雙參平面內(nèi)單級(jí)直齒圓柱齒輪系統(tǒng)動(dòng)力特性綜合分析

田亞平 褚衍東 饒曉波

摘要： 為揭示非線性直齒圓柱齒輪系統(tǒng)分岔、嚙合沖擊、脫嚙和動(dòng)載系數(shù)間的耦合關(guān)系，在時(shí)變嚙合剛度幅值系數(shù)與無(wú)量綱頻率參數(shù)平面內(nèi)用PNF法和延續(xù)算法對(duì)單級(jí)齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型求解獲其周期/沖擊、脫嚙占空比、齒背嚙合比、動(dòng)載系數(shù)偽彩圖。研究表明：幅值系數(shù)和頻率是影響分岔、沖擊、脫嚙、動(dòng)載系數(shù)的主要因素，隨幅值系數(shù)遞增系統(tǒng)經(jīng)倍化、Hopf、激變、擦切、鞍結(jié)分岔方式由周期運(yùn)動(dòng)通向混沌，并導(dǎo)致嚙合沖擊、脫嚙占空比和動(dòng)載系數(shù)增大；混沌、擬周期運(yùn)動(dòng)和嚙合沖擊現(xiàn)象出現(xiàn)在共振頻率附近，其脫嚙、動(dòng)載系數(shù)在該處出現(xiàn)極值。雙參平面內(nèi)綜合動(dòng)力特性轉(zhuǎn)遷規(guī)律為齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化提供理論參考。

關(guān)鍵詞： 非線性振動(dòng)； 單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)； 動(dòng)力特性； PNF數(shù)值法； 雙參平面

中圖分類號(hào)： O322； TH132.425文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1004-4523（2018）02-0219-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.004

引 言

齒輪傳動(dòng)廣泛應(yīng)用于各類機(jī)械裝置中，其非線性動(dòng)力學(xué)行為是影響齒輪疲勞壽命的主要因素。Kahraman等[1]考慮齒側(cè)間隙和誤差激勵(lì)因素建立了單自由度單級(jí)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)了次諧響應(yīng)和混沌響應(yīng)。Vinayak等[2]研究了齒輪嚙合綜合傳遞誤差對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響。劉曉寧[3]等用增量諧波平衡法對(duì)三自由度齒輪系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析并判穩(wěn)。茍向鋒[4]用相圖、Lyapnuov指數(shù)譜、Poincaré截面法找出了三自由度單級(jí)齒輪副隨參數(shù)變化通向混沌運(yùn)動(dòng)的途徑。王曉筍[5]等研究了含磨損故障的單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的分岔行為及通向混沌的途徑。

PNF法（Poincaré-Newton-Floquet）是一種結(jié)合Floquet穩(wěn)定性理論的周期運(yùn)動(dòng)求解、判穩(wěn)同步進(jìn)行的高效數(shù)值方法。PNF法在非線性動(dòng)力學(xué)方面獲得了大量研究成果。羅躍綱[6]研究含裂紋和碰磨耦合故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，韓清凱[7-8]研究碰磨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題，李同杰[9]研究行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，楊振 [10] 等研究正交面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)分岔特性，田亞平[11]等研究了單級(jí)齒輪系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)及穩(wěn)定性問(wèn)題。上述成果均是單參下系統(tǒng)的分岔特性及周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題，無(wú)法全面了解多參數(shù)耦合對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響。雙參平面內(nèi)研究非線性動(dòng)力特性能理清系統(tǒng)參數(shù)之間的耦合關(guān)系并確定穩(wěn)定運(yùn)行的參數(shù)范圍，為實(shí)際工程中齒輪機(jī)構(gòu)的參數(shù)選擇提供理論指導(dǎo)。茍向鋒等[12-13]采用胞映射和逃逸算法研究了雙參平面內(nèi)純扭轉(zhuǎn)齒輪副的分岔特性和齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)及分岔特點(diǎn)。但綜合運(yùn)用PNF法和延續(xù)算法研究齒輪系統(tǒng)在雙參平面內(nèi)綜合動(dòng)力特性（分岔、嚙合沖擊、脫嚙及動(dòng)載系數(shù)）的文獻(xiàn)還鮮有報(bào)道。

