創建數學模型滲透數學思想
———《鴿巢問題》教學設計

陳海曉

（本文作者系朱樂平名師工作站“一課研究”組成員）

【主題與背景】

在數學問題中有一類與“存在性”有關的問題。例如，任意13人中，至少有2人的出生月份相同。這類問題中，只需要確定某個物體（或某個人）的存在就可以了，并不需要指出是哪個物體（或哪個人）。這類問題依據的理論，我們稱之為“抽屜原理”，也稱為“鴿巢原理”。人教版六年級下冊第五單元數學廣角，就安排了與此內容相關的三個例題，其中例1和例2旨在感悟“鴿巢原理”的一般模型，例3是“鴿巢原理”的具體應用。本案例描述的是例1和例2的內容，即通過具體問題，借助實際操作，讓學生感悟和理解“鴿巢原理”，并在理解“鴿巢原理”這一數學方法的基礎上，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，進一步體會數學證明的雛形，為以后學習較嚴密的數學證明做準備。在設計本課教學預案之前，自我提問：“在多樣的實際問題中如何抽象‘鴿巢問題’的一般模型？”“如何讓學生從枚舉法說理逐步走向假設法說理，感受數學證明的雛形？”“在解決問題和說理中如何讓學生逐步感悟和抽象‘鴿巢原理’？”帶著這些問題的思考，筆者對這節課有了以下的教學設計。

【教學過程】

一、探究“枚舉法”和“假設法”兩種策略

1.出示問題，理解題意。

（1）出示問題：把 4支鉛筆放進3個文具盒中，不管怎么放，總有一個文具盒里放進至少2支鉛筆。你認為說得對嗎？

（2）理解關鍵詞“總有一個文具盒”和“至少2支”的含義。

預設：“總有一個文具盒”意思是一定有一個文具盒；“至少2支”意思是2支或2支以上。

【設計意圖：理解題意是學生后續判斷和“說理”的關鍵，對關鍵詞“總有”和“至少”的理解是學生理解題意的難點，所以把關鍵詞突顯出來讓學生進行獨立解讀，有利于后續目標的達成。】

2.判斷并嘗試說理。

你認為這句話對嗎？把你的想法用擺一擺、畫一畫、寫一寫的方式表示出來。

【設計意圖：讓學生經歷“數學證明”的過程，借助學具、實物操作或畫草圖的方式進行“說理”，為枚舉法和假設法兩種說理思路的產生做鋪墊。】

3.匯報。

（1）感悟枚舉法說理的思路。

預設1：把每種放法一一例舉出來。

板書：（，0，0）（，1，0）

（，2，0）（，1，1）

（請一位學生匯報后，課件具體演示）

結論：不管哪一種放法，總有一個文具盒里至少放進2支鉛筆。

（2）感悟假設法說理的思路。

預設2：假設每個鉛筆盒中先各分一支，最后這一支無論放在哪里，總有一個文具盒里至少放進2支鉛筆。

板書：（，1，1）

（請一位學生匯報后，課件具體演示）

教師引導反思：你只假設了一種擺法，就證明這句話是對的，其他方法為什么不用再一一例舉了呢？

預設：平均分可以使最多的鉛筆盒里的筆盡可能的少，即做了一個最壞的打算，這樣分都有一個鉛筆盒里有2支，那么其他分法肯定有一個鉛筆盒里的筆是大于或等于2的，所以就不用再一一例舉了。

