值時,輸出糾纏En隨著輸出光場中心頻率ω/κ的變化曲線:G2/G1=1(紅色虛線);G2/G1=0.95(藍色點線);G2/G1=0.90(黑色實線).由圖5可見,在弱耦合時輸出光場糾纏值比強耦合時小很多,由于是弱耦合,所以不會出現本征模劈裂現象,而輸出糾纏卻出現兩個峰值,這是因為濾波器半寬σ對共振頻率ω=0附近的輸出糾纏En有很強的抑制作用,使本來不應該出現劈裂的現象出現了兩個峰.

圖4 在強耦合條件下,G2/G1取不同值時輸出糾纏En隨著輸出光場中心頻率ω/κ的變化曲線 G2/G1=1(紅色虛線),G2/G1=0.95(藍色點線),G2/G1=0.90(黑色實線);其他參數γ=1,σ=103,κ=105,G1=5κFig.4. With strong coupling,the output entanglement En is plotted with the change of center frequency of output fields ω/κ for different values of G2/G1:G2/G1=1(red dashed line),G2/G1=0.95(blue dotted line),G2/G1=0.90(black solid line).Other parameters:γ =1,σ =103,κ =105,G1=5κ.

圖5 在弱耦合條件下,G2/G1取不同值時輸出糾纏En隨著輸出光場中心頻率ω/κ的變化曲線 G2/G1=1(紅色虛線),G2/G1=0.95(藍色點線),G2/G1=0.90(黑色實線);其他參數γ=1,σ=103,κ=105,G1=κ/5Fig.5. With weak coupling,the output entanglement En is plotted with the change of center frequency of output fields ω/κ for different values of G2/G1:G2/G1=1(red dashed line),G2/G1=0.95(blue dotted line),G2/G1=0.90(black solid line).Other parameters:γ=1,σ=103,κ=105,G1=κ/5.

4 結 論

對雙腔光力學系統中輸出光場之間的糾纏性質進行了分析.研究發現,此系統中力學振子的弛豫速率γ和濾波器帶寬σ的大小以及非相等耦合G1>G2條件對輸出光場之間糾纏的大小都有著顯著的影響,特別是在相等耦合時(G1=G2)和輸出光場中心頻率在光學腔本征頻率附近時,濾波器帶寬σ對糾纏有很強的抑制作用;但是如果采用非相等耦合,則可以有效抵制濾波器帶寬的這種抑制作用;當系統在強耦合參數區域時,如果采用非相等耦合,則輸出光場糾纏會出現三個峰值,這是因為此時系統的哈密頓量Hint的三個本征模發生劈裂;而對于弱耦合糾纏會出現兩個峰值,這是因為濾波器半寬σ對共振頻率ω=0附近的輸出糾纏En有很強的抑制作用,使本來不應該出現劈裂的現象出現了兩個峰.這些研究結果有望應用于光力系統中量子態轉換、量子隱形傳態等量子信息處理過程.

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