基于量子柔性表示的圖像邊緣提取算法

張姍姍，曹 琨，朱志琨

(1.河南牧業經濟學院 軟件學院，河南 鄭州 450000；2.北京航空航天大學 計算機學院，北京 100191)

0 引 言

隨著圖像傳感器的發展，圖像的數量越來越龐大，圖像邊緣檢測與提取的準確性和快速性遇到了較高的挑戰，成為圖像處理研究的熱點之一[1,2]。

基于Sobel算子的圖像邊緣提取技術[3]主要是根據相鄰像素點灰度加權差計算，在邊緣處處于極值這一特性進行判斷，對噪聲具有較好的平滑處理，計算簡單、速度迅速。能夠獲得準確的邊緣方向，但其準確性不高。張闖等[4]提出一種基于歐氏距離圖的圖像邊緣提取技術，通過歐氏距離能夠降低“背景”的影響，可以較好地提高圖像邊緣灰度，但該算法對弱邊緣提取效果不太理想，容易出現邊緣漏檢和誤檢的現象，主要是其沒有考慮不同位置的像素對于中心的影響。賈迪等[5]提出了一種基于高斯距離加權圖的邊緣提取算法，該方法通過計算區域內像素間的高斯加權距離獲得距離圖，使邊緣突出并弱化背景，從而獲得了“背景”和“邊緣”兩種灰度。根據距離圖的直方圖，并作為改進CV模型的參數，利用CV模型捕抓邊緣。

近年來，量子計算和數字圖像處理的合并在處理高準確性和高實時性問題的實際圖像處理應用程序中已被證明是富有成果的。例如，Tseng等[6]提出了基于Sobel算子耦合量子晶格算法，但是其性能沒有得到提升。Fu等[7]提出了一種基于模糊熵理論提取邊緣提高量子晶格圖像，該算法可以顯示更弱的邊緣，并有較好的噪聲魯棒性，但是其仍無法解決計算復雜性過大問題。在量子圖像中，每一個像素的位置信息被存儲為一個二維量子比特序列的基態，顏色信息存儲在一個量子比特的概率幅，如圖1所示顯示了一個4*4大小的量子圖像。

圖1 大小為4*4的FRQ圖像

圖像邊緣提取是數字圖像處理中的一個重要問題，在圖像中，邊緣是圖像的顏色強度具有不連續性的像素，基于這一特性，為了找到所有的不連續像素，所有經典算法都需要分析和計算每個像素的圖像強度梯度。因此，對于一幅2n×2n圖像，其計算復雜度都大于O(22n)，隨著圖像數據急劇增加，傳統的算法在圖像邊緣提取中實時性問題越來越嚴重。因此，為了提高算法效率和邊緣質量，降低噪聲敏感度，本文提出了一種基于量子柔性表示的圖像邊緣提取方法。通過量子柔性表示圖像，利用量子序列的疊加態來存儲圖像的所有像素，通過量子并行計算顯著提高效率，得到量子FRQ圖像，再對得到FRQ圖像進行X和Y方向的平移變換，獲得整個圖像的鄰域像素的相對量子，然后，根據鄰域像素的量子比特定義量子黑盒UΩ，結合Sobel算子計算像素的Sobel梯度，通過Sobel梯度判斷不同類別的像素并提取圖像的邊緣。最后，通過實驗驗證了提出算法的性能。

1 Sobel算子

在本節中，簡要介紹了經典的Sobel邊緣提取算法[1,8]。掩模計算是Sobel中一種常見的技術，能夠計算每個像素的圖像強度的梯度。圖2(a)描繪了像素鄰域窗口。Sobel使用掩模顯示在圖2(b)和圖2(c)中計算導數的兩個近似值，一個用于水平變化，一個用于垂直變化。首先，Sobel算子將分別得到的X軸和Y軸的導數近似。如式(1)所示，Gx和Gy表示如何利用掩模來計算兩個衍生物。式(2)給出了梯度g與兩個導數的關系。通過與梯度閾值T比較。

圖2 Sobel算子掩模

當g≥T時，該像素將被視為邊緣的一部分

Gx= (p(Y+1，X+1)+2p(Y+1,X)+p(Y+1,

X-1))-(p(Y-1,X+1)+2p(Y-1,X)+

p(Y-1,X-1))

(1)

Gy= (p(Y+1，X+1)+2p(Y,X+1)+p(Y-1,

X+1))-(p(Y+1,X-1)+2p(Y,X-1)+

p(Y-1,X+1))

