二維分數階泰勒級數算法在邊緣檢測中應用

李忠海，宋智欽，王崇瑤

(沈陽航空航天大學 自動化學院，遼寧 沈陽 110136)

0 引 言

分數階微分可以使圖像的高頻變化特性信息清晰展現的同時，還能非線性地保留具有中、低頻變化特性的信息，這個優勢逐漸成為眾多學者的研究熱點[1-4]。Mekideche等[5]提出了FIM算法，該算法引入了分數階積分掩模，且縮減運算時間；甘志鳳等[6]根據數字圖像的自相關性對R-L分數階微分中常數分數階微分不為0的情況進行改進；勾榮等[7]在改進分數階微分G-L定義的基礎上，提出了5×5的分數階微分算子；何春等[8]利用分數階微分和積分組成的復合導數提出了一種基于復合導數的邊緣檢測算子；田丹等[9]將分數階微分與Sobel算子結合起來，構建了一個分數階權矩陣Sobel算子；蔣偉等[10]將分數階微分理論與Sobel算子相結合，提出了一種基于分數階微分的Sobel算子。雖然分數階微分在圖像處理中的應用越來越多，但如何準確有效的將圖像邊緣的各種細節信息充分提取且又清晰展現的研究少之又少。

本文將G-L(Grünwald-Letnikov)分數階微分、泰勒公式和二維整數階微分相結合，推出了二維分數階泰勒級數函數式；之后推算出分數階微分的方向系數，并將此與Sobel算子相結合，從而構建二維分數階泰勒級數Sobel算子。實驗結果表明，該算子充分利用所檢測像素點的鄰近像素信息，能夠將圖像邊緣中豐富的紋理細節充分提取，并獲得一定的增強效果。

1 圖像分數階微分特性的信號處理分析

1.1 分數階微分階次的確定

對平方可積信號f(t)∈L2(R)，其任意分數階微分Dαf(r)頻域形式可表示為

(1)

(2)

通過上面分數階從時域向頻域的推導發現，分數階的作用是對信號的相位進行相應調整，由式(1)和式(2)可繪制出分數階微分各階次的幅頻特性曲線，如圖1所示。

圖1 分數階微分對信號的幅頻特性曲線

從圖1中可看出[11]：分數階微分的階次范圍在α∈(0,1)時，對于低頻信號有較大程度的非線性保留，對于中頻信號有較大幅度的增強，對于高頻信號也有較大程度的提升。由此對于邊緣細節信息較豐富的圖像在α∈(0,1)內的分數階微分階次能夠較大程度地檢測圖像感興趣區域的邊緣，使感興趣區域的紋理細節信息較大程度的保留。

1.2 二維分數階微分用于圖像邊緣提取的分析

圖像一般被認為是信號在圖像域中的另一種體現形式，因此分數階微分算子也能運用于圖像領域。邊緣檢測在現實情況下主要是計算像素的梯度變化程度。然而，整數階微分算子檢測邊緣時，極容易受到梯度變化程度的影響[12]：梯度變化程度較大的邊緣用整數階微分算子檢測就可以獲得較好的效果；若是梯度變化程度小到已經無法體現其變化規律時，則整數階微分算子往往就無能為力了。然而通過大量的研究發現，分數階微分算子對圖像具有低頻、甚低頻變化特性的信息有非線性增強的效果。不同區間的分數階微分算子具有不同的作用，就如0～1階分數階微分算子[13]：由圖1觀察便知：0～1階分數階微分算子在非線性增強信號中具有低頻以及甚低頻變化特性的信息的同時較為完整地保留了信號中的高頻變化特性的信息。

2 二維分數階微分泰勒級數函數式提出

2.1 二維函數的泰勒公式

文獻[14]推導出二元泰勒級數展開式，而本文在此基礎上，進一步推出二元函數的泰勒公式，推導過程如下：

令函數f在鄰域U(P)內有連續的k+1階偏導，則

(3)

并且，n=1,2,…，k,k+1。令x=lcosα，y=lsinα，α是l與x軸正方向的夾角；則函數f的泰勒公式可以表示為

(4)

其中，η是在x0與x之間,ξ在y0與y之間。式(4)就是函數z在l方向的二維函數泰勒公式的展開式。

2.2 二維分數階微分泰勒級數函數式

由文獻[15]可知Grünwald-Letnikov分數階微分可定義

(5)

將Grünwald-Letnikov定義數值離散化可得到

(6)

(7)

