齒輪—轉子—軸承系統彎扭耦合非線性振動特性研究

陸春榮 李以農 竇作成 楊陽 杜明剛

摘要： 針對存在不對中花鍵聯軸器齒輪-轉子-軸承系統，考慮齒輪嚙合力和花鍵聯軸器嚙合力的影響，建立齒輪-轉子-軸承系統動力學模型，推導了彎扭耦合振動的動力學微分方程。通過進行數值仿真求解，結合隨參數變化的分岔圖和對應的相圖及龐加萊截面圖，研究了嚙合頻率、偏心距、花鍵聯軸器靜態不對中等參數對系統振動響應特性的影響規律，為齒輪轉子耦合系統參數選擇、診斷和安全運行提供了理論依據。

關鍵詞： 非線性振動； 齒輪-轉子； 彎扭耦合； 嚙合頻率； 花鍵聯軸器

中圖分類號： O322； TH113.1 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2018）02-0238-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.006

引 言

齒輪傳動系統是一個包含齒輪副、傳動軸、齒輪盤、軸承等部件的復雜結構系統，由于齒輪嚙合的作用，其振動特性與簡單的轉子系統會有較大的區別。近年來，以Kaharaman[1]建立的單自由度齒輪系統動力學模型為基礎，學者們提出了各種新的改進模型[2-3]。Lin H H[4-5]在齒輪動力學模型的基礎上，采用齒輪-轉子系統的扭轉振動模型，對齒輪嚙合力、動載系數及修緣參數進行了考察研究。Farag K Omar等[6]建立一級齒輪傳動系統的9自由度模型，并且研究了傳遞誤差等因素對系統響應的影響。歐衛林等[7]針對齒輪耦合復雜轉子系統，利用軸段單元法分析了系統的彎扭耦合振動特性。竇唯等[8]針對實際高速齒輪轉子系統，建立了考慮齒輪嚙合及扭轉作用的彎扭耦合非線性振動模型，研究了齒輪嚙合剛度等參數對系統振動響應的影響規律。趙廣等[9]推導了花鍵聯軸器不對中嚙合力模型，基于有限元法建立考慮嚙合力作用的轉子系統動力學方程，研究了不對中動態嚙合力對轉子系統動力學特性影響規律。大多學者對齒輪傳動系統的彎扭耦合振動進行了大量的研究，但是在齒輪軸中考慮齒輪嚙合力、傳動軸中花鍵不對中嚙合力等因素的少有文獻提及。對于齒輪傳動這樣復雜的轉子系統，要想正確得出系統振動特性，就得建立更貼近實際的系統動力學模型。

本文在前人所做的工作的基礎上，利用集中質量法，通過對某傳動裝置前轉向結構中齒輪轉子系統考慮齒輪動態嚙合力和花鍵軸聯軸器不對中嚙合力的作用和傳遞扭矩的彎扭耦合非線性振動特性進行仿真分析，并分析嚙合頻率、偏心距、靜態不對中量等參數對系統動力學穩定性的影響規律。

1 齒輪-轉子-軸承系統動力學模型的建立1.1 建立系統動力學模型 根據某傳動裝置前轉向機構，并且考慮輸入/輸出、軸承支承等因素的影響，建立了如圖1（a）所示的齒輪傳動轉子系統彎扭耦合非線性振動模型。從圖中可以知道，該系統為一級齒輪傳動減速的雙平行轉子系統，在考慮主/從傳動齒輪以及從動齒輪傳動軸較長的情況下，建立9盤質量模型，每盤的質量為mi、轉動慣量為Ji以及偏心量為ei（i=1～9），盤6和盤7分別代表主/從傳動齒輪所在質量盤位置，e0代表花鍵聯軸器靜態位移。圖1 齒輪傳動轉子系統動力學模型

Fig.1 Dynamic of model of gear-rotor system

圖1（b）中所示齒輪嚙合模型中，在主/從動齒輪的理想中心處建立固定坐標系Ai（xi，yi）（i=6，7）假設坐標軸xi垂直于系統齒輪嚙合線方向；yi平行于系統齒輪嚙合線方向。主/從動齒輪旋轉中心坐標系Oi（xi，yi）（i=6，7），齒輪質心坐標為Gi（xgi，ygi）（i=6，7）。主動齒輪的轉角為ψ6，扭轉角位移為β6；從動齒輪的轉角為ψ7，扭轉角位移為β7。