(2)

主程序是計算每個像素的強度梯度使用Sobel掩模。因為每個像素都需要處理，對于一幅大小為2n×2n的圖像，Sobel算法的計算復雜性為O(n2)。類似于Sobel，其它經典的邊緣提取算法，利用不同的掩模或方法計算的強度梯度近似。因此，一幅大小為2n×2n的圖像，當前的邊緣提取算法的復雜度一般超過O(n2)。

2 本文圖像邊緣提取算法設計

針對當前的邊緣提取算法的實時性問題，提高邊緣連邊緣的完整性和清晰度，提出了一種基于量子柔性表示的邊緣提取方法，主要步驟如下：

(1)首先，利用量子柔性表示將數字圖像量化為量子圖像，為了存儲量子圖像，需要2n+1量子寄存器，為下一步的操作需要額外的比特存儲所有像素點的鄰域像素的顏色信息，表示如下

(3)

(2)進行掩模計算，在掩模計算中，經過第1步到第8步后，得到整個圖像的鄰域像素的相對彩色量子比特并將它們存儲到一個額外的比特，在這一步的主要操作是X軸向平移和Y平移變換。

(3)當對3×3鄰域窗口中的8個彩色量子儲存后，利用設計的量子黑盒UΩ來計算所有像素的Sobel梯度，并將結果存儲到另一個量子比特|Ω(Y,X)中，通過量子比特序列構建一個新的量子圖像。

類似Sobel算子，在量子圖像中，邊緣像素的彩色量子為|1，表示白色；相反，非邊緣像素的彩色量子為|0，表示黑色。因此，通過計算判斷了不同類別的像素并提取了量子圖像的邊緣。

2.1 X和Y平移變換

根據式(3)得知，FRQ模型保持二維像素矩陣，因此，如果改變整個圖像，每個像素將同時訪問其鄰域的信息，例如，使一圖像向下移動一個單位，該像素將從P(Y，X)到轉換為P(Y-1，X)。

對此，兩個平移定義如下：

定義1U(x±)：基于大小為2n×2nFRQ圖像的沿X方向的平移變換，定義如下

U(x±)|I|Y|(X±1)mod2n

(4)

通過利用X代替X±1可變換表示

(5)

其中，X′=(X?1)mod2n，表示為

U(x±)|I

(6)

類似地，Y平移變換表示為：

定義2U(y±)：基于大小為2n×2nFRQ圖像的沿X方向的平移變換，定義如下

U(x±)|I

(7)

同理，通過利用Y代替Y±1可變換如下表示

(8)

其中，Y′=(Y?1)mod2n。因此，圖像中的所有像素可以在Y軸和Y平移變換中達到各鄰域像素。圖3給出了8×8大小圖像的轉換U(x+)的例子。所以，所有像素可通過在平移下達到和其它像素一致。

圖3 U(x+)圖像變換

2.2 單一性

表1描繪了不同的操作和變換矩陣的U(x+)的在不同寬度的X軸的圖像。從表1中，可以得出這樣的結論：當利用n個量子位存儲像素的X軸上的信息，U(x+)將為n長度量子序列進行循環移位操作。其變換矩陣如下所示

(9)

表1 在X軸下圖像不同寬度的操作和變換的矩陣U(x+)

2.3 復雜度計算

為了計算n長度量子序列的變換U(x+)的計算復雜度，每一個任意的多量子量子的操作可以分解為若干個單量子量子門、2量子門和3量子門。一般來說，可通過這些簡單的量子門的數量來表示的量子運算的計算復雜度的估計[9]。對于一幅2n×2n的圖像，x軸方向的展示可表示為

|x=|xn-1xn-2…x1x0

(10)

因此，U(x+)可分解為如下表示

(11)

因此，這意味著在量子量子序列的每量子將被所有的量子量子的支配，圖4給出了詳細的U(x+)變換為n長度量子序列的量子電路。

圖4 U(x+)變換為n長度量子序列的量子電路

從圖4看出，當將U(x+)變換為一個n長度的量子序列時，實際操作可以分解成n個步驟，并在第k步子操作處理k量子。在量子電路中，x0需要一個單一量子反轉門，因為在平移過程中沒有任何控制而反轉。然而，xk在k控制的非門，形成了k+1量子門。通過圖4中的量子電路的分析得知，如果只使用單粒子翻轉門，2量子比特門，和3量子比特Toffoli門構建整個電路的改造U(x+)的信息，需要一個單量子翻轉門，一個2量子比特門，和一些量子的Toffoli 門。3位量子-Toffoli門的總數如下[10]