本文以單級(jí)直齒圓柱齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為研究對(duì)象，用PNF法和延續(xù)算法對(duì)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)、分岔、嚙合沖擊、脫嚙及動(dòng)載系數(shù)進(jìn)行求解，獲得時(shí)變嚙合剛度幅值系數(shù)和無(wú)量綱頻率雙參平面?zhèn)尾蕡D，探尋其動(dòng)力特性隨參數(shù)轉(zhuǎn)遷的規(guī)律和耦合匹配關(guān)系。

第2期田亞平，等： 雙參平面內(nèi)單級(jí)直齒圓柱齒輪系統(tǒng)動(dòng)力特性綜合分析振 動(dòng) 工 程 學(xué) 報(bào)第31卷 1 單級(jí)直齒圓柱齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型 單級(jí)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。圖中，主從動(dòng)齒輪的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、基圓半徑、扭轉(zhuǎn)角位移和輸入輸出扭矩用mgi，Igi，rgi，θgi，Tgi（i=1，2）表示；主從動(dòng)齒輪支承軸承的間隙、阻尼、線性剛度、作用于軸承的徑向預(yù)載荷和徑向位移用bi，cbi，kbi，F(xiàn)bi，ygi表示。時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、嚙合線性阻尼、綜合誤差用kh（t），2bh，ch，e（t）表示。

圖1 單級(jí)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性模型

Fig.1 The nonlinear model of a single-stage spur gear system

定義無(wú)量綱齒輪嚙合的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差與靜態(tài)傳動(dòng)誤差的差值y3

y3（τ）=[rg1θg1（τ）-rg2θg2（τ）+yg1-

yg2-e（τ）]/bc（1）

式中 bc為特征長(zhǎng)度。

由文獻(xiàn)[3]知其系統(tǒng)的無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)方程為

1=-fb1-2ζ111-2ζ133-k11f（y1，b1）-

k13（τ）f（y3，b3）

2=fb2-2ζ222+2ζ233-k22f（y2，b2）+

k23（τ）f（y3，b3）

3=fm+fah1Ω2cos（Ωτ）+1-2-2ζ333-

k33（τ）f（y3，b3）（2）

式中 yi（i=1，2）為軸承無(wú)量綱徑向位移，yi=ygi/bc（i=1，2）；ζij（i，j=1，2，3）為阻尼比，ζij=cij/（2mijΩn），Ωn為系統(tǒng)固有頻率，Ωn=km/me，km為嚙合剛度平均值，me為嚙合等效質(zhì)量。fbi為無(wú)量綱軸承徑向預(yù)載荷，fbi=Fbi/（mgiΩ2nbc）。fm為無(wú)量綱齒輪嚙合平均激勵(lì)力，fm=Tg1/（rb1meΩ2nbc）。fah1為無(wú)量綱內(nèi)部激勵(lì)動(dòng)載系數(shù)， fah1=ea/（mebc）。k33（τ）=1+αcos（Ωτ），k13（τ）= k23（τ）= k33（τ）/4，α為嚙合剛度幅值系數(shù)，Ω為無(wú)量綱頻率，Ω=Ωh/Ωn，Ωh為嚙頻。Kii= Ω2bi/Ω2n， Ωbi為軸頻，Ωbi=kbi/mgi。τ為無(wú)量綱時(shí)間，τ=Ωnt。f（yi，bi）為間隙非線性函數(shù)，bi=bhi/bc。f（yi，bi）=yi-bi，yi>bi

0，yi≤bi

yi+bi，yi<-bi（3）式中 bi為齒側(cè)和軸承支承的無(wú)量綱間隙。

對(duì)系統(tǒng)（2）進(jìn)行降階處理，用狀態(tài)變量{x1，x2，…，x6}替代y1，1，…，y3，3，則系統(tǒng)（2）的狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)化為