根據前面的定義的關系可知，主從動齒輪的轉角分別為ψ6=ω1t+β6， ψ7=ω2t+β7（1）式中 t為時間。

規定在t=0時，9個質量盤的初相位都是0，且從動齒輪的轉角方向為正，則齒輪質心G6，G7與旋轉中心O6，O7之間的關系為xg6=x6+e6cos（- ψ6）

yg6=y6+e6sin（-ψ6）

xg7=x7+e7cosψ7

yg7=y7-e7sinψ7（2） 根據扭轉振動的相對性原理和主從動齒輪嚙合線方向上幾何關系，可以得出嚙合線上的相對位移δ= y6-y7+r6β6-r7β7+e6sinψ6-e7sinψ7-e（t），因此齒輪嚙合時沿嚙合線方向的動態嚙合力為FG=kmf（δ）+cmf（）（3）式中 km為齒輪嚙合的綜合嚙合剛度；cm為齒輪嚙合的綜合嚙合阻尼；r6和r7為主從齒輪的基圓半徑；e（t）為齒輪嚙合誤差，可表示為et=ep+ersin（ωet+φe）（4）式中 ep， er為嚙合誤差的均值和波動幅值，取ep為0，φe為相位角，其中ωe=2πn1z1/60為齒輪副的嚙合頻率，n1為主動齒輪的轉速，z1為主動齒輪的齒數，f（…）是非線性函數，其表達式為f（δ）=δ>bc

0，-bc≤δ≤bc

δ+bc，δ<-bc（5）式中 bc為齒側間隙的一半。

1.2 花鍵聯軸器嚙合力模型

如圖1（c）為花鍵聯軸器受力圖，聯軸器傳遞扭矩時，會使各鍵產生變形，即扭轉使各鍵產生一個嚙合力，同時，兩個半聯軸器所在節點隨系統振動又使各鍵產生變形，即動態位移使各鍵產生一個嚙合力。

本文參考文獻[9]，假定動態位移發生在x正向，可得每個鍵扭轉產生的嚙合力為：FTi=LiKLi（6）

=T/∑zi=1LiKLiR+Li（7）式中 為各鍵變形產生的扭轉角位移，T為扭矩，z為花鍵聯軸器的個數，Li和KLi分別為各鍵等效嚙合距離和剛度，R為鍵根圓半徑。

動態位移產生的嚙合力為：FDi=（e′sinφi）KLi（8）

φi=2πi-1/z（9）

e′=x+e0cosα2+y+e0sinα2（10）式中 φi為各鍵與x軸正向夾角，e′為聯軸器動態徑向位移，即兩個半聯軸器所在節點的相對位移，α為靜態位移e0與x正向的夾角，一般情況下取α=π/2。

綜上分析，得到系統花鍵聯軸器不對中故障產生的嚙合力為FLi=Li+e′sinφiKLi（11）因為每一個鍵的嚙合力均大于零，所以FLi=Li+e′sinφiKLi，Li+e′sinφi>0

