Adjexpectile風險測度的性質、優化及資產配置的應用

周 靜, 羅 樂

(華中科技大學管理學院，湖北 武漢 430074)

1 引言

在金融風險管理中找到一個合適的風險度量是非常具有挑戰性的，不同的風險度量對資產定價、組合對沖、資產配置、投資績效評價產生不同的影響。當我們主要關注下側風險時，對收益的上升和下跌變化的管理是不同的[1-2]。VaR是主要的下側風險度量工具。VaR定義為在給定置信水平下，一個組合在一段時間內最大的損失。概念上VaR把組合的市場風險歸結為一定量的貨幣(或百分比)，由于概念的簡單，受到金融實務者、監管者和政策制定者的廣泛接受。VaR可以表示為標的資產收益分布第α分位數的絕對值，給定尾部概率α，α分位數僅僅依賴于極端事件的分布，而不是極端事件的損失,對極端事件損失是不敏感的。Kuan等[3]構建了兩個具有相同的分位數而不同尾部行為的例子說明這種情況。另外，VaR不是次可加性風險度量，Artzner等[4]、Acerbi等[5]認為一個組合的總風險不應該大于各成分資產風險之和。由于VaR作為風險度量工具的不足，Artzner等[4]、Yamai和Yoshiba[6]提出期望損失(ES)作為風險度量工具克服VaR的不足，并得到廣泛的應用。ES定義為收益超過VaR條件下收益的期望值。

VaR其實就是Koenker等[7]提出的分位數回歸(QR)的特例，相對于傳統的均值回歸QR可以研究不同位置的條件分布，全局性的考察了因變量和自變量的相互關系，它的吸引力不僅體現在數據的異方差性，而且還可處理不同誤差分布特征的數據，在經濟、金融領域得到廣泛的應用。但由于非對稱加權絕對誤差函數不連續可微，及估計量的協方差矩陣依賴于誤差密度函數在對應分位數的值，給估計和檢驗帶來困難。為了彌補這個缺陷，Aigner等[8]提出了類似分位數回歸的最小平方法，Newey和Powell[9]把該方法定義為“非對稱最小二乘”估計(ALS)，并進行拓展，提出expectile的概念，并證明了expectileμ(τ)關于τ(τ∈(0,1))是嚴格單調增加的，正齊次性和平移不變性，類似于分位數的性質。如果把|μ(τ)|作為保證金需求[3,10]，τ可以表示為期望邊際損失的相對成本，當保證金需求越多，邊際損失就越小，τ就越小，違約風險越小，所以把τ視為防止違約風險的謹慎性水平。根據Yao等[11]和Efron[12]的思想，可以建立expectile和ES(α)的線性關系，expectile具備ES(α)所具有的超可加性，彌補了VaR的不足。另外，我們利用混合正態分布揭示了expectile對極端風險的敏感性，這種敏感性不同于ES，類似于Kuan等[3]利用模特卡羅實驗的結果。

鑒于expectile 的嚴格單調增加性、正齊次性、平移不變性、超可加性、謹慎性和對極端事件的敏感性等優良性質，作為金融風險度量工具具有優越性。在資本加速全球化時代，大量的資本在全球范圍內自由流通和運轉，使的金融體系穩定性下降，金融市場波動顯著增加，市場風險加劇。導致金融風險愈加復雜和多樣化，極端災難性金融事件頻繁發生。一個合適的金融風險度量顯得尤其重要，對資產配置和動態調整策略具重要的經濟意義和實踐價值。我們的目標就是提出一個替代性的資產配置的方法，通過定義、度量、分析和優化，表示和均值方差、均值shortfall不同的概念，并表明它的可計算性具有很好的實際應用。

經典的組合配置方法是馬科維茨的均值方差模型，用標準差作為風險度量，優化收益和風險的權衡。組合的方差涉及到組合所有成分的協方差，增加了經濟含義，得到廣泛的實際應用，但模型的二次效用和橢圓對稱收益分布受到批判[13-14]。由于標準差度量風險存在以上問題，產生一系列對標準差替代性風險度量。Fishburn[2]提出均值風險方法，記為(α,t)模型。Manganelli[15]通過懲罰最小二乘法(PLS)解決對應的(α,t)模型組合資產配置問題。Dowd[16]、Duffie等[17]使用分位數作為下側風險度量工具，但極端事件發生的概率是無法預期的，VaR不能度量這些期望損失，Basak等[18]也表達同樣的觀點。為了解決這個問題，Artzner等[4]給出了風險度量的一致性公里，證明了VaR不滿足次可加性，損壞了風險的分散，并給出尾部條件期望(TailVaR、TCE、ES、CVaR)，證明滿足一致性公里。Uryasev 和 Rockafellar[19]提出一種新的方法求解最小CVaR資產配置和組合對沖策略，該方法的優越之處是把最小化ES轉化為線性規劃問題，不依賴于收益的概率分布，還可以順便求解出VaR。Bertsimas等[20]從二階隨機占優的角度引進shortfall作為風險度量工具，分析了它的風險度量一致性、凸性等性質，討論了與標準差、VaR、LPM之間的關系，并通過非參數的方法轉化為線性規劃求解均值shortfall的組合優化及有效前沿。

