函數的單調性教學設計及評課

郝晶 張強

關鍵詞：單調性；教學設計；評課

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1009-010X（2018）14-0059-06

一、學習內容分析：

“函數單調性”概念以函數思想方法為核心，與函數定義、性質、特殊函數等其它數學知識有緊密聯系。在初中教材中，函數遞增（遞減）概念依據變量之間依賴關系，對函數變化趨勢進行描述；而高中函數單調性概念是用解析法刻畫函數在其定義域內某區間上圖像的變化及變化趨勢，同時結合函數圖像進行幾何解釋。在新概念學習過程中，要注重函數單調性概念的理解，同時突出函數單調性的研究方法，注重讓學生在研究過程中，體會用代數方法研究函數特征的必要性與重要性，設計合理的學習活動，增進學生的體驗與經歷，提升學生數學抽象、數學運算等數學核心素養。有了以上學習積累與經驗，學生在研究函數其他性質、解決相關函數問題時，可以運用函數單調性知識與思想方法對函數其他相關問題進行研究。函數的單調性在高中數學中具有核心地位和承上啟下的重要作用。

二、教學目標分析

1.注意圖形語言到符號語言過渡。通過對現實問題的觀察，感悟準確用符號語言表達數學現象的必要性，領會準確用符號語言對描述函數性質的基本方法。引導學生用準確的數學語言歸納、表達、函數單調性概念。

2.通過學生熟悉的初等函數特例研究，理解和感受用解析法證明函數單調性基本思想與過程，增進學生邏輯推理與運算能力；并能根據定義證明函數在給定區間上的單調性。

3.運用數形結合方法，利用圖像和定義判斷特殊函數的單調性，發展幾何直觀素養。

4.通過對若干數學問題的理解，感受函數單調性在刻畫函數變化規律、解釋現實問題中的思想方法與作用，特別通過對現實實際問題的解決，感受數學的應用價值，提升學生數學學習興趣。

三、情境與問題分析

1.通過學生熟悉的現實問題創設情境，引出本課主題函數單調性，同時借助多媒體的直觀展示，讓學生觀察函數圖像變化趨勢，過渡到用代數語言表達函數單調性。

2.設置“問題串”引導學生深入思考與研究，總結研究函數性質規律與方法。

3.設計數學“學習活動”，將數學習題與練習轉化為學習問題，結合例題設置“螺旋上升”式思考問題，逐步讓學生感受并理解以下問題：單調性定義中，如何理解自變量在給定區間取值“任意”性？滿足什么條件函數就是單調函數？函數單調性與函數區間有什么關系？單調函數證明基本思路與步驟是什么？

4.設置與現實相關的問題與情境，感受利用函數單調性定義證明函數單調性過程，體會利用函數單調性表達現實世界的數學方法，培養學生數學建模素養。

四、整體把握數學學習價值

函數單調性是學生高中階段學習的第一個函數特性，是學生進一步體會函數思想與特殊函數模型的一個重要環節。教學分為三個層次逐步提升學生數學感知與素養——第一個層次，創設情境引出課題，讓學生充分認識到數學源于生活，又能應用于生活，進而激發學生的學習興趣，感受“知識從哪里來”；第二個層次，設置合理學習事件與環節，自主探究數學概念，讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，通過逐級抽象，體會數學抽象的價值，掌握數學抽象的過程，在學習經歷中提升學生數學抽象素養；第三個層次，理解概念與初步應用，嘗試用概念解決問題是提升概念理解的最佳途徑，在這一過程中，教師要引導學生 “回歸概念”，體會用函數單調性概念理解和解釋數學問題的基本思路與方法，在用概念過程中培養學生嚴謹推理與證明的習慣，提升學生邏輯推理素養。

五、學生學情分析：

學生在認知過程中主要存在兩個方面的困難：第一，從初中描述性遞增（遞減）函數出發，需要把具體的、直觀的函數單調性的特征抽象出來，并用數學的符號語言描述，存在一定思維跳躍；第二，利用定義證明函數的單調性過程，對學生在代數方面嚴格推理能力的要求較高，應該給予學生自主嘗試空間與時間，引導學生用代數語言進行嚴謹的數學推理與證明。