0，Li+e′sinφi≤0（12） 則聯軸器不對中產生的動態嚙合力分解為FX=∑zi=1Li+e′sinφiKLicosθi

FY=∑zi=1Li+e′sinφiKLisinθi（13）式中 θi為每個鍵作用力方向與x軸正向的夾角，其中θi=φi+π/2。

當動態位移發生在任意角度ψ時，此時，聯軸器嚙合力為FLx=FXcosψ-FYsinψ

FLy=FXsinψ+FYcosψ（14）1.3 建立系統動力學方程

考慮不平衡力、嚙合力矩、輸入輸出扭矩等建立齒輪轉子系統彎扭耦合動力學微分方程：

m11+k1（x1-x2）+c1（1-2）+kb1x1+

cb11=m1e1（1sinψ1+ψ21cosψ1），

m11+k1（y1-y2）+c1（1-2）+kb1y1+

cb11=m1e1（-1cosψ1+ψ21sinψ1）-m1g，

（J1+m1e21）1+kt1（β1-β2）+ct1（1-2）=

m1e1[1sinψ1-（1+g）cosψ1]-T2，

mpp+kp-1（xp-xp-1）+kp（xp-xp+1）+

cp-1（p-p-1）+cp（p-p+1）=

mpep（psinψp+ψ2pcosψp），

mpp+kp-1（yp-yp-1）+kp（yp-yp+1）+

cp-1（p-p-1）+cp（p-p+1）=

mpep（-pcosψp+ψ2psinψp）-mpg，

（Jp+mpe2p）p+kt（p-1）（βp-βp-1）+ktp（βp-βp+1）+

ct（p-1）（p-p-1）+ctp（p-p+1）=

mpep[psinψp-（p+g）cosψp]，

m55+k4（x5-x4）+k5（x5-x7）+c4（5-

4）+c5（5-7）=m5e5（5sinψ5+

ψ25cosψ5）+FLx，

m55+k4（y5-y4）+k5（y5-y7）+c4（5-

4）+c5（5-7）=m5e5（-5cosψ5+

ψ25sinψ5）+FLy-m5g，

（J5+m5e25）5+kt4（β5-β4）+kt5（β5-β7）+

ct4（5-4）+ct5（5-7）=m5e5[5sinψ5-

（5+g）cosψ5]，

m66+k6x6+c66+kb6x6+cb66=

m6e6（6sinψ6+ψ26cosψ6），

m66+k6y6+c66+kb6y6+cb66=

m6e6（6cosψ6-ψ26sinψ6）+FG-m6g，

（J6+m6e26）6+kt6β6+ct66=m6e6[6sinψ6+

（6+g）cosψ6]+FGr6+T1，

m77+k5（x7-x5）+k7（x7-x8）+c5（7-5）+c7（7-8）=m7e7（7sinψ7+ψ27cosψ7）-FLx，

m77+k5（y7-y5）+k7（y7-y5）+c5（7-5）+c7（7-8）=m7e7（-7cosψ7+ψ27sinψ7）-

FLy-FG-m7g，

（J7+m7e27）7+kt5（β7-β5）+kt7（β7-β8）+

ct5（7-5）+ct7（7-8）=m7e7[7sinψ7-（7+g）cosψ7]-FGr7，

m99+k8（x9-x8）+c8（9-8）+kb9x9+

cb99=m9e9（9sinψ9+ψ29cosψ9），

m99+k8（y9-y8）+c8（9-8）+kb9y9+

cb99=m9e9（-9cosψ9+ψ29sinψ9）-m9g，

（J9+m9e29）9+kt8（β9-β8）+ct8（9-8）=m9e9[9sinψ9-（9+g）cosψ9]（15）

式中 p=2，3，4，8，下同。

對動力學方程進行無量綱化處理，令ω0=kav/me，kav為平均嚙合剛度，me 為齒輪副等效質量，me=m6m7/（m6+m7）。令T=ω0t， ω2為從動輪角速度，無量綱化后為ω=ω2/ω0，令γ為齒輪傳動比。引入特征尺寸bc，無量綱側隙的一半D=b/bc。令X=x/bc，=dX/dT，Y=y/bc，=dY/dT，=dβ/dT，Mi=（Ji+mie2i），Kij=kj/（mibcω02），Cij=cj/（Miω0），Ktij=ktj/（Miω02），Ctij=ctj/（miω0），Kbi=kbi/（miω02），Cbi=cbi/（miω0），Ei=ei/bc，Hi=mieibc/Mi，G=g/（bcω02）。所以，得到無量綱化后動力學方程為：