本文主要貢獻體現在以下四個方面：第一、在混合正態分布下揭示expectile的風險敏感性, 類似于Kuan等[3]利用模特卡羅實驗的結果；第二、定義了Adjexpectile風險度量，并討論和分析了Adjexpectile的一致性風險度量、隨機占優性、凸性,與標準差、VaR、shortfall的關系，風險貢獻及風險分解；第三、討論了Adjexpectile的估計方法；第四、利用六個指數的周收益數據對均值標準差、均值shortfall、均值Adjexpectile的有效前沿比較，并對組合權重的差異和風險進行分析。

2 Expectile的風險敏感性

VaR可以表示為標的資產收益分布第α分位數的絕對值，第α分位數可以通過最小化以下非對稱加權絕對誤差函數獲得：

Ε[|α-1{Y≤q}|·|Y-q|]

(1)

通過(1)式的最小化一階條件，得到：

(2)

(1)式可以看作通過非對稱權重描述悲觀情緒[21]。

ES定義為收益超過VaR條件下收益的期望值。如(3)式所示：

ES(α)=Ε[Y|Y≤-VaRα]

(3)

Newey和Powell[9]用非對稱最小二乘定義的expectile,如(4)式所示：

(4)

其中τ∈(0,1)。μ(τ)被認為Y的第τexpectile，τ=0.5，(4)式就是傳統的最小二乘函數，μ(0.5)就是均值Ε[Y]。

從(4)式可以得到：

μ(τ)=γΕ[Y|Y>μ(τ)]+(1-γ)Ε[Y|Y≤μ(τ)]

(5)

其中，

γ=τ[1-FY(μ(τ))]/{τ[1-FY(μ(τ))]+(1-τ)FY(μ(τ))}。

Expectile 可以看做上側條件均值和下側條件均值的加權平均。另外，(4)式也可變化為相對數的形式τ=Ε[|Y-μ|1{Y≤μ}]/Ε[|Y-μ|]，Kuan等[3]及Lam等[10]把|μ(τ)|作為保證金需求，Ε[|Y-μ|1{Y≤μ}]代表期望邊際損失，Ε[|Y-μ|1{Y>μ}]代表期望邊際機會成本，Ε[|Y-μ|]就是二者的總成本。當|μ(τ)|越大時，期望邊際損失越小，τ就越小，但機會成本提高，金融市場中交易清算機構就把τ作為謹慎性指數，防止違約風險。Yao等[11]建立了τ和α如(6)式所示關系式，Efron[12]提出α分位數可以通過expectile來估計的思想：樣本內觀測值低于expectile的比例是α，使得μ(τ)=q(α)。

(6)

其中α∈(0,1)。由(5)式可以得到用ES(α)表示的μ(τ)：

(7)

從圖1中可以看到expectile 的斜率在τ=0.5附近小于對應的分位數的斜率，和ES的斜率幾乎相同，在靠近τ=0時expectile 的斜率要大于對應的分位數和ES的斜率，說明expectile在左尾部是非常敏感的。τ=0.5時，對應分位數為中位數，expectile為均值，對于一般的非對稱分布，二者可能不相等。

圖1 μ(τ)τ∈(0,0.5)在標準正態分布下的圖形

圖2 Quantile、Expectile、ES對極端損失的敏感性

在圖1中，當μ(τ)=q(α)=ES(α)時，τ<α，τ作為謹慎性指數反映了風險暴露水平要小。由(6)式可以計算出，在標準正態分布下，τ=1%、2%、5%、10%、25%、50%，α=4.29%、6.97%、12.71%、19.45%、33.13%、50%；在厚尾分布t(6)下，α=2.97%、5.21%、10.46%、13.93%、31.5%、50%。相同的τ值，α值的大小依賴于尾部分布，反映了不同概率水平下的風險暴露。