六、學習的重、難點：

重點：1.函數單調性的概念抽象過程。

2.函數單調性概念理解。

3.判斷和證明函數的單調性。

難點：理解函數單調性的概念。

七、教學策略分析：

1.多媒體演示創設情境，讓學生通過觀察氣溫變化曲線圖的變化趨勢，完成對單調性直觀認識，為概念的引入提供了必要性，讓學生結合已有的初中學習經驗進入新課題研究。

2.利用“問題串”引導學生探究學習。圍繞本節課“核心問題”，展開小組合作與交流。

3.實驗器材的恰當使用，提高了課堂的趣味性，豐富了學生的直觀感受。

4.多媒體展示和學生“板演”相結合，提高課堂效率的同時注意數學推理嚴謹性。

八、教學過程：

（一）創設情境，引入新知

觀察一個圖形（函數），（通過多媒體給出承德市今年8月8日氣溫變化曲線圖）

思考問題：同學們共同觀察承德市今年8月8日的氣溫曲線圖，如果用函數觀點來分析，設時間為t，溫度為T，這條曲線表達的是關于這兩個變量的函數關系嗎？為什么？

預案：教師結合學生回答追問：如果設時間t為自變量，能從圖中得出自變量的變化范圍嗎？這個函數的定義域及它的對應關系？

【設計意圖】

回歸函數定義，師生共同總結：該曲線反映了氣溫T隨時間t的變化規律，在區間[0，24]內每給一個時間t的值，根據圖像都有唯一確定的溫度T與之對應，是一個函數。

師：觀察圖像，結合已學過的函數觀點，你能說出這一天的氣溫變化規律嗎？

設計要求，學生獨立思考，師生共同交流辨析。單調函數：（1）當天的最高氣溫，最低氣溫及何時達到；（2）某些時段溫度升高，某些時段溫度降低。

思考問題：最高氣溫和最低氣溫是在什么范圍研究的？結合學生回答給以及時評價；如果在定義域內，根據函數在定義域某一個范圍內變化規律，把定義域分成若干部分進行研究，你又會發現什么規律？

師生共同歸納關鍵點：研究函數性質要在整個定義域內研究；在定義域內的某個區間上，隨著時間t的增加，對應溫度升高、降低的變化規律就是函數的單調性，引出課題，板書課題。

思考問題：除了氣溫在某一范圍的變化規律，你還能舉出生活中具有單調性質的實例嗎？

預案：（1）承德市橡膠壩水庫一年中水位隨時間的變化；（2）某段時間學生身高的變化。

師生共同歸納：拋開實際背景，從函數觀點看，它們都反映了在定義域內的某區間上，隨著自變量的變化，函數值變大或變小的規律（即函數的單調性）；在初中學會用文字來描述函數的單調性，這節課我們就來學習一種更為方便的定義形式：用符號語言對單調性進行代數刻畫。

【設計意圖】

生活情境引入新課，可以激發學生的學習興趣，讓學生感悟數學來源于生活，運用數學知識可以解決生活中的實際問題，并向學生提出這節課的學習目標。

（二）探索歸納，建構定義

觀察下列函數圖像，說出函數的變化規律。

①f（x）=x；②f（x）=-x+1；③f（x）=x2

預案：學生回答圖像變化趨勢并描述函數的變化規律，回答思路基本利用初中“描述法”。

【設計意圖】

1.由圖像認識增函數與減函數，直觀且易于學生接受；

2.為單調函數定義中的關鍵詞“區間上”作鋪墊；

3.讓學生反復體會數形結合的思想。

核心問題1：根據上面的描述，對比函數f（x）=x與f（x）=x2在區間（-∞，+∞）上的變化規律，說出它們的不同點？

預案：函數在整個定義域上都是增函數，f（x）=x2是在定義域內的區間（0，+∞）上是增函數。

教師追問：如果要定義增函數，應該選擇在定義域上還是在定義域內的區間上呢？

師生共同歸納：單調性應與定義域內的區間相對應。

核心問題2：請歸納函數f（x）=x，f（x）=2x+1在其定義域上和函數f（x）=x2在區間（0，+∞）上的共同特征，并試著用符號語言表述“函數f（x）在定義域內某區間D上是增函數”。

設計要求，學生獨立思考后并回答出共同特征，然后進入小組合作探究，探究核心是，如何用符號語言表述“函數f（x）在定義域內某區間D上是增函數”。

預案：增函數的共同特征：在定義域內某區間D上，函數值隨自變量的增大而增大；不同小組進行符號表述，但學生描述可能不準確，如： 在區間D上，取兩個自變量值x1，x2，當x1

【設計意圖】

由特殊到一般，歸納得到增函數定義，在自主探究階段中產生認知沖突，利用學生的思維節點引導更深層次的思考。

討論交流問題：“在函數f（x）=x2的定義域（-∞，+∞）上，取兩個自變量值x1=-1，x2=2，由x1

預案：（1）在定義域（-∞，+∞）上不是增函數（舉反例如x1=-3，x2=2）；（2）在（0，+∞）上取特殊值；（3）x1，x2取特殊值不具有代表性，任意取才能代表區間上的所有值。