由式(7)和分數階微分的定義可構造出分數階微分公式，所構造公式如下

(8)

其中，η是在x0與x之間,ξ在y0與y之間。

3 二維分數階方向系數的構建

由于數字圖像處理領域中的圖像是由一系列離散的像素點所組成，那么在本文中分別令Δx=1,Δy=1。以第一象限為例，則4個偏微分分別表示為

則由式(8)可以推得

(9)

通過對式(9)的計算可以分別算得0°、90°、180°、270°方向系數，如下

(10)

(11)

(12)

(13)

4 新Sobel算子的提出

根據上面所算各方向系數定義新的Sobel算子模板梯度如下

由此得到灰度圖像U(x,y)在位置(x,y)處的分數階梯度為

其中，×表示乘積，*表示卷積。

分別將Sobel算子水平方向和垂直方向梯度算子和方向系數W做乘積運算，形成一個全新的分數階Sobel算子模板。這種Sobel算子即具有分數階微分全局性的幾何特征又具有整數階Sobel算子計算簡單且分割速度快的特點，使圖像強化了感興趣區域的邊緣特征，能夠更多地提取圖像的細節信息。

5 算法流程

對于灰度圖像U(x,y)，利用構造的0～1階二維分數階泰勒級數權向量濾波的Sobel算子對圖像進行邊緣檢測的算法流程如下：

步驟1 構建二維分數階微分泰勒級數函數式；

步驟3 推出二維分數階方向系數W1、W2、W3、W4；

步驟6 計算分數階梯度幅值

(14)

而

(15)

步驟7 選取分割閾值T：閾值T的選取基于梯度設定邊緣點檢測的閾值。設灰度圖像U(x,y)的圖像大小為M×N，則二值化的邊緣圖像u(x,y)為

(16)

閾值T為

(17)

這里，ξ≥1是一個敏感因子，則當DαU>T時，像素點被標記為邊緣點。

由算法流程可知，在利用本算法進行邊緣檢測時，分數階微分階次α和敏感因子ξ的取值決定了邊緣檢測的效果。因此，要根據具體的待檢測圖像合理選取分數階微分階次α和敏感因子ξ。實驗中可以先對分數階微分階次α和敏感因子ξ賦予一個適當的值，觀察所得結果是否滿意，若不滿意則可將分數階微分階次α和敏感因子ξ作適當修改，直到邊緣檢測效果最佳時為止。

6 實驗結果

為了驗證權矩陣濾波的Sobel邊緣檢測算子性能，分別設計了3個實驗：實驗一確定敏感因子ξ與分數階微分階次α的最佳值；實驗二是檢驗通過邊緣檢測后的圖片的抗噪能力；實驗三通過本文算法(參數處于最佳值狀態)對目標圖像進行處理，與Sobel、文獻[8,10,13]邊緣檢測算子進行對比。

本文實驗的操作平臺系統為Windows 7.0，程序編寫使用Matlab R2012a。

6.1 算法最佳參數的選取

實驗一主要通過本文所提出的邊緣檢測算子對目標圖像(cameraman圖)進行處理，并分為兩個小實驗逐次進行，第一個實驗任意選取參數ξ，選取分數階微分不同的階次α對圖像進行邊緣檢測，根據圖像邊緣信息的結果確定最佳的分數階微分階次α；另一組實驗利用確定的最佳分數階微分階次α，選取不同的敏感因子ξ對圖像進行邊緣檢測，根據圖像邊緣信息的結果確定最佳的敏感因子ξ。

第一組實驗選定敏感因子ξ=2，通過選用不同的分數階微分階次α(0<α<1)對cameraman圖進行邊緣檢測，實驗結果如圖2所示。

圖2 取定敏感因子ξ=1時本文算法(分數階階數為不同數值)的實驗結果

目標圖像紋理信息豐富，由實驗結果(即圖2)便知：當選用的分數階微分階次在α∈(0,1)之間時，所獲得感興趣區域的全局輪廓基本上能以完整的幾何邊界展現出來；同時本文算法不僅能保留邊緣的豐富的紋理信息，還能較為清晰的展現。由此在分數階微分階次α∈(0,1)之間任取一值α=0.9作為分數階微分階次的最佳值。