3 Adjexpectile的定義和性質

3.1 Adjexpectile的定義

這部分，利用期望效用范式和隨機占優定理來定義Adjexpectile。在投資者設定的效用函數u(·)下，投資者按照期望效用最大化進行選擇，也就是說Ε(u(X))≥E(u(Y))，投資者偏好投資收益X。一般情況下，效用函數集合U可分為兩類：單調不減函數類U1，可理解為“收益越多越好”，稱為一階隨機占優；單調不減凹函數類U2，是“風險厭惡”的，稱為二階隨機占優。因為套利機會的存在，一階隨機占優很難發生，一階隨機占優是二階隨機占優的必要非充分條件。另外，理論上可能存在更高階的占優，但實踐中高于二階的隨機占優是不明顯的。馬科維茨均值方差準則如果通過效用函數或隨機變量來定義，只能用二次效用或橢圓對稱收益分布來定義，其優缺點在引言部分已敘述。

下面考慮n個資產的組合，假設隨機收益向量R=(R1,…,Rn)′聯合密度函數是連續的，均值μ=Ε[R]，權重為x=(x1,…,xn)′的組合收益X=R′x。對于給定的組合均值Ε[R′x]=μ′x，投資者最大他們的期望效用Ε[u(X)]。

在效用函數Ui,i=1,2下，用Levy定理[22]來刻畫投資者偏好：

定理1(Levy 1992)：隨機變量X、Y有連續密度函數：

(a)Ε[u(X)]≥Ε[u(Y)],?u∈U1,當且僅當qα(X)≥qα(Y),?α∈(0,1)。

(b)Ε[u(X)]≥Ε[u(Y)],?u∈U2，當且僅當Ε[X|X≤qα(X)]≥Ε[Y|Y≤qα(Y)],?α∈(0,1)。

根據定理1, 當投資者的效用函數u∈U1時，最大化投資者期望效用Ε[u(X)]，相當于對qα(R′x)求最大值，對VaRα(x)=μ′x-qα(R′x)求最小值，由于非凸性和非次可加性，給計算和風險分散帶來難度。VaRα(x)給出了低于期望收益損失的大小，發生的概率不大于α。當投資者的效用函數u∈U2時，最大化投資者期望效用Ε[u(X)]，相當于對ESα(R′x)求最大值，對Sα(x)=μ′x-ESα(R′x)求最小值，Sα(x)表示當組合收益不大于它的α分位數時，平均收益低于期望收益損失的大小，Bertsimas等[20]把它命名為shortfall。

Expectileμ(τ)對?τ∈(0,0.5)由(7)式所示，(7)式等價為：

(8)

(9)

當投資者的效用函數u∈U2時，最大化投資者期望效用Ε[u(X)]，由(7)式相當于對μτ(R′x)求最大值，對Sτ(x)=μ′x-μτ(R′x)求最小值。本文把Sτ(x)叫做均值調整的expectile，簡記為Adjexpectile。表示當組合收益低于它的τ分位數的條件下對下側均值懲罰權衡后，低于期望收益損失的大小。Sτ(x)是組合權重的函數，也是組合收益X的函數，在本文中二者是相等的Sτ(x)=Sτ(X)。

3.2 Adjexpectile的性質

為了加深對Adjexpectile的理解，這部分我們討論了它的一致性風險度量，凸性、風險度量相關性、邊際貢獻。

定義1：一致性風險度量

Artzner等[4]認為每個風險度量應該滿足四個公理，Delbaen[23]把這四個公理由離散概率空間擴展到任意概率空間。隨機收益X的一致性風險度量ρ(X)是一個實值函數，滿足：

(1)平移不變性：對任意的實數a，ρ(X+a)=ρ(X)+a

(2)次可加性：對任意的隨機變量X、Y，ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y)

(3)正齊次性：當t≥0,ρ(tX)=tρ(X)

(4)單調性：如果X≥0，ρ(X)≤0

下面我們來證明Sτ(x)滿足次可加性和正齊次性。

命題1：對任意的隨機變量X、Y，Sτ(X+Y)≤Sτ(X)+Sτ(Y)

證明：讓X、Y表示n個資產的組合收益，權重分別為x=(x1,…,xn)′，y=(y1,…,yn)′，X=R′x,Y=R′y。ESα(X)定義如(2)式所示。ESα(X)可以等價的表示為：

(10)

連續分布函數F(a)=α.