1=x2

2=-fb1-2ζ11x2-2ζ13x6-k11f（x1，b1）-

k13（τ）f（x5，b3）

3=x4

4=fb2-2ζ22x4+2ζ23x6-k22f（x3，b2）+

k23（τ）f（x5，b3）

5=x6

6=fm+fah1Ω2cos（Ωτ）+2-4-2ζ33x6-

k33（τ）f（x5，b3）（4）

2 動(dòng)力特性分析參數(shù)〖*2〗2.1 脫嚙占空比和齒背嚙合比 由文獻(xiàn)[14]知，齒輪嚙合中存在無(wú)沖擊、齒面擦切、脫嚙單邊沖擊、齒背擦切和齒背嚙合雙邊沖擊，其沖擊類型（impact=0，1，2）和脫嚙狀態(tài)由最小嚙合綜合誤差xmin與齒側(cè)間隙b來(lái)判斷，其表達(dá)式為

impact=0，xmin>b無(wú)沖擊，無(wú)脫嚙

0，xmin=b齒面擦切，無(wú)脫嚙

1，xmin

1，xmin=-b齒背擦切，脫嚙

2，xmin<-b雙邊沖擊，齒背接觸 （5）

脫嚙或齒背嚙合下，齒面產(chǎn)生的拍擊和附加動(dòng)載荷是導(dǎo)致嚙合狀態(tài)惡化的主要因素。脫嚙占空比和齒背嚙合比用來(lái)表征齒輪脫嚙狀態(tài)惡化情況。設(shè)齒輪在一個(gè)嚙合周期T內(nèi)脫嚙時(shí)間為t1，齒背嚙合時(shí)間為t2，則脫嚙占空比DC1和齒背嚙合比DC2為DC1=t1/T

DC2=t2/T（6）2.2 動(dòng)載系數(shù)

在齒輪強(qiáng)度計(jì)算中，為考慮齒輪振動(dòng)導(dǎo)致嚙合力增大的影響因數(shù)定義動(dòng)載系數(shù)。動(dòng)載系數(shù)受軸承剛度、齒輪箱結(jié)構(gòu)、載荷狀態(tài)、潤(rùn)滑劑等因素影響，其計(jì)算十分復(fù)雜，為了突出間隙和時(shí)變剛度對(duì)動(dòng)載系數(shù)的影響，定義動(dòng)載系數(shù)為周期內(nèi)最大嚙合力與平均嚙合力的比值G=FdmaxFm=K（t）f（y3，b3）+C3Fmmax（7）式中 Fdmax為嚙合周期內(nèi)最大嚙合力，F(xiàn)m為平均嚙合力，經(jīng)無(wú)量綱化為DLC=（∑3i=1ki3（τ）f（x5，b3）+∑3i=1ζi3x6）/fmmax（8）3 系統(tǒng)非線性動(dòng)力特性綜合分析

在雙參平面內(nèi)，為分析系統(tǒng)（4）的非線性動(dòng)力綜合特性及其轉(zhuǎn)遷規(guī)律，取仿真參數(shù)：ζ11=ζ22=0.02，ζ13=ζ23=0.0125，ζ33=0.05，k11=k22=1.25，fah1=0.05，fb1= fb2=0.1，b1=b2=0，b3=1，仿真初值均取為0。無(wú)量綱平均載荷fm的大小表征了齒輪系統(tǒng)載荷狀態(tài)，本文中fm=0.2代表齒輪輕載運(yùn)行狀態(tài)。無(wú)量綱頻率Ω∈[1，2]表征齒輪處于中高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。即仿真參數(shù)表征中高速輕載狀態(tài)下齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)綜合特性。

3.1 PNF法系統(tǒng)分岔類型的判別及追蹤

PNF法分岔、追蹤、判穩(wěn)方法如下：

（1）以Ω為分岔參數(shù)，用PNF法[9-10]求解Ω0處的不動(dòng)點(diǎn)X0及周期數(shù)P；

（2）用延續(xù)算法[15]以ΔΩ為步長(zhǎng)，追蹤Ω=Ω0+ΔΩ處的周期解不動(dòng)點(diǎn)X；

（3）求解不動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)遷矩陣的最大Floquet乘子|λmax|，判斷其|λmax|是否大于1，若|λmax|≥1轉(zhuǎn)入步驟（4），否則轉(zhuǎn)入步驟（2）；

（4）當(dāng)|λmax|≥1時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生了分岔，該點(diǎn)為分岔點(diǎn)，并由Floquet理論[16]判斷分岔類型，停止該周期的延續(xù)追蹤，以下一點(diǎn)為新起始點(diǎn)，轉(zhuǎn)入步驟（1）重新求解周期和不動(dòng)點(diǎn)；