師生共同思考辨析：歸納得到增函數定義，進一步完善學生對增函數理解。

【設計意圖】

定義中取值的“任意性”是關鍵點，也是學生理解的難點問題，為了幫助學生對給定區間兩個不同自變量取值的“任意性”理解，教師應給以適時的點撥：區間上的值有無數多個，是取不完的，因此應該注意取值的“任意性”，不可由特殊值代替取值“任意性”。

（三）嚴格定義，理解概念

教師學生共同給出增函數定義，并研究增函數定義本質。

思考問題：有了增函數的定義，請你具體談談你對“f（x）=x2在區間（0，+∞）上是增函數”是怎樣理解的？

預案：對定義域： 研究函數性質，首先應該在定義域內研究； 針對（0，+∞）這個區間，單調性與定義域內區間相對應，是局部概念；兩個自變量的取值的任意性，代表了區間上所有值；自變量變化與相應函數值變化的一致性。

【設計意圖】

逐步深化對單調函數定義的理解。

教師追問：有了對函數性質的這些認識，對比增函數的定義，你能給出減函數的定義嗎？

【設計意圖】

讓學生通過類比，歸納概括出減函數定義。

師生共同辨析：減函數定義及單調區間概念。

教師引導：函數f（x）=x在整個定義域內都是單調的，而函數f（x）=x2在其定義域（-∞，+∞）內不單調。

核心問題3：回到前面引課時的氣溫曲線，說出函數的單調區間，并指明函數在相應區間上是增函數還是減函數。

【設計意圖】

讓學生正確表達單調區間以及函數在相應區間上的單調性。

組織活動交流：師生共同檢測判斷學生對定義的理解情況，并說明理由。

鞏固練習：判斷下列說法是否正確，并結合定義說明理由。

（1）定義域為（0，+∞）的函數f（x），滿足f（n）

（2）對于定義域內的區間D，若任意x1，x2∈D，當x1>x2時，都有f（x1）>f（x2），則函數f（x）在D上是增函數.（ ）

變式：函數f（x）在D上增函數，若任意x1，x2∈D，f（x1）>f（x2），則有x1______x2.

（3）對于定義域內的區間D，任意x1，x2∈D，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0，則函數在D上是增函數.（ ）

【設計意圖】

深化學生對定義的理解，進一步鞏固概念。

師生總結歸納：有了定義，對函數的單調性應該有新的認識：單調性反映了在定義域內某個區間上隨自變量的變化，單調性的定義從代數形式刻畫函數變化趨勢，更加嚴謹準確。借助圖像可以直觀感知單調性，但無法操作，而且并不是所有函數的圖像都很簡單，有些函數圖像畫不出來，但可以應用函數單調性的定義證明一個函數是否具有單調性。

（四）知識應用

例1：用定義證明：函數f（x）=2x+1在其定義域上是增函數.

設計要求，關注推理證明嚴謹性與推理證明基本思路。（1）用區間表示定義域；（2）取值（突出“任意性”）兩個不等的自變量值x1，x2，預案：以下有學生完成：不妨設x1

學生完成證明后，教師追問：如何比較f（x1），f（x2）的大小呢？希望獲得什么關系，結論是什么？你的基本推理證明過程是否完整？推理證明基本思路是什么？你對嚴格的推理證明有什么感受？在數學推理證明過程中需要注意什么？總結歸納。

【設計意圖】

讓學生學會如何分析問題，并初步體會用定義法證明單調性的過程中邏輯嚴密且言必有據；增強了學生運用代數法描述單調性的信心。

師生共同演示小實驗：向上拉動活塞，在實驗儀器中用手指封住一定量的氣體，記下此時儀器上的刻度，用力向下壓活塞并記下此時儀器上顯示的刻度，結合手指的感覺，猜想壓強P隨體積V的變化規律。