E(X)=αE[X|X≤qα(X)]+(1-α)E[X|X>qα(X)]=αESα(X)-(1-α)ES1-α(-X)

E(X)-ESα(X)=-(1-α)[ESα(X)+ES1-α(-X)]

(11)

(12)

用-(X+Y)替換(12)式X+Y，ES1-α(-X)同樣滿足(12)式的不等式。由(9)式、(11)式、(12)式得到：

(13)

命題2：當t≥0,Sτ(tX)=tSτ(X)

證明：對任意的t≥0，qα(tX)=tqα(X)是顯然的，

命題3：Adjexpectile是凸函數，對任意的0<γ<1，Sτ(λX+(1-λ)Y)≤λSτ(X)+(1-λ)Sτ(Y)。

由命題1和命題2很容易得到命題3。

命題4：Adjexpectile與shortfall、VaR、標準差之間的關系

(1)由Adjexpectile定義

(2)當μ(τ)=q(α)時，Sτ(x)=VaRα(x)。

(3)如果n個資產收益向量R服從橢圓對稱分布，均值μ，協方差為Σ，

命題4(1)和(2)由Adjexpectile定義得到，(3)的證明參考Bertsimas等[20]命題1。

命題5：Adjexpectile的風險貢獻及歐拉分解：

(14)

(15)

(14)式的證明參考Bertsimas等[20]命題3。由于Sτ(x)的正齊次性及歐拉定理(15)式得證。

4 Adjexpectile組合的優化

這部分我們考慮Adjexpectile的組合優化問題。

(16)

e是單位列向量，(16)式定義類似于均值shortfall[20]組合優化問題：

(17)

均值方差組合優化問題：

(18)

(18)式可以采用二次規劃進行優化，對于(17)式優化問題，Bertsimas等[20]采用非參數方法樣本化均值shortfall優化問題，最后歸結為較少數目的約束(二倍樣本規模加二加組合資產數)和變量(組合資產數加一加樣本規模)的線性規劃。該方法的優勢不需要對收益R的分布做任何假設，直接利用歷史數據。

(19)

對(17)式采用類似Uryasev等[19]線性規劃法，我們也可得到(19)式，但樣本r1,…,rT不是歷史數據，而是歷史收益聯合概率分布產生的隨機樣本，需要假設一個概率分布。這里需要說明的是歷史收益率的時間序列含有市場可行的信息，決定市場的不變性，特別是時間齊次不變性收益率的時間序列，它的分布不依賴于時間點，很容易得到任何時間區間的分布。權益市場主要使用復合收益率表示時間齊次不變性。市場不變性收益分布的估計可采用非參數法和參數方法，對于大樣本采用非參數法方法比較好，Bertsimas等[20]用的就是這個思想。不是大樣本情況下一般采用參數估計，比如極大似然估計、收縮估計(Shrinkage)等，Uryasev等[19]用的是后者方法。除此之外還有穩健性估計，比如穩健性M估計。本文采用Bertsimas等[20]方法得到(16)式的線性規劃問題。

定理2:問題(16)等價于線性優化問題：

(20)

證明參考Bertsimas等[20]定理3。

5 均值Adjexpectile組合配置實證分析

這部分為了解釋風險度量Adjexpectile的組合優化和風險分析，使用了3個資產分類債券、權益和黃金現貨，六個指數：上證國債指數、上證企業債指數、上證180指數、深圳100指數、深成長40p指數和黃金現貨Au9999指數。為了結果的穩健性，我們也給出了風險度量shortfall和標準差的組合優化。

5.1 數據和描述統計量

六個指數的時間范圍從2006年6月到2016年6月共489周，所有的收益率采用周復合收益率，指數數據來源于國泰安CSMAR數據庫。

表1反映了每項資產買進并持有策略統計量，我們看到平均周收益率最高的是深圳成長40p指數達到0.24%，其次是深圳100指數達到0.20%，有趣的是深圳100指數周平均波動率要比深圳成長40p指數高0.04個百分點，最大下跌量小1.60個百分點。周平均收益率、波動率最小的是上證國債指數，分別為0.06%、0.07%，上證企業債幾乎是它們的二倍，二者的偏度大于零，說明是右偏態的，二者峰度都較大，呈現尖峰狀，但上證企業債的峰值更大。其余四個指數是左偏態的，峰值在2左右。兩個債券指數擁有最有吸引力的夏普比率分別為0.4118和0.3236,讓人感到意外的是上證180指數及黃金現貨的夏普比率最低。