（5）當(dāng)遍歷Ω參數(shù)區(qū)域結(jié)束追蹤。

取α=0，Ω∈[1，2]的分岔圖和判穩(wěn)圖如圖2所示。圖2Ⅰ分岔圖表明：在參數(shù)區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)主要以周期1（P1，下同）運(yùn)動(dòng)存在，僅在Ω∈（1.414，1.502）內(nèi)以P2運(yùn)動(dòng)形式存在。圖2Ⅱ?yàn)閨λmax|判穩(wěn)圖，最大Floquet乘子|λmax|從Ω=2開(kāi)始以P1延續(xù)追蹤，當(dāng)Ω∈（1.414，1.502）時(shí)，P1運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)|λmax|>1，端點(diǎn)為分岔點(diǎn)。

考查其分岔點(diǎn)的Floquet乘子，并判別其分岔類型如表1所示。其Floquet乘子能準(zhǔn)確地找出其分岔點(diǎn)和分岔類型，同時(shí)延續(xù)算法不需大量的瞬態(tài)求解，提高求解效率，故較Runge-Kutta法求解速度更快。

圖2 PNF延續(xù)法分岔及判穩(wěn)圖

Fig.2 Bifurcation and stability diagram by PNF and continuation method

表1 基于PNF延續(xù)算法的系統(tǒng)分岔類型判別

Tab.1 Bifurcation type discriminant with PNF and continue method

考查點(diǎn)

（分岔點(diǎn)）參數(shù) （Ω，α）追蹤周期PFloquet乘子λ|λmax|分岔類型A（1.414，0.0）P1（0.1844±0.8971i，0.9203，0.5614，-1.0228，-0.8207）1.0228倍化B（1.502，0.0）P1（0.6663 ± 0.3062i，-0.0246 ± 0.9193i，-1.0032，-0.8359）1.0032倍化C（1.263，0.5）P1（1.6521，0.4259，0.9053，0.9053，0.7125，0.7750）1.6521鞍結(jié)D（1.337，0.2）P2（0.6564 ± 0.7573i，-0.3892 ± 0.7315i，0.1072 ± 0.3943i）1.0022HopfE（1.376，0.2）P2（1.8340，0.5643，0.5643，0.8331，0.8331，0.3020）1.8340鞍結(jié)

Floquet理論無(wú)法判斷含間隙系統(tǒng)的擦切運(yùn)動(dòng)及擦切分岔現(xiàn)象，故在延續(xù)追蹤中需按式（5）判斷。圖2Ⅰ中頻率Ω的部分相圖如圖3所示。在分岔點(diǎn)A點(diǎn)前系統(tǒng)處于無(wú)沖擊單周期運(yùn)動(dòng)（圖3（a）），在分岔點(diǎn)A處不但發(fā)生了倍化分岔（圖3（b）），且系統(tǒng)位移穿越非光滑點(diǎn)x5=1（x=b）截面發(fā)生了擦切分岔，故在分岔圖上表現(xiàn)出了幅值跳躍現(xiàn)象。在Ω∈[1.570，1.590]區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)為穩(wěn)定的P1運(yùn)動(dòng)，但系統(tǒng)經(jīng)歷了單邊沖擊（圖3（c））、擦切運(yùn)動(dòng)（圖3（d））和無(wú)沖擊運(yùn)動(dòng)（圖3（e））的轉(zhuǎn)遷，因穿越x5=1截面時(shí)周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)未改變，故在Ω=1.580處僅發(fā)生了擦切運(yùn)動(dòng)。

圖3 相圖

Fig.3 Phase diagrams圖4 系統(tǒng)綜合非線性動(dòng)態(tài)特性圖

Fig.4 Nonlinear dynamic characteristic graphs

3.2 頻率Ω對(duì)系統(tǒng)綜合動(dòng)力特性影響

時(shí)變嚙合剛度幅值系數(shù)α是表征齒輪嚙合重合度大小，傳動(dòng)穩(wěn)定性的主要指標(biāo)；無(wú)量綱頻率Ω是表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)速高低的主要指標(biāo)。因此，選取參數(shù)α和Ω為分析對(duì)象。

取無(wú)量綱頻率Ω為分岔參數(shù)，分別取α為0，0.2，0.5表示高、中和小重合度嚙合狀態(tài)，結(jié)合式（5），（6）和（8）計(jì)算出其系統(tǒng)動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差x5隨Ω變化的分岔、沖擊、脫嚙、動(dòng)載系數(shù)等非線性特性如圖4所示。