1+K11（X1-X2）+C11（1-2）+Kb1X1+

Cb11=E1[1sin（ωT+θ1）+

（ω+θ1）2cos（ωT+θ1）]，

1+K11（Y1-Y2）+C11（1-2）+Kb1Y1+

Cb11=E1[-1cos（ωT+θ1）+

（ω+θ1）2sin（ωT+θ1）]-G，

1+Kt11（θ1-θ2）+Ct11（1-2）=H1[1·

sin（ωT+θ1）-（1+gbc）cos（ωT+θ1）]-T2M1ω20，

p+Kp（p-1）（Xp-Xp-1）+Kpp（Xp-Xp+1）+Cp（p-1）（p-p-1）+Cpp（p-p+1）=

Ep[psin（ωT+θp）+（ω+θp）2cos（ωT+θp）]，

p+Kp（p-1）（Yp-Yp-1）+Kpp（Yp-Yp+1）+Cp（p-1）（p-p-1）+Cpp（p-p+1）=

Ep[-pcos（ωT+θp）+（ω+θp）2·

sin（ωT+θp）]-G，

p+Ktp（p-1）（θp-θp-1）+Ktpp（θp-θp+1）+

Ctp（p-1）（p-p-1）+Ctpp（p-p+1）=

Hp[psin（ωT+θp）-（p+gbc）·

cos（ωT+θp）]，

5+K54（X5-X4）+K55（X5-X7）+C54（5-4）+C55（5-7）=E5[5sin（ωT+θ5）+

（ω+θ5）2cos（ωT+θ5）]+FLxm5bcω20，

5+K54（Y5-Y4）+K55（Y5-Y7）+C54（5-

4）+C55（5-7）=E5[-5cos（ωT+θ5）+（ω+θ5）2sin（ωT+θ5）]+FLym5bcω20-G，

5+Kt54（θ5-θ4）+Kt55（θ5-θ7）+Ct54（5-4）+Ct55（5-7）=H5[5sin（ωT+θ5）-

（5+gbc）cos（ωT+θ5）]，

6+K66X6+C666+Kb6X6+Cb66=

E6[6sin（ωγT+θ6）+（ωγ+θ6）2·

cos（ωγT+θ6）]，

6+K66Y6+C666+Kb6Y6+Cb66=E6[6·

cos（ωγT+θ6）-（ωγ+θ6）2sin（ωγT+θ6）]+FGm6bcω20-G，

6+Kt66θ6+Ct666=H6[6sin（ωγT+θ6）+

（6+gbc）cos（ωγT+θ6）]+FGr6+T1M6ω20，

7+K75（X7-X5）+K77（X7-X8）+C75（7-5）+C77（7-8）=E7[7sin（ωT+θ7）+（ω+θ7）2cos（ωT+θ7）]-FLxm7bcω20，

7+K75（Y7-Y5）+K77（Y7-Y8）+C75（7-

5）+C77（7-8）=E7[-7cos（ωT+

θ7）+（ω+θ7）2sin（ωT+θ7）]-

FGm7bcω20-FLym7bcω20-G，

7+Kt75（θ7-θ5）+Kt77（θ7-θ8）+Ct75（7-5）+Ct77（7-8）=H7[7sin（ωT+θ7）-（7+gbc）cos（ωT+θ7）]-FGr7M7ω20，

9+K98（X9-X8）+C98（9-8）+Kb9X9+

Cb99=E9[9sin（ωT+θ9）+

（ω+θ9）2cos（ωT+θ9）]，

9 + K98（Y9-Y8）+C98（9-8）+Kb9Y9+

Cb99=E9[-9cos（ωT+θ9）+

（ω+θ9）2sin（ωT+θ9）]-G，

9+Kt98（θ9-θ8）+Ct98（9-8）=H9[9·

sin（ωT+θ9）-（9+gbc）cos（ωT+θ9）]（16）

齒輪轉子系統彎扭耦合振動仿真參數如表1～4中所示。

表1 齒輪仿真參數

Tab.1 Simulation parameters of gear參數符號數值齒輪齒數z1

z221

29質量/kgm6

m72.6775

4.9818轉動慣量/（10-4kg·m2）J6

J754.33

146.869模數m5偏心距/（10-6m）e6

e71

2嚙合剛度/（108 N·m-1）km1.288嚙合阻尼比ε0.0317嚙合傳遞誤差幅值/（10-6m）er2表2 集中質量盤仿真參數

Tab.2 Simulation parameters of mass disk參數圓盤質量

m/kg轉動慣量J/

（10-4kg·m2）偏心距e/

（10-6m）〖〗偏心初相位

φ0/rad12.667829.49331021.26952.01091031.26952.01091041.26952.01091051.01581.81231062.677554.33301077.2705146.86912084.678145.36881091.535010.153410表3 花鍵聯軸器仿真參數