另外，也檢驗了六個指數的皮爾遜相關性，從未列表數據觀察到，三個權益指數有高度的正相關性，最高達到0.95，但與兩個債券指數存在顯著負相關的，負相關程度國債稍微高于企業債，這也意味著國債指數在股票市場熊市期間可以作為一個很好的風險分散工具。兩個債券指數存在顯著的正相關，相關系數為0.58。而黃金現貨指數收益率與其它五個指數收益率幾乎是不相關的。

表1 資產收益的描述統計量

5.2 給定的τ 值，α 值的估計

根據(8)式，Adjexpectile的計算需要在給定τ值的情況下，獲得對應的α值。根據Efron[12]用expectile估計分位數的思想，樣本內觀測值低于τexpectile的比例是α，也就是說對于每個τexpectile對應著一個α分位數，雖然τ不等于α，但存在expectile與分位數的一對一對應關系。Enger等[24]用半參數方法基于CAViaR模型進行分位數回歸，避免了分布假設。Taylor[25]把CAViaR模型拓展到CARE模型用于非對稱最小二乘(ALS)回歸，回歸的結果就是expectile，目的是用expectile估計ES。這部分我們采用類似Taylor[25]的CARE模型求出τexpectile，然后根據Efron[12]的思想，求出對應分位數的α。

具體估計過程為：首先，對模型(21)和(23)式，用(0,1)均勻分布產生104個3維隨機向量，使(4)式最小的10個向量作為模型參數估計的初始值。而對模型(22)和(24)式，用(0,1)均勻分布產生105個4維隨機向量，使(4)式最小的15個向量作為模型參數估計的初始值。其次，對于每個模型，在給定τ值和5.1節提到的489周給定指數的時間收益序列，用Matlab程序的無約束線性優化函數fminsearch 求出使(4)式最小的參數。最后，對每個模型和每個指數，求出τexpectile，并計算所有樣本中小于τexpectile的樣本占總樣本的比例，就是我們要估計的α。Taylor[25]的CARE模型表示如下：

對稱絕對值CARE模型(SAV):

μt(τ)=β0+β1μt-1(τ)+β2|rt-1|

(21)

非對稱斜率CARE模型(AS):

μt(τ)=β0+β1μt-1(τ)+β2(rt-1)++β3(rt-1)-

(22)

間接GARCH(1,1)CARE模型:

μt(τ)=(1-2I(τ<0.5))(β0+β1μt-1(τ)2+

(23)

間接AR(1)- GARCH(1,1)CARE模型:

μt(τ)=α1rt-1+(1-2I(τ<0.5))(β0+

β1(μt-1(τ)-α1rt-2)2+β2(rt-1-α1rt-2)2)1/2；βi>0

(24)

SAV模型和GARCH模型表明過去的收益對現在expectile的影響是對稱的，AS模型表明過去正、負收益的對現在expectile的影響是不同的，具有杠桿效應。Enger等[24]用前三個CAViaR模型來解釋基于現在信息組合收益的未來VaR的值，并給出動態分位數檢驗(DQ)。間接AR(1)- GARCH(1,1)CARE模型是由Kuester等[26]提出的，目的通過α1來抓住收益序列的自相關關系。這四個模型通過expectile的滯后項實現均值回復。模型的參數采用非對稱最小二乘函數(4)式來估計。蘇幸等[27]用CARE模型對基金業績進行評價，謝尚宇等[28]用ARCH-Expectile對VaR和ES進行風險度量。本文在上述四個模型基礎上，按照Efron[12]對α的解釋，及對應的估計程序，得到表2的結果。

在表2中，對于給定的τ及不同的指數，GARCH和ARGARCH模型估計的α值幾乎驚人的相等，和AS模型估計的α值比較接近，但與SAV模型估計的α值在上證180指數和上證企業債指數上差別還是很大的。Enger等[24]對CAViaR模型的設定認為更一般化，可以用于各種形式具有非獨立同分布誤差項的收益時間序列。簡志宏等[29]用CAViaR模型對滬深300股指期貨隔夜風險進行研究，發現對于左尾部，AS模型要比SAV和間接GARCH模型優越。Taylor[25]用上面的四個CARE模型求expectile時，發現GARCH模型和SAV模型要優于AS模型。由于本文用的六個指數數據特征比較復雜，有左偏態的，也有右偏態和尖峰的，所以沒有對不同的CARE模型對不同數據的優越性進行比較。為了消除不同的模型估計α值的偏差，我們取四個CARE模型對不同指數估計的α值的平均值。τ=1%、5%時，α=3.0998%、10.0971%，這個結果說明τ值比對應的α值更極端，這個與第2部分在標準正態分布下的圖1結論一致，另外也與t(6)分布下α=2.97%、10.46%的估計結果很接近。

