折紙——數(shù)學(xué)之舞

飛機(jī)碼頭

說到折紙，大概每個(gè)人都折過紙飛機(jī)。說到折紙和數(shù)學(xué)有關(guān)，大概也能懵懂理解。如果我告訴你有門學(xué)問叫：折紙數(shù)理學(xué)，你會(huì)不會(huì)吃驚地反問：啥？折紙還是門科學(xué)？

Origamics，折紙數(shù)理學(xué)

“折紙”最獨(dú)一無二的特征是，一張完整的（通常是正方形）紙張，通過折疊和“整形”，可以變成任何形狀。不信你可以把折紙達(dá)人們花幾分鐘、幾小時(shí)、幾天，甚至幾個(gè)月折疊好的成果拆開，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們還是一張完整的正方形紙張。許多折紙大師們都認(rèn)為這是像“煉金術(shù)”一樣的神奇魔術(shù)。

即使是魔術(shù)，也有科學(xué)的依據(jù)——日本筑波大學(xué)的生物化學(xué)教授芳賀和夫在等待實(shí)驗(yàn)結(jié)果的時(shí)候喜歡用折紙打發(fā)時(shí)間，在這個(gè)“游戲時(shí)間”里他發(fā)現(xiàn)了折紙與數(shù)學(xué)的重要聯(lián)系。1984年9月至1985年8月，他在日本的《數(shù)學(xué)探究》雜志發(fā)表連載文章，展示自己的徒手折疊幾何圖形的研究成果。

這就是現(xiàn)在被稱為“芳賀定理”的一組數(shù)學(xué)定理。這個(gè)定理也是一個(gè)實(shí)用的操作辦法，把正方形（紙張）的邊平均分成三等分。這是“尺規(guī)作圖”無法完成的事情。

1994年，第二屆折紙科學(xué)國際大會(huì)在日本大津市召開，芳賀和夫在會(huì)上提議，在折紙（origami）這一單詞后加上表示學(xué)術(shù)、技術(shù)的詞綴（ics），合成新的概念：折紙數(shù)理學(xué)（origamics。

2017年，麻省理工學(xué)院的天才教授Erik Demain與日本的Tomohiro Tachi從數(shù)學(xué)上證明了“折紙可以折疊出任何形狀”。這是一個(gè)里程碑，它背后的事實(shí)是：折紙?jiān)谶^去近半個(gè)世紀(jì)內(nèi)，與“計(jì)算數(shù)學(xué)”一起發(fā)展，成為其中一個(gè)極其重要的分支。

計(jì)算折紙

20世紀(jì)80年代末，美國著名折紙藝術(shù)家與科學(xué)家羅伯特朗開始用FORTRAN 77語言編程研究折紙的CP結(jié)構(gòu)。到了90年代，他開始用C++語言開發(fā)Treemaker軟件，1998年，Treemaker已經(jīng)不再是個(gè)游戲玩具而成了一個(gè)全新的設(shè)計(jì)工具，第一次能夠在計(jì)算機(jī)的幫助下，完成較為復(fù)雜的設(shè)計(jì)，這是直尺圓規(guī)鉛筆在紙上設(shè)計(jì)做不到的。

在過去的50年間，數(shù)學(xué)逐漸成為折紙?jiān)O(shè)計(jì)的重要工具，有三個(gè)主要的用途：

（1）存在性。從數(shù)學(xué)角度思考一個(gè)模型是否成立，是否能用折紙的方式形成。

（2）復(fù)雜性。預(yù)先分析折疊的復(fù)雜性。

（3）算法。使用計(jì)算機(jī)軟件是否能模擬折疊，在現(xiàn)實(shí)世界中能否折疊。

折疊語言與數(shù)學(xué)公理

在折紙的過程中不斷地拍照，把照片繪制成連續(xù)的折疊過程，這就是“折疊圖”（Origami diagram，簡稱OD），我則更喜歡稱之為“操作圖”（Operation diagram）。按圖索驥進(jìn)行折疊，就可以把白紙折疊成模型。