(12)

通過以上分析可得出，U(x+)變換為一個長度為n的量子序列計算復雜度不超過O(n2)。

2.4 掩模計算

根據以上描述，利用上述兩種平移變換，根據Sobel掩模和鄰域窗口計算圖像中像素的強度梯度。圖2(b)和圖2(c)顯示了Sobel掩模，為了獲得每個像素的強度梯度，需要利用掩模來計算3×3窗口的近似的梯度，在一定的順序的平移變換可獲得每個像素的鄰域窗口的顏色信息，詳細計算如下表示：

根據上述計算步驟中可看出，經過步驟1到步驟8后，平移操作可得到各像素鄰域像素的顏色信息，共有6個Y移位操作和4個X軸向移動操作，因此，計算的復雜度為O(n2)。

為了計算所有像素的圖像強度的近似梯度，設計一個量子黑盒UΩ，利用相鄰像素的彩色量子，圖5顯示了量子黑盒UΩ組成。

圖5 量子黑盒結構

在UΩ中，其工作關系表示如下

(13)

|CYX-1?|CY-1X-1?|CYX-1?|CY-1X

(14)

|Ω(Y,X)

(15)

其中，Gx(i,j)和Gy(i,j)分別為x方向，y方向的導數逼近，定義如下

Gx(Y,X)= (CY-1X-1+2CYX+1+CY+1X+1)-

(CY-1X-1+2CYX-1+CY+1X-1),

(16)

Gy(Y,X)= (CY+1X-1+2CY+1X+CY+1X+1)-

(CY-1X-1+2CY-1X+CY-1X+1),

(17)

通過量子黑盒UΩ運算，完成了所有像素的Sobel梯度計算，并儲存在彩色量子|Ω(Y,X)中，根據量子序列的位置形成一個新的結果圖像，類似與經典的Sobel算法，在新的結果圖像中，所有像素的彩色量子在邊緣中為|1，表示為白色，反之其它像素的彩色量子為|0，表示為黑色。

3 實驗與討論

為了對提出的算法性能的進行驗證，進行不同的實驗測試。仿真環境為：Core I3-4150 CPU，3.50 GHz，8 GB運行RAM，Win7操作系統，并借助MATLAB7.0進行仿真分析。為體現本文算法的先進性，選取當前常用的圖像邊緣提取算法文獻[3-5]作為對照。

3.1 評價指標

為了更加準確測量和評價提出算法的性能，采用信噪比(SNR)和Baddeley誤差測量(Baddeley error metric，BED)作為評價指標。SNR定義如下[11]

(18)

其中，Imean為灰度值，σI為標準差，SNR越高越好。

假設I1和I2是大小均為N×M的兩個圖像，并且p={1,…,N}×{1,…,M}作為該位置的集合，則BED定義如下[12,13]

(19)

其中，g用于加權的遞增函數，同時定義d(p,Ii)為位置p和最接近邊緣點Ii之間的距離。

3.2 實驗結果

圖6，圖7為本提取算法的兩組實驗結果。圖6(a)為一幅袋鼠圖像，圖6(b)～圖6(e)分別為文獻[3-5]和本文算法得到的邊緣結果。圖6(b)～圖6(c)中突出了袋鼠的大體輪廓邊緣，但是忽略了圖像背景中的細節目標，對弱邊緣提取能力較差，邊緣連續性不足；圖6(d)相對于圖6(b)～圖6(c)具有一定的提高，在突出主體邊緣的同時也能捕抓一些局部細節邊緣，但是提取的邊緣出現一些間斷現象；圖6(e)中為本文算法得到的結果，從圖中看出本文算法性能相對于前3種算法具有一定的改善，能夠較好提取目標輪廓邊緣和細節信息邊緣，并且得到的邊緣連續性好。

圖6 袋鼠圖像邊緣提取結果

圖7(a)為一幅花朵圖像，圖7(b)～圖7(e)分別為文獻[3-5]算法和本文算法得到的邊緣結果。圖7(b)～圖7(c)中顯示了花朵的花瓣和葉子的主要邊緣，但是對葉子中的紋理和一些陰影部分邊緣提取結果不太理想，邊緣連續性不太理想；圖7(d)相對于圖7(b)～圖7(c)具有一定的改善，在突出花瓣和葉子邊緣的同時也能捕抓一些局部細節邊緣，但是提取的邊緣出現一些間斷現象；圖7(e)中為本文算法得到的結果，從圖7中可得出本文算法提取的邊緣最優，能夠較好提取花瓣和葉子邊緣，邊緣連續性好。