例題2：物理問題（見教材）

【設計意圖】

不同小組展示，糾正用定義證明過程中出現的錯誤，讓學生明確如何從條件和已知出發獲得想要的結論和用定義證明單調性的步驟。

教師追問：總結以上兩個例題相同點、不同點；總結歸納證明函數單調性一般思路與方法。

（五）能力提升與拓展

【設計意圖】

通過學生之間的交流，舉出反例，使學生能夠正確理解單調性與區間相對應，并能正確書寫函數的單調區間。

（六）課堂小結：

本節課你有哪些收獲？（學生交流本節課學習過程中的體會和收獲，師生合作共同完成小結）；

用定義證明函數單調性的方法和步驟：取值，作差、變形，判定符號，下結論；

②數學思想方法：數形結合；等價轉化；歸納和類比等思想方法的運用。

（七）分層作業：

必做題：課本32頁《練習》

九、對《函數的單調性》一節課的評課

函數是高中數學內容主線之一。“函數的單調性”具有承上啟下作用，與其他數學知識有緊密關聯；函數單調性蘊含著用代數方法研究函數的思想，在理解、歸納、應用函數單調性概念過程中，需要從具體函數出發，完成逐級抽象過程，并利用函數單調性概念解決一些抽象問題和現實問題，對于提升學生數學邏輯推理、抽象運算素養具有重要意義。本節課教學設計從初中學生思維起點出發，結合現實問題，利用函數思想方法研究一個現實問題或特殊函數變化規律，在概念形成階段，凸顯概念抽象過程；在概念鞏固理解階段突出概念本質，在概念應用階段凸顯數學邏輯推理的嚴密性，在研究與學習過程始終注意“數形結合”，凸顯“幾何直觀”；在數學活動中，凸顯學生主觀能動性，對培養學生數學思維與數學素養起到積極作用。下面從幾個方面進行具體評析。

（一）數學學習情境設計到位

從學生思維角度出發，從學生熟悉情境中提煉數學材料與問題，關注情境問題與其他知識的關聯性。情境設計既有現實情境又有恰當的數學情境。本節課數學學習是從現實世界現象或數學的內部問題開始的，現實生活中存在大量遞增或遞減問題，那么引導學生從數學的角度或方法來認識這些現實世界問題，并將這些問題轉化為數學學習的材料，讓學生了解知識的背景、激發學生學習數學的學習欲望，是數學教學的一個重要環節。為了實現這一目的，從學生熟知的“溫度變化”入手，“創設情境，引入新知”，教學中，抓住新舊知識聯系，從學生認識出發，回歸函數定義，并引出新知，這樣設計課堂教學情境，是符合數學知識特征和學生認知規律的。

（二）注意從整體把握數學學習與教學

從知識上，關注初中知識、高中函數概念、已經學習的特殊函數，關注與其他學科知識關聯；從思想方法上，關注本節課數學本質，注意凸顯代數方法的表達與抽象過程，如本節課設計了一個合理的“探索歸納，建構定義”抽象過程；從數學教育價值上，關注數學思維品質培養，學會數學思考，關注數學核心素養發展過程。在學生觀察感知階段，給出學生熟悉的特殊函數，提出問題，讓學生利用舊知識進行分析，同時建立新舊知識聯系，讓學生感受從哪些角度、什么方法分析函數變化規律，判斷研究對象是具有什么基本特征的函數等；其次初步利用解析法分析概括特殊函數的本質特征，通過對學生已經學習或掌握的數學經驗或材料，經過學生辨別、類比、化歸、概括、抽象等過程，感受一類事物的本質屬性，即概念或定義的本質屬性；最后，明晰數學定義，初步運用定義，合理設計教學環節，完成從具體到抽象、從特殊到一般，最終形成一般函數單調性定義；分析利用解析法描述函數單調性關鍵因素，比如對函數在給定區間“任意性”的討論、回歸課堂情境中的問題、利用“函數單調性”定義判斷分析等，都是圍繞新定義本質，引領學生體會新定義在分析研究函數單調性過程中帶來了哪些方便，體會運用數學方法進行嚴密的數學推理與運算等。

（三）圍繞數學本質，提出了一系列有學習思考價值的“問題串”

問題是數學學習的基本思路和方向，它既體現數學學習知識載體，又體現數學思想方法和數學學習策略。本課教學設計能夠圍繞核心內容，設計系列“問題串”，提升課堂思維質量，教師提出問題的質量決定了教學的質量，課堂問題要能夠反映數學本質，并在學生思維最近發展區內發問。教師圍繞變量本質特征，結合函數概念本質，設計提出問題，引出新課題，圍繞“解析法”歸納、總結、提煉一類事物本質屬性，認識單調性本質，關注用定義中數學語言分析研究對象，指導學生運用定義解決現實問題。本教學設計有效發揮了“問題串”引領、提升數學思維能力的作用。

本節課教師關注師生互動，給予了學生思維發展空間，但在如何發揮學生能動性，讓學生“沖鋒在前”主動提出“自己的問題”方面，以及形成更多的課堂生成方面，還需進一步改進與提升。