“折疊圖”就是一套棋譜，它用圖形語言的方式描述了折紙的過程。20世紀(jì)50年代，近現(xiàn)代“折紙之父”吉澤章在出版的書籍中首次用虛線和箭頭描述折紙過程。同一時(shí)期，這套不斷完善的符號語言在世界范圍內(nèi)迅速演化。

1956年，南美的Robert Harbin與美國人Sam Randlett開創(chuàng)了一套符號來描述折紙過程，最終成為現(xiàn)代折紙的通用國際語言。這就是現(xiàn)在被稱為吉澤章一蘭德列特系統(tǒng)（Yoshizawa-Randlett system）的圖形及符號語言，這使得折紙超越了文字語言的障礙，極大地推動(dòng)了現(xiàn)代折紙的發(fā)展。

如果我們把折疊好的模型完全拆開，在紙上可以看到許多折痕，把折痕按照折疊方向用虛實(shí)線描出來，這個(gè)圖就是折痕圖，簡稱，CP（Creasepattern）。“折疊圖”（OD）與“折痕圖”（CP）共同構(gòu)成了折紙的圖像語言。前者是一個(gè)操作手冊，描繪了折疊過程；后者則像“模型”的“經(jīng)絡(luò)圖”，有經(jīng)驗(yàn)的折紙家一看到經(jīng)絡(luò)圖就知道最終模型的大概形狀。

在折紙過程中，每一步操作都是點(diǎn)和線之間的對齊折疊，這是物理世界的實(shí)際操作，也是數(shù)學(xué)世界的一種“運(yùn)算”。七大折紙公理闡述了“折疊”的數(shù)學(xué)意義，只需要初等幾何知識就能理解。

美麗的折紙：鑲嵌折

在過去數(shù)百年時(shí)間內(nèi)，不同的民族和文化形成了許多類型的折紙風(fēng)格，其中“鑲嵌折”是最有特色的一個(gè)流派。

從數(shù)學(xué)上來看，“鑲嵌問題”又稱為“馬賽克問題”，表示的是各種幾何圖形鋪滿整個(gè)平面。大自然中處處充滿這樣的圖形，蜂巢是正六邊形鑲嵌，用顯微鏡觀察樹葉放大后表皮細(xì)胞規(guī)則排列的圖案也是鑲嵌。從美術(shù)角度看，西班牙阿爾汗布拉宮清真寺是最具代表性的“鑲嵌圖案”，由幾何形狀規(guī)則排列構(gòu)成氣勢恢宏的對稱圖案，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)與幾何的美麗。

鑲嵌折折紙不僅涉及非常深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識，最特別的地方是，通過幾何形狀創(chuàng)造出平面或者立體的“紋理”。一方面，平面紋理在光的透射下形成復(fù)雜的花紋，像萬花筒一樣變幻無窮，這又被稱為“Shadow folding'，折紙與光線的藝術(shù)。

另一方面，立體的結(jié)構(gòu)被稱為“Paper sculpture”，紙的雕塑，除了讓人眼前一亮，這些結(jié)構(gòu)還在基礎(chǔ)材料科學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、機(jī)器人工程、航空航天領(lǐng)域廣泛研究和利用，許多國際著名大學(xué)開始了一個(gè)新的研究方向“Structural origami”，研究折紙技術(shù)如何構(gòu)成形狀。

看了那么多關(guān)于折紙的介紹，你有沒有想自己動(dòng)手折—折的沖動(dòng)？

飛機(jī)老師專門設(shè)計(jì)了一張折疊圖紙，請讀者們來試試，看看折出來會(huì)是什么。我們現(xiàn)在就來體會(huì)一下芳賀定理把正方形紙張的每一條邊分成三等分的方法，折疊九宮格、風(fēng)車及飛鏢。

注一：折紙一般來說分為三個(gè)步驟：Precrease，預(yù)折，只把各個(gè)位置的折痕按照設(shè)定的位置和方向折好。

Squash，聚合，需要同時(shí)把紙張各個(gè)部分收縮起來。

Shaping，整形，像雕塑一樣塑造曲線和細(xì)節(jié)。

注二：我稱重復(fù)的步驟叫“輪折”。輪折形成首尾相接的一片壓著另一片的結(jié)構(gòu)。在最后一步通常會(huì)打開第一步的形狀。