Tab.3 Simulation parameters of spline shaft coupling花鍵聯軸器參數數值鍵數z11鍵高L/mm3.59鍵寬B/mm5.15鍵厚H/mm88.01鍵根圓半徑R/mm15.33彈性模量E/GPa210泊松比λ0.3傳遞扭矩T1/（N·m）100等效嚙合距離L0/mm2.68表4 軸段仿真參數

Tab.4 Simulation parameters of shaft軸段

參數彎曲剛度

k/（107·

N·m-1）彎曲阻尼

c/（N·

m-1）扭轉剛度kt/

（104 N·

m·rad-1）扭轉阻尼

ct/（N·

m·s·rad-1）12.13015.0667.74820.153022.13013.70237.76820.111832.13013.70237.76820.111842.13013.60487.76820.1088519.903015.10088.66410.1575644.1000123.834019.90001.315376.956939.28464.90340.5215828.879539.10123.90480.2277 而對于系統支承軸承，將四處軸承均視為各向同性，不考慮交叉項。并依據《滾動軸承設計原理》，計算得到：kb1=8.1799×108 N/m，kb6=1.7465×108 N/m，kb7=8.4278×108 N/m，kb9=8.7329×108 N/m，cb1=cb6=cb7=cb9=300 N·s/m。

2 系統彎扭耦合非線性振動特性分析

系統考慮了齒輪嚙合力、花鍵聯軸器不對中嚙合力等非線性因素，偏心量、轉速、嚙合剛度、靜態不對中量等對系統動力學特性影響較大。采用變步長的4階Runge-Kutta法求解量綱化后的動力學方程，用所求的數值解分別得到了系統在不同參數下的分岔圖和龐加萊截面圖，并據此為工具研究參數變化對系統振動響應的影響規律。

齒輪在6，7盤處嚙合，花鍵不對中嚙合力在5，7盤處產生，故質量盤7的振動特征最具特性，主要研究7盤的彎曲振動和扭轉振動的運動分岔特性。

2.1 嚙合頻率的影響

取齒輪轉子系統中齒輪副的半齒側間隙值為bc=40 μm。

圖2和3分別為系統隨頻率變化的分岔圖和某些頻率下的相圖及龐加萊截面圖。從分岔圖可以看出，系統運動隨嚙合頻率變化表現出復雜多樣的分岔特性。彎曲振動和扭轉振動同步運動。嚙合頻率較小時，運動狀態較為復雜，混沌運動、單周期、多周期交替變換；嚙合頻率較大時，系統運動相對穩定，隨著頻率的增大，最終穩定在周期1運動狀態。為了更好的描述系統的分岔特性，結合圖3，分析相應特定頻率下的相圖和Poincaré圖，可以得出：當ω=1.08時，相圖比較混亂，且龐加萊截面圖也是散亂的點，系統為混動運動；當ω=2.61時，相圖為3條封閉的曲線，龐加萊聚合成3個點集，系統為周期3運動；當ω=2.86時，相圖為封閉的曲線，龐加萊聚合成單個點，系統為單周期運動。圖2 系統隨嚙合頻率變化的分岔圖

Fig.2 Bifurcation diagram via frequency圖3 系統在不同嚙合頻率下的相圖和龐加萊截面圖

Fig.3 Phase diagram and Poincaré diagram of different frequency2.2 偏心距的影響

取嚙合頻率ω=2.8，其他參數保持不變，圖4（a）和（b）為系統振動隨偏心距變化的分岔圖。從系統的分岔圖中可以看出：偏心距較小時，系統表現為穩定的周期1運動；當偏心距繼續增加至E=0.0012時，系統位移發生激變，而激變后又保持短暫的周期1運動，當偏心距繼續增加直到E=0.0014時，系統直接由周期1運動進入混沌狀態。該混沌運動狀態隨著偏心距E的繼續增大，保持短暫的范圍至E=0.0032時，系統由混沌狀態再次退化為周期1運動，并且在繼續增大偏心距到一定的范圍，系統仍然保持著穩定的周期1運動，但是，系統的振動位移都隨之明顯增大。圖4（c）表明：E=0.0025時，系統處于混沌運動。由此可見，在一定范圍內，系統振動分岔特性隨偏心距的變化相對簡單，只存著周期1運動和混沌運動的轉變，只是在某一范圍內，發生了混沌運動。