第二組實驗選定分數階微分階次α=0.9，通過選用不同的敏感因子ξ(ξ≥1)對cameraman圖進行邊緣檢測，實驗結果如圖3所示。

圖3 微分階次α=0.9時不同預設參數的邊緣檢測結果

從圖3的實驗結果可以看出：當1≤ξ≤1.8時，隨著參數ξ值的依次增大，邊緣紋理細節信息越來越豐富，且噪聲對實驗結果的影響程度逐漸減弱；當ξ≥1.8時，實驗效果隨著敏感因子ξ的增加而逐漸變差，雖然說濾波效果得到了更好的體現，但是感興趣區域信息也隨之出現缺失。由此便知：ξ=1.8能使目標圖像的實驗效果達到最好狀態，可定為最佳參數。

由實驗一可知：本文算法不僅能檢測出更豐富的圖像邊緣紋理細節信息，還能在極大程度上削弱噪聲的影響。此外還發現，不同數值的參數ξ所獲取的實驗結果差異程度非常大；因此，構造本文算法的模板時需選取合適數值的參數ξ。

6.2 本文算法抗干擾能力的檢測

為了充分說明本文所構建模板能極大地削弱噪聲的影響，將本文算法(參數處于最佳狀態，即α=0.9，ξ=1.8)對噪聲污染程度不同的目標圖像進行處理，并對實驗結果差異性進行著重分析。實驗中目標圖像噪聲污染程度的不同是通過對高斯白噪聲標準差σ的賦值所體現的。實驗對象是flower圖。不同噪聲水平的圖像邊緣檢測實驗結果如圖4所示。

圖4 含噪聲目標圖像的實驗結果對比

由前文分析便知，本文算子對高頻信號具有一定的壓縮功能；高頻信息一般在圖像中以噪聲的形式展示。因此，本文算子能削弱噪聲對實驗結果的影響。同時對實驗結果的分析研究可知：隨著σ的增大，噪聲對原圖像的影響越來越大，但本文算子所得的邊緣依然清晰可見。

為了充分說明本文算子的抗噪能力優于傳統微分算子，本文選用Sobel算子、Canny算子、傳統分數階微分算子、本文算子對flower圖(噪聲σ=0.05)進行邊緣檢測，并計算檢測結果的psnr值，從表1中可以明確地發現，本文算子較其它算子在提取噪聲圖像邊緣的同時能保持比較高的psnr值。故本文算子由于二維分數階微分算子對整數階Sobel算子的濾波，在一定程度上消除噪聲對圖像邊緣的影響。

表1 噪聲圖像邊緣檢測的psnr值

6.3 與現有的邊緣檢測算子的比較

為了充分說明本文算法優異的性能，即目標圖像經本文模板處理能獲得豐富的紋理細節。目標圖像為house圖，分別將Sobel、文獻[8,10,13]邊緣檢測算子和本文算子進行實驗，使用最佳閾值處理。本文算子實驗參數選用實驗1的最佳參數，結果如圖5所示。

圖5 本文算子與常用算子的對比

由圖5的分析可知，Sobel算子所檢測的邊緣不清晰明亮，且出現了一定的斷點、信息泄露等情況。分數階微分算子能夠非線性的保留中、低頻變化特性的邊緣細節，這就導致圖中出現大量的噪聲；然而當目標物與背景之間的像素梯度變化非常微小的時候，傳統的分數階微分算子也會無能為力，為此才會導致邊緣出現些微的斷點等現象；就如文獻[8,10,13]所獲得最佳實驗結果。并且分數階模板對圖像中低頻信息具有一定加強作用，會保留豐富的紋理細節；就如獻[8,10,13]的微分算子所檢測的邊緣出現了許多噪聲點。而本文算子能充分的檢測圖像中低頻變化特性細節，還由于與Sobel算子的結合還能平滑噪聲。

為了充分說明本文算子復雜度較其它算子低，本文利用flower圖和house圖進行實驗，將本文算子與檢測精度較好的Sobel算子、文獻[8,10,13]的算子進行比較。同時，各算子均采用最優參數，然后分別計算各算法在最優參數下對兩個目標圖像進行實驗所需的時間。并將100次不間斷實驗所得的總時間除以100獲得的數據便是上文的所需時間。見表2。

表2 邊緣提取的耗時對比

7 結束語

根據分數階微分Grunwald-Letnikov定義理論，本文所提出改進后的Sobel算子能在一定程度上加強圖像中的低頻信息的同時還能較為完整的保存圖像的中頻信息。并通過本文所做的實驗分析可知：①本文算法能在極大程度上削弱噪聲對圖像的影響；②本文算法所獲得的邊緣紋理豐富；③本文算法運行時間大大縮短。

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