【設計意圖：結合實物的直觀演示，讓學生從枚舉法說理逐步走向假設法說理，通過不同的說理方式體驗數學證明的雛形。】

4.比較“枚舉法”和“假設法”兩種說理策略。

“枚舉法”和“假設法”你更喜歡哪一種？為什么？

預設 1：喜歡“枚舉法”，把每種方法都進行例舉后更放心。

預設 2：喜歡“假設法”，只例舉一種最壞的情況，方便快捷，而且能保證正確。

【設計意圖：以問題形式引發學生自主比較與反思，明晰“枚舉法”和“假設法”的聯系與區別，同時尊重了學生的自主選擇，也為后續進一步感悟“假設法”的優越性埋下伏筆。】

二、呈現題組，初步抽象鴿巢問題模型

1.出示題組，請學生說理。

（1）5個人坐4把椅子，總有一把椅子上至少坐2人。

（2）5只鴿子飛進3個鴿籠，總有一個鴿籠里至少飛進了2只鴿子。

學生說理后，課件演示：

2.比較以上兩題與例題，尋找相似之處。

預設：都是把若干個物體放進若干個抽屜里，結果都總有一個抽屜放進2個物體。

3.歸納：這三道題都是把若干個物體（鴿）放進若干個抽屜（巢）里，下次遇到類似的問題，我們可以思考什么相當于“鴿”，什么相當于“巢”，就能用假設法或枚舉法說明理由了。

【設計意圖：通過相似題組練習，既鞏固了兩種說理思路，同時在比較中感知了“鴿巢問題”的結構，初步抽象“鴿巢問題”模型。】

三、感知“假設法”的優越性，逐步抽象“鴿巢原理”

1.在特例中感知“假設法”的優越性。

（1）出示四道題組，學生獨立填空并反饋。

①5支鉛筆放進4個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

②6支鉛筆放進5個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

③7支鉛筆放進6個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

④100支鉛筆放進99個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

（2）你用什么方法思考？為什么都選擇了“假設法”？

預設：鉛筆數和筆筒數越多放法也越多，用枚舉法解決問題很麻煩，而假設法就簡便多了。

（3）在解決問題的過程中你有什么發現？

預設：鉛筆支數比筆筒個數多1，總有一個筆筒里至少放2支鉛筆。

【設計意圖：相似情境的題組，有利于學生把目標聚焦到數量的變化，在數量逐漸增加的過程中體會“假設法”的優越性，感受最佳驗證方法，在有趣的類推活動中，引導學生初步得出結論。】

2.從特例走向一般，打破思維定勢。

（1）上面每題的鉛筆支數各增加1支，結果會變嗎？

預設：不變，每題還是填2。

（2）每題的支數繼續增加1支，結果會變嗎？

預設：不變，每題還是填2。

（3）每題支數再增加1支呢？鉛筆支數比筆筒個數已經多了好幾個了，為什么至少還是2呢？

預設：因為每個筆筒先分到1支后，余下鉛筆還是不夠（或剛好夠）分給每個筆筒1支。

（4）再繼續增加1支呢？為什么第①題的結果變為3，其他三題還是2？

預設：因為第①題假設把9支鉛筆平均分在4個筆筒里，每個筆筒平均分到2支后還多余1支，不管放到哪里都有一個筆筒里至少放進3支鉛筆。

【設計意圖：把教材例2的知識點作為例1問題的延伸，把兩個例題進行有效整合，通過每題鉛筆支數的變化，使學生在變化的規律中感知問題的結論與鉛筆支數是筆筒個數的幾倍相關，從“抽屜原理”的特例逐步走向“抽屜原理”的一般形式，有利于學生進一步感悟“抽屜原理”的本質，為后續抽象概括“抽屜原理”奠定基礎。】

3.用算式表征，逐步抽象“抽屜原理”。

（1）出示問題，請學生用算式表征。

①9支鉛筆放進4個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

②10支鉛筆放進4個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

③11支鉛筆放進4個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

④12支鉛筆放進4個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

（2）逐一反饋算式，適時結合點子圖幫助理解算式含義。

（3）通過用算式表征，你有什么發現？

預設：用算式解決問題的一般方法：用“鴿”的只數÷“巢”的個數，有余數，結果就是商加1；沒有余數，即是商。

出示：

【設計意圖：實物表征——點子圖表征——算式表征，這三種層層遞進的“說理”方式，讓學生經歷了將具體問題不斷“數學化”和“符號化”的過程，對“抽屜原理”的抽象和概括水到渠成。】