2.3 其他系統參數的影響

齒輪是傳遞運動和動力的基本傳動機構，建模時，考慮了齒輪輸入扭矩、齒輪嚙合力和花鍵聯軸器不對中嚙合力，故輸入扭矩T1、齒輪嚙合剛度k和花鍵靜態不對中量E0對系統振動特性也必然會有較大影響。

圖5（a）中是系統隨輸入扭矩T1變化時的分岔特性圖。容易看出：扭矩較小時，系統運動表現為混沌運動狀態；隨著輸入扭矩的增大，系統由混沌狀態直接退化為周期1運動。但在T1=110～115 N/m小范圍內，系統再次由周期1運動進入混沌運動，而繼續的增大扭矩，系統穩定為周期1運動。

圖5（b）中是系統隨嚙合剛度k變化時的分岔特性圖。嚙合剛度在0～0.04范圍內，系統表現為混沌運動狀態；剛度增大，系統穩定性增強，系統分別在k=0.05和k=0.062處發生了瞬態混沌現象，在k=0.07處出現了短暫的周期3運動，但隨著剛度的繼續增大，系統穩定為周期1運動。

圖5（c）中是系統隨嚙合剛度k變化時的分岔特性圖。當花鍵靜態不對中量小于0.108時，系統在多數范圍內表現為周期1運動，但周期1運動與瞬態混沌運動之間交替轉變頻繁，但是當E0大于0.108后，系統幾乎都處在混沌運動。

可見，輸入扭矩以及嚙合剛度的增大，會使系統穩定性增強，而靜態不對中量的增大，則會使系統運動穩定性減弱。圖4 系統隨偏心距變化的分岔圖及對應Poincaré圖

Fig.4 Bifurcation diagram via eccentric distance and Poincaré diagram圖5 系統隨各參數變化的分岔圖

Fig.5 Bifurcation diagram via parameters3 結 論

本文數值計算得到了考慮了齒輪嚙合力、花鍵聯軸器不對中動態嚙合力等因素的齒輪傳動轉子系統的彎、扭振動位移，借助分岔圖和對應參數下的相圖以及龐加萊截面圖，分析了系統的動力學非線性振動特性，得到了以下結論：

（1）系統隨著嚙合頻率的增大表現豐富的分岔特性?；煦邕\動、周期1運動、周期2運動等都在交錯變換，高轉速要比低轉速穩定。

（2）偏心距對彎扭振動位移和系統的穩定性都有較大影響。偏心距增大，使得彎曲振動和扭轉振動的位移都明顯增大，會使得系統穩定性減弱。

（3）系統扭矩、嚙合剛度等參數都會引起系統發生分岔，出現混沌運動。輸入扭矩較大時，系統穩定，而較小時不穩定；嚙合剛度越大，系統的穩定性越好；但靜態不對中增大，系統穩定性會變差，進入混沌運動，為了保證系統的運動穩定性，必須控制齒輪轉子系統中花鍵聯軸器靜態不對中的大小。

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Nonlinear vibration of bending-torsion coupling

gear-rotor-bearing system

LU Chun-rong1， LI Yi-nong1， DOU Zuo-cheng1， YANG Yang2， DU Ming-gang2

（1.College of Automotive Engineering， Chongqing University， Chongqing 400030， China；

2.China North Vehicle Research Institute， Beijing 100072， China）

Abstract： The dynamic characteristics of the gear-rotor-bearing system with misalignment spline coupling are studied. Considering nonlinear mesh force of gear pairs and spline coupling， the dynamic model of the gear-rotor-bearing system is proposed and the dynamic differential equation of coupled bending and torsional nonlinear vibration is deduced. The characteristic graphs， such as the diagrams of bifurcation via parameters and the corresponding phase diagram and Poincaré diagram， are obtained through the numerical simulation. The effects of the gear mesh frequency parameter， the static displacement parameter of misalignment spline coupling etc. are studied on the system vibration response. This study can provide a theoretic reference for optimum design， fault diagnosis and safe operation of geared rotor-bear coupled system.

Key words： nonlinear vibration； gear-rotor； bending-torsion coupling； gear mesh frequency； spline coupling