表2 給定的τ 值，在CARE模型下得到α 值

5.3 均值Adjexpectile組合的有效前沿

這部分我們利用489周的歷史周收益數據對(20)式進行優化，此時取τ=1%，α=3.1%。對于均值shortfall(19)式的優化，取α=1%。對于均值標準差的優化，采用傳統的二次規劃。我們規定是全投資且不允許做空(天下沒有免費的午餐)，優化約束要求權重之和等于1且各組合權重是非負的。圖3左圖反應了收益標準差的權衡，右圖反應了收益99%shortfall的權衡。從左圖中可以看到以標準差作為風險度量，99%Adjexpectile組合前沿要優于99%shortfall組合前沿，和均值標準差組合前沿重合。右圖在99%shortfall作為風險度量下，99%Adjexpectile組合前沿要優于99%shortfall組合前沿，這個和我們第2部分敏感性分析是吻合的。在第1部分文獻回顧部分，我們認為標準差對上側和下側收益風險是一樣看待的，expectile、shortfall作為下側風險度量工具，圖3的結果正體現了expectile作為風險度量的魅力。

最優權重及風險貢獻作為收益目標的函數報告在圖4中，第一行、第二行、第三行分別為Mean-StdDev、Mean-Shortfall、Mean-Adjexpectile有效前沿組合權重和風險貢獻。從第一列有效前沿組合權重上發現當目標收益小于0.1%時，權重主要配置國債和企業債，隨著目標收益增加，國債的權重在減少和企業債的權重在增加。當目標收益大于0.1%時，隨著目標收益增加，國債的權重減少為零，企業債的權重也在減少，深圳成長40p指數的權重在增加。造成這個現象并不感到驚訝，這個結果和表1中反應的數據統計特征相吻合的。表1中最大夏普比率依次為上證國債指數、上證企業債指數和深圳成長40p指數，且債券指數和股票指數是負相關的，黃金現貨指數和它們幾乎是不相關的，所以在有效組合權重配置中完全反映了這些數據特征。從第二列有效前沿組合風險貢獻上發現較大的區別，均值Adjexpectile資產配置要比均值Shortfall、均值標準差資產配資更加分散，這進一步體現它的優勢。當目標收益大于0.15%時，發現組合幾乎所有的風險來自深圳成長40p指數，Litterman[30]把這樣的頭寸稱為‘Hot Spots’，識別了最優組合的‘Hot Spots’，也就識別了潛在風險對沖對象，有助于組合的風險管理。

圖3 Mean-StdDev、Mean-Shortfall、Mean-Adjexpectile有效組合前沿，τ=1%，α=1%

6 結語

作為下側風險度量工具expectile與傳統的VaR、ES比較，得出expectile 的嚴格單調增加性、正齊次性、平移不變性、超可加性、謹慎性和對極端事件的敏感性等優良性質，表現出作為金融風險度量工具的優越性。在此基礎上本為提出Adjexpectile的概念，經濟、金融含義可以理解為：在組合收益低于它的τ分位數條件下對下側均值懲罰權衡后，低于期望收益損失的大小。并進一步討論了Adjexpectile的二階占優性、正齊次性、次可加性、凸性及與標準差、VaR、shortfall的關系，風險貢獻及風險分解。借助shortfall組合優化方法，我們得到Adjexpectile的線性規劃組合優化方法。在實證部分，我們使用中國資本市場上具有代表性的六個資產指數：上證國債指數、上證企業債指數、上證180指數、深圳100指數、深成長40p指數和黃金現貨指數，作為我們組合研究對象。對置信水平τ的Adjexpectile，我們采用對稱絕對值CARE模型、非對稱斜率CARE模型、間接GARCH(1,1)CARE模型、間接AR(1)- GARCH(1,1)CARE模型分別計算出對應分位數的α水平，取平均的α值參與組合優化,與標準差、shortfall相比，發現Adjexpectile在非對稱性收益數據、組合前沿、風險分散方面具有一定的優越性。

圖4 Mean-StdDev、Mean-Shortfall、Mean-Adjexpectile有效組合權重和風險貢獻τ=1%，α=1%

參考文獻：

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