四、變式練習，培養“模型”思想

1.出示問題，尋找“鴿”與“巢”。

（1）六（1）班第一小組共 13位同學，至少有2位同學的生日在同一個月。

（2）一個布袋里有紅、黃、藍三種顏色的珠子若干顆，一次摸出8顆，至少有3顆珠子的顏色相同。

（3）一副撲克牌中（沒有大、小王），任意抽取5張牌，至少有2張牌是同花色的。

以上三題中什么相當于“鴿”，什么相當于“巢”？

2.運用鴿巢原理進行說理。

3.通過解決這三個問題，對你有什么啟示？

預設：雖然以上三題外在的內容和形式發生變化，但是內在的本質是一樣的，都可以用鴿巢問題的思路來解決。

【設計意圖：“鴿巢問題”的變式很多，應用更具靈活性，通過以上變式練習，使學生將具體問題和“鴿巢問題”聯系起來，尋找問題的具體情境和“鴿巢問題”的“一般化模型”之間的內在聯系，即尋找到問題中什么是“待分的東西”，什么是“抽屜”，是解決此類問題的關鍵。】

【思考與解讀】

本案例著眼于學生數學思維的發展，通過“探究問題——辨析問題——拓展問題”創建數學模型，滲透數學思想。課堂為學生提供了自主探索的空間，通過動手操作、分析、推理等活動，發現、歸納、總結原理，并通過“鴿巢原理”的靈活應用，感受數學的魅力，提高學生解決問題的能力和興趣。

一、探究問題，經歷“數學證明”的過程

本節課中學生經歷了兩個不同層次的證明過程。第一層次是學生自主證明：在呈現具體問題并理解了題意之后，筆者就大膽放手讓學生自主思考，采用自己的方法證明“把4支鉛筆放入3個文具盒中，不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進2支鉛筆”，然后交流展示。此處設計注意了從最簡單的數據開始擺放，既有利于學生觀察、理解，又有利于調動所有學生的積極性。評價學生各種證明方法時，教師針對學生的不同方法給予鼓勵和指導，在此過程中學生明晰了“枚舉法”和“假設法”兩種策略。第二層次是引導更“數學化”的證明：隨著數量的不斷增加，自然而然地讓學生體會到枚舉法的局限性和假設法的妙處，然后通過讓學生用算式表征“假設法”，抓住了假設法最核心的思路就是用“有余數除法”形式表示出來，并借助點子圖的直觀演示，使學生很好地理解了如果把待分的物體盡量多地“平均分”給各個抽屜，余下的物體不管放到哪個抽屜里，總有一個抽屜里的物體數比平均分得的多1。經歷了兩個不同層次的證明，不僅提高了學生的邏輯思維能力，而且為以后學習較嚴密的數學證明奠定了基礎。

二、辨析問題，經歷“數學建模”的過程

“鴿巢問題”的變式很多，當我們面對一個具體問題時，能否將這個具體問題和“鴿巢問題”聯系起來，能否找到該問題中具體情境和“鴿巢問題”的“一般化模型”之間的內在聯系，是影響解決問題的關鍵。所以，本案例中突出的一個核心思想是讓學生經歷“數學建模”的過程，分為三個不同的層次：第一層次是在題組比較中概括“鴿巢問題”結構上的共性，讓學生感悟此類問題中總是隱藏著“鴿”與“巢”；第二層次是在“數學證明”的過程中抽象、概括“證明”方法的共性，感悟并理解“鴿巢原理”；第三層次是基于前面兩個層次基礎上的拓展，在變式練習中進一步見證此類問題應用的廣泛性。經歷三個不同層次的建模，使學生不斷感悟外在形式背后的數學本質，逐步完善數學模型。

三、拓展問題，感受原理的靈活應用

“鴿巢原理”本身并不復雜，學生也有很多直接的生活經驗，但是學生往往容易理解“顯性”的問題情境，很難理解“隱性”問題情境。比如在變式練習中把“珠子顆數”看作“鴿”，把“珠子顏色”看作“巢”，學生是很難理解這一點的，因為在學生的生活經驗中，“巢”必須是盛放東西的物體，難道“珠子顏色”能盛放東西嗎？這是學生的疑問，也是理解的難點。所以在練習中安排了類似的問題情境，打破學生的思維定勢，感受“鴿巢原理”的靈活應用和數學魅力，同時也提高了解決問題的能力和興趣。