圖4（a）為α=0的時(shí)不變剛度系統(tǒng)，系統(tǒng)經(jīng)歷了P1-P2-P1運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷形成周期泡分岔，在Ω=1.414和1.502處發(fā)生了倍化分岔（如表1所示）。在Ω∈（1.414，1.580）區(qū)間系統(tǒng)發(fā)生了脫嚙單邊沖擊（impact=1，圖4（a）Ⅲ），其脫嚙占空比較小（DC1<0.22，圖4（a）Ⅱ），受倍周期分岔的影響（Ω=1.502處）脫嚙占空比發(fā)生了跳躍突變。無(wú)沖擊（impact=0）狀態(tài)下動(dòng)載系數(shù)較小（1

圖4（b）為α=0.2的小幅值時(shí)變剛度系統(tǒng)，系統(tǒng)經(jīng)Hopf、鞍結(jié)激變、倍化分岔獲得了P1-擬周期-P2-混沌-…-P4-P2-P1的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。單邊沖擊區(qū)域擴(kuò)大為Ω∈（1.310，1.722），脫嚙現(xiàn)象加劇，脫嚙占空比增大到0.6左右，動(dòng)載系數(shù)增大到2.2左右，且在倍化分岔點(diǎn)Ω=1.515附近出現(xiàn)了極值。

圖4（c）為α=0.5的大幅值時(shí)變剛度系統(tǒng)，系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)激變、Hopf、倍化分岔出現(xiàn)了P1-混沌-P2-混沌-P2-混沌-P1-混沌-P1的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。單邊沖擊繼續(xù)擴(kuò)大到Ω∈（1.263，1.923），在Ω∈（1.250，1.317）區(qū)間出現(xiàn)了齒背嚙合雙邊沖擊（impact=2）和脫嚙單邊沖擊（impact=1）的交替狀態(tài)，最大DC1穩(wěn)定在0.6附近，DLC穩(wěn)定在2.2左右。

結(jié)合圖4三種嚙合剛度幅值系數(shù)α仿真結(jié)果表明：隨α的遞增系統(tǒng)的混沌、擬周期運(yùn)動(dòng)范圍擴(kuò)大，齒輪嚙合單邊沖擊、脫嚙占空比和動(dòng)載系數(shù)遞增，穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的范圍減少。α為常數(shù)時(shí)，隨Ω變化系統(tǒng)的沖擊特性、脫嚙現(xiàn)象、動(dòng)載系數(shù)隨系統(tǒng)的擬周期或混沌運(yùn)動(dòng)而加劇。

3.3 （Ω，α）雙參平面內(nèi)綜合動(dòng)力特性分析

在（Ω，α）雙參平面內(nèi)研究系統(tǒng)的綜合動(dòng)力特性及其耦合轉(zhuǎn)遷規(guī)律具有工程實(shí)際意義。圖5（a）～（d）為系統(tǒng)的沖擊/周期“I/P”、脫嚙占空比“DC1”、齒背嚙合比“DC2”和動(dòng)載系數(shù)“DLC”動(dòng)態(tài)特性偽彩圖。

圖5（a）偽彩圖中，用不同的顏色區(qū)分不同的“I/P”運(yùn)動(dòng) [17]，其區(qū)域的邊界線即為分岔曲線。為突出短周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，對(duì)于周期數(shù)P≥65的周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)均用“I/n”表示。當(dāng)系統(tǒng)從狀態(tài)“0/P”向“1/P”狀態(tài)轉(zhuǎn)遷時(shí)，如周期運(yùn)動(dòng)未變則發(fā)生了擦切運(yùn)動(dòng)（G m），如周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生了變化則產(chǎn)生了擦切分岔（G Bif）其交線為擦切曲線。當(dāng)系統(tǒng)從“I/P”向“I/（2P）”轉(zhuǎn)遷時(shí)發(fā)生了倍化分岔（PD Bif），其交線為倍化分岔曲線。系統(tǒng)的Hopf分岔（PF Bif）、鞍結(jié)分岔（SN bif）和激變分岔（CIC）由Floquet乘子判斷。脫嚙占空比DC1（圖5（b）），齒背嚙合比DC2（圖5（c））和動(dòng)載系數(shù)DLC（圖5（d））灰度圖中，對(duì)動(dòng)力特性指標(biāo)分級(jí)處理，并用不同的灰度值表示其脫嚙、齒背嚙合和動(dòng)載系數(shù)程度。