圖7 花朵圖像邊緣提取結果

為了進一步分析邊緣提取算法性能，通過添加不同高斯噪聲進行測試，噪聲大小為均值為0，方差為(0，5，10，15，20，25，30)。圖8為均值為0，方差為10得到的邊緣結果。圖8(a)為一幅含有噪聲方差為10建筑圖像，圖8(b)～圖8(e)分別為文獻[3-5]算法和本文算法得到的邊緣結果。圖8(b)～圖8(c)中建筑圖像的邊緣提取效果不太理想，遺漏了許多重要邊緣，得到的邊緣不連續。圖8(d)相對于圖8(b)～圖8(c)具有一定的提高，突出了建筑物和樹邊緣，對建筑的窗口和圖案邊緣具有一定的效果。但是由于噪聲的存在，將某些噪聲點誤提取為邊緣邊，影響邊緣提取的準確性。圖8(e)中為本文算法得到的結果，從圖8中可得出，在含有噪聲情況下，本文算法提取的邊緣效果較好，能夠清晰地反映出建筑物的輪廓邊緣，較好的剔除了噪聲點的影響，并且對于建筑物中的圖案和字體邊緣也體現了，很好地消除了噪聲的干擾。

圖8 建筑物圖像邊緣提取結果

為了準確測量噪聲對算法的影響，在不同噪聲下測量算法得到的邊緣圖像，并進行定量評價。圖9為在噪聲大小為均值為0，方差為(0，5，10，15，20，25，30)的高斯噪聲下測量的SNR和BED的測量結果。根據圖9中看出，在不同的噪聲方差下的對所提取的邊緣結果會有一定的影響，但是從曲線圖中可看出，文獻[3-5]算法受噪聲的影響較大，而本文算法隨著噪聲的變化相對影響較少。

圖9 不同噪聲下測量的SNR與BED結果

根據以上實驗結果與評價指標的定量測量得出，本文算法能夠有效提取完整的圖像的邊緣，并且提取的邊緣包含了詳細的信息，邊緣連續性較好。而對照組算法中出現了較多的邊緣的漏檢和誤檢現象，提取的邊緣連續性不太理想，主要原因本文算法中采用了量子柔性表示，利用量子序列的疊加態來存儲圖像的所有像素，得到量子柔性表示FRQ圖像，通過結合Sobel算子計算像素的Sobel梯度，根據Sobel梯度判斷不同類別的像素并提取圖像的邊緣，從而有效提高了邊緣提取的精度。而文獻[3]算法中Sobel算子定位精度不夠理想。文獻[4]算法中由于沒有考慮不同位置的像素對中心區域的影響，對弱邊緣和噪聲提取效果不佳。文獻[5]算法中對于背景和輪廓不能很好識別，對同質區域邊緣檢測效果有所降低。

3.3 復雜性測試

為了評價算法效率，對算法的運算時間進行測量。表2給出了不同圖像在不同算法下的耗時對比，文獻[3]算法由于處理方法簡單，速度最快。文獻[4]算法和文獻[5]算法中由于需要計算每個像素和鄰域像素，導致其耗時較高，圖像尺寸越大，其消耗時間越長。但是本文算法的運行時間較少。主要是因為本文算法利用量子序列的疊加態來存儲圖像的所有像素，通過量子并行計算顯著提高效率，降低了算法處理時間。

表2 算法處理時間對比

4 結束語

采用了量子柔性表示對圖像進行量化，結合Sobel算子的特性，本文提出了一種基于量子柔性表示的邊緣提取算法。將圖像進行量子柔性表示，利用量子序列的疊加態來存儲圖像的所有像素，通過量子并行計算顯著提高效率，得到FRQ圖像。對得到FRQ圖像進行X和Y方向的平移變換，獲得整個圖像的鄰域像素的相對量子，再根據鄰域像素的量子比特定義量子黑盒UΩ，結合Sobel算子計算像素的Sobel梯度，通過Sobel梯度判斷不同類別的像素并提取圖像的邊緣。通過實驗結果驗證了提出的算法具有較快的邊緣提取速度，能夠有效提取完整的邊緣信息，降低了噪聲干擾，并且較好保持了邊緣的連續性和完整性，為后續圖像處理提供了幫助。

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