圖5 （Ω，α）雙參平面內(nèi)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性圖

Fig.5 Nonlinear dynamic characteristic in the （Ω，α） two-parameter plane

在中高速輕載（Ω，α）∈（[1，2]，[0，0.5]）的雙參平面內(nèi)，系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富的分岔/沖擊特性，如圖5（a）所示。平面內(nèi)系統(tǒng)以P1運(yùn)動(dòng)為主，從Ω=1向Ω=1.4遞增時(shí)，因齒面擦切和系統(tǒng)分岔點(diǎn)重合故在系統(tǒng)分岔點(diǎn)處伴隨有擦切分岔而激變。隨α遞增系統(tǒng)出現(xiàn)了如下幾種分岔現(xiàn)象：系統(tǒng)通過(guò)擦切、倍化方式通向“1/2”，“1/4”運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（α<0.0475）；系統(tǒng)通過(guò)擦切、Hopf、鞍結(jié)分岔方式通向混沌“1/n”運(yùn)動(dòng)（0.0475<α<0.1675）；系統(tǒng)通過(guò)鞍結(jié)、激變、擦切分岔方式進(jìn)入混沌“1/n”運(yùn)動(dòng)（0.1675<α<0.5）。從Ω=2向Ω=1.4附近遞減時(shí)，系統(tǒng)從“0/1”通過(guò)擦切運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為“1/1”運(yùn)動(dòng)，后經(jīng)倍化分岔通向混沌“1/n”運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。特別在（Ω，α）∈（[1.8，2.0]，[0.25，0.5]）區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)了周期3經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為混沌，同時(shí)存在多處擦切激變分岔現(xiàn)象使“0/1”轉(zhuǎn)遷為“1/n”，“1/3”，“1/8”等運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在混沌區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)混沌狀態(tài)出現(xiàn)了單邊沖擊混沌向雙邊沖擊混沌轉(zhuǎn)遷的現(xiàn)象，即在混沌狀態(tài)下出現(xiàn)了內(nèi)部吸引子激變（CIC）現(xiàn)象。沿α方向， “1/2”運(yùn)動(dòng)向混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷過(guò)程中出現(xiàn)了自相似的叉式分支分形結(jié)構(gòu)。

圖5（b）的脫嚙占空比（DC1∈（0，1））灰度圖揭示了雙參耦合下齒輪脫嚙程度。結(jié)合圖5（a），“0”表示無(wú)脫嚙現(xiàn)象，出現(xiàn)在“0/1”運(yùn)動(dòng)區(qū)域；“0～0.1”表示出現(xiàn)了輕微脫嚙沖擊現(xiàn)象（00.6）。在各類分岔點(diǎn)處脫嚙占空比發(fā)生了突變跳躍現(xiàn)象。

圖5（c）的齒背接觸嚙合比（DC2∈（0，1））灰度圖揭示了齒輪傳動(dòng)雙邊沖擊齒背嚙合的程度。結(jié)合圖5（a）沖擊/周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在雙邊沖擊混沌“2/n”運(yùn)動(dòng)區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)了齒背接觸輕微沖擊（0

圖5（d）為動(dòng)載系數(shù)（DLC>1）灰度圖，結(jié)合圖5（a），“1～1.2”表示動(dòng)載荷輕微波動(dòng)（12.2）。

根據(jù)齒輪嚙合原理，重合度越大（α越小），齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性越好，動(dòng)載荷波動(dòng)越小。綜合分析圖5（a）～（d）中系統(tǒng)動(dòng)力特性綜合指標(biāo)可得：時(shí)變剛度幅值系數(shù)是影響系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的主要因素之一，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性隨幅值系數(shù)增大（重合度較小）而變差，系統(tǒng)的分岔和嚙合沖擊在線性共振頻率（Ω=1.3～1.5）附近變得十分復(fù)雜，系統(tǒng)動(dòng)力參數(shù)達(dá)到極值，仿真結(jié)果和工程實(shí)際基本吻合。因此在齒輪系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)中通過(guò)增大重合度減小剛度幅值系數(shù)和調(diào)整結(jié)構(gòu)參數(shù)避開(kāi)共振頻率是提高系統(tǒng)疲勞壽命的有效措施。在“0/1”區(qū)域內(nèi)根據(jù)設(shè)備實(shí)際需要的動(dòng)載系數(shù)選擇參數(shù)區(qū)域?yàn)辇X輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

4 結(jié) 論

在時(shí)變嚙合剛度幅值系數(shù)和無(wú)量綱頻率雙參平面內(nèi)，用PNF延續(xù)算法對(duì)單級(jí)齒輪非線性系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值求解獲得了分岔、嚙合沖擊、齒背嚙合、脫嚙、動(dòng)載系數(shù)偽彩圖。通過(guò)分析獲得如下結(jié)論：

1）綜合運(yùn)用PNF法和延續(xù)算法進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)周期解/分岔求解是一種高效、精確的數(shù)值方法。

2）時(shí)變嚙合剛度幅值系數(shù)是影響齒輪周期運(yùn)動(dòng)分岔、脫嚙、動(dòng)載系數(shù)增大的主要因素之一。齒輪嚙合綜合特性隨嚙合剛度系數(shù)的增加（重合降低）而變差，直至系統(tǒng)混沌失穩(wěn)，影響系統(tǒng)的疲勞壽命。

3）含間隙齒輪系統(tǒng)除了常見(jiàn)的倍化、Hopf、鞍結(jié)激變分岔外還存在擦切激變分岔，而分岔引起了系統(tǒng)動(dòng)載系數(shù)、脫嚙現(xiàn)象的階躍突變。

4）系統(tǒng)共振頻率和齒側(cè)間隙所引起的分岔和嚙合沖擊是導(dǎo)致脫嚙、動(dòng)載系數(shù)突變的主要因素，在混沌區(qū)域其沖擊和動(dòng)載現(xiàn)象最劇烈達(dá)到極值。

5）在雙參平面內(nèi)的無(wú)沖擊周期1運(yùn)動(dòng)“0/1”區(qū)域內(nèi)選取動(dòng)載系數(shù)參數(shù)是提高設(shè)備穩(wěn)定性延長(zhǎng)疲勞壽命的主要措施。

參考文獻(xiàn)：

[1] Kahraman A， Singh R. Non-linear dynamics of a spur gear pair[J]. Journal of Sound and Vibration， 1990， 142（1）：49—75.

[2] Vinayak H， Singh R， Padmanabhan C. Linear dynamic analysis of multi-mesh transmissions containing external rigid gears [J]. Journal of Sound and Vibration， 1995，185（1）：1—32.

[3] 劉曉寧，王三民，沈允文. 三自由度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)分析[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù)， 2004，23（10）：59—61.

LIU Xiaoning， Wang Sanmin， SHEN Yunwen. Nonlinear vibrations of 3-DOF geared rotor-bearing system[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering， 2004，23 （10）：59—61.

[4] 茍向鋒，陳代林.三自由度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的分岔與混沌研究[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2014，33（2）：199—203.

Gou Xiangfeng， Chen Dailin. Research on bifurcation and chaos of 3-DOF gear transmission system[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering， 2014，33（2）：199—203.

[5] 王曉筍， 巫世晶，周旭輝，等. 含磨損故障的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性[J]. 振動(dòng)與沖擊， 2013，3（16）：37—43，69.

Wang Xiaosun， Wu Shijing， Zhou Xuhui， et al. Nonlinear dynamics analysis of gear transmission system with wear fault [J]. Journal of Vibration and Shock， 2013， 3（16）：37—43，69.

[6] Luo Yuegang， Ren Zhaohui， Ma Hui. Stability of periodic motion on the rotor-bearing system with coupling faults of crack and rub-impact [J]. Journal of Mechanical Science and Technology， 2007， 21：860—864.

[7] Han Qingkai. Periodic motions of a dual-disk rotor system with rub-impact at fixed limiter [J]. Proc. JMSE， Part C： Journal of Mechanical Engineering Science， 2008， 222（C10）： 1935—1946.

[8] Han Qingkai. Periodic motion stability of a dual-disk rotor system with rub-impact at fixed limiter [J]. Vibro-Impact Dynamics of Ocean System， LANCM， 2009，44：105—109.

[9] 李同杰，朱如鵬，鮑和云，等. 行星齒輪傳動(dòng)系的周期運(yùn)動(dòng)及其穩(wěn)定性[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2013，26（6）：815—822.

Li Tongjie， Zhu Rupeng， Bao Heyun， et al. coexisting periodic solutions and their stability of a nonlinear planetary gear train[J]. Journal of Vibration Engineering， 2013， 26（6）：815—822.

[10]楊 振，王三民，范葉森，等. 正交面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)分岔特性[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，43（3）：107—110.

Yang Zhen， Wang Sanmin， Fan Yesen， Liu Haixia. Bifurcation characteristics of face-gear transmission system[J]. Journal of Harbin Institute of Technology， 2011，43（3）：107—110.

[11]田亞平，褚衍東，饒曉波. 單級(jí)齒輪系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)及其穩(wěn)定性[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)，2017，34（2）：45—49.

Tian Yaping， Chu Yandong， Rao Xiaobo. Periodic motion and its stability of a single-stage gear system [J]. Journal of Machine Design， 2017， 34（2）：45—49.

[12]Gou Xiangfeng， Zhu Lingyun， Chen Dailin. Bifurcation and chaos analysis of spur gear pair in two-parameter plane [J]. Nonlinear Dynamic， 2015， 79：2225—2235.

[13]茍向鋒， 陳代林. 雙參變量下齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性分析[J].工程力學(xué)，2014，31（11）：211—217.

Guo Xiangfeng， Chen Dailin. Dynamic analysis on torsional vibration of gear-rotor system in two parameters plane[J]. Engineering Mechanics， 2014，31（11）：211—217.

[14]李潤(rùn)方， 王建軍. 齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)-振動(dòng)、沖擊、噪聲[M]. 北京：科學(xué)出版社， 1997.

Li Runfang， Wang Jianjun. Gear System Dynamics Vibration， Shock and Noise[M]. Beijing： Science Press， 1997.

[15]胡海巖. 應(yīng)用非線性動(dòng)力學(xué)[M]. 北京：航空工業(yè)出版社，2000.

Hu Haiyan. Application of Nonlinear Dynamics[M]. Beijing： Aviation Industry Press， 2000.

[16]韓清凱，于 濤，王德友，等. 故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性振動(dòng)分析與診斷方法[M]. 北京：科學(xué)出版社，2010.

Han Qingkai， Yu Tao， Wang Deyou， et al. The Nonlinear Rotor System Vibration AnalysIs and Fault Diagnosis Method[M]. Beijing： Science Press， 2010.

[17]Luo G W， Zhu X F， Shi Y Q. Dynamics of a two-degree-of freedom periodically-forced system with a rigid stop： diversity and evolution of periodic-impact motions[J]. Journal of Sound & Vibration， 2015，334：338—362.

Dynamic characteristic analysis of a single-stage spur gear system in

two-parameter plane

TIAN Ya-ping1， CHU Yan-dong1，2， RAO Xiao-bo1

（1.School of Mechatronic Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China；

2.Key Laboratory of System Dynamics and Reliability of Rail Transport Equipment of Gansu Province，

Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： In order to reveal the coupling relationship among bifurcation， gear meshing impact， tooth separation， tooth back-side contact and dynamic load coefficient （DLC） of the nonlinear gear system， the pseudo color maps of the meshing impact and period， duty cycle of the mesh apart （DC1）， duty cycle of the tooth back-side contact （DC2） and DLC for a single stage gear system are obtained by Poincaré-Newton-Fouquet （PNF） and the continuation numerical calculation method in the time-varying meshing stiffness amplitude coefficient （TVMSA） and dimensionless frequency two parameters plane. Research shows that the TVMSA and resonance frequency are main factors for bifurcation， gear meshing impact and DLC of the gear system. With the increase of TVMSA， the system's periodic motion turns to chaos by the way of period-doubling， Hopf， crisis， grazing， saddle node bifurcation and the DC1， DC2 and DLC increase. Meanwhile， the chaos， quasi periodic motion and meshing impact phenomenon appear near the resonant frequency， in which the DC1， DLC reach the extreme values. The dynamic characteristics transitions laws can provide the theoretical reference for the optimization of the gear structure parameter.

Key words： nonlinear vibration； single-stage spur gear system； dynamic characteristics； PNF method； two-parameter plane