基于熵原理和狹義相對(duì)論的空間量子化研究

錢鳳儀

(吉林大學(xué) 研究生院， 吉林 長春 130012)

0 引 言

在研究黑體輻射吸收規(guī)律時(shí)，普朗克在1900年提出了能量量子化概念，其主要內(nèi)容是：黑體由不同頻率作簡諧振動(dòng)的振子組成，其中電磁波的吸收和發(fā)射不是連續(xù)的，而是以一種最小的能量單位[1]

ε=hν

(1)

為最基本單位而變化著的。這樣以不連續(xù)增加的一份能量ε稱為能量子。其中ν是輻射電磁波的頻率，h即普朗克常量。也就是說，振子的每一個(gè)可能的狀態(tài)以及各個(gè)可能狀態(tài)之間的能量差只能是hν的整數(shù)倍。

受普朗克能量子假設(shè)的啟發(fā)，愛因斯坦于1905年提出，在空間傳播的光也是不連續(xù)的，也是一份一份的，每一份叫一個(gè)光量子，簡稱光子。光子的能量E同光的頻率ν成正比。這個(gè)假說后來就叫愛因斯坦光量子假說。光量子假說認(rèn)為每一個(gè)光子的能量只決定于光子的頻率，例如藍(lán)光的頻率比紅光高，所以藍(lán)光光子的能量比紅光光子的能量大。而同樣顏色的光，強(qiáng)弱的不同則反映了單位時(shí)間內(nèi)射到單位面積的光子數(shù)的多少。

近代物理學(xué)最主要理論是量子理論和相對(duì)論。在狹義相對(duì)論中，光子能量方程為

E=hν

(2)

對(duì)光子而言，光沿著x方向傳播時(shí)其速度C的表達(dá)式為

(3)

按照狹義相對(duì)論，時(shí)間間隔表達(dá)式為[2]：

(4)

式中： Δτ——原時(shí)，是平坦空間中的我們觀測者所處空間的時(shí)間間隔；

Δt′——物體以速度V相對(duì)我們運(yùn)動(dòng)時(shí)，在我們“看來”它在我們所處的坐標(biāo)系形成的時(shí)間間隔。

由式(4)可知，當(dāng)

V→C

(5)

或?qū)庾佣?/p>

V=C

(6)

時(shí)，則由式(4)可知

Δt′→∞

(7)

也就是說，當(dāng)光子以光速運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的時(shí)間間隔在我們看來是無限漫長的，或者說時(shí)間過程無限慢,也就是時(shí)間消失了。這在理論上表明，光子無論以什么頻率變化，但按照狹義相對(duì)論及頻率與時(shí)間間隔關(guān)系式

(8)

可知，當(dāng)光子以光速C相對(duì)我們運(yùn)動(dòng)時(shí)，其時(shí)間間隔變?yōu)槭?4)和式(7)中的Δt′，因此光子的變化頻率為

(9)

式(9)表明，按照狹義相對(duì)論，光子以光速運(yùn)動(dòng)時(shí)，光的頻率變化是不能顯現(xiàn)的，這與式(2)中愛因斯坦所假設(shè)的光子能量方程是不一致的。由此看來，狹義相對(duì)論與光量子方程之間在光速這個(gè)邊界上存在矛盾。按照狹義相對(duì)論，光子不應(yīng)該有頻率，按照光量子方程，只有假設(shè)光子有頻率，才能與對(duì)應(yīng)的物理實(shí)驗(yàn)相符合。這就需要在光速邊界問題上修改狹義相對(duì)論對(duì)關(guān)于時(shí)間間隔問題上的不正確的描述或不能充分描述客觀現(xiàn)象的事實(shí)。

1 經(jīng)典諧振子能量方程與量子化問題

在低速情況下，一個(gè)質(zhì)量為m的物體，以角頻率ω作周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的諧振子勢能為[3]

(10)

式中:k——胡克常數(shù)。

令

(11)

可得對(duì)應(yīng)的薛定諤方程為

(12)

由式(12)可求得厄密多項(xiàng)式能量量子化解[3]為

(13)

由式(13)可知,諧振子的能量級(jí)是均勻分布的，量子的能量最小值為

?ω0

(14)

由式(13)和式(14)可知，量子的最小值不是0，而是E0。量子之間的能量間隔或能級(jí)也是不連續(xù)的，而是

Es=?ω0

(15)

由式(14)可知,對(duì)于一個(gè)質(zhì)量不為0的諧振子而言，它的能量最小值不能是0。推而廣之，光子的能量同樣不能降低為0。這就是為什么普朗克將輻射能量假設(shè)為式(1)和愛因斯坦將光子的方程假設(shè)為式(2)的原因。

在經(jīng)典力學(xué)中，三維空間中線性諧振子的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)。其勢能表達(dá)式為：

(16)

其中

x=Asin(ωt+φ)

(17)

式中：φ——相位初始值；

A——振幅；

ω——角頻率。

由式(16)和式(17)可將能量子勢能最大值寫成

(18)

以諧振子的周期ΔT為時(shí)間間隔，則有

(19)

換而言之，在非量子情況下，式(18)給出的能量微分也就是能量最小值

dEmax=mA2ωdω

(20)

由式(19)將式(20)表示為關(guān)于時(shí)間的微分，就是

(21)

或

(22)

由式(1)和式(2)可知，三維空間中的物理量dt2在二維空間中收縮為2dt；或者二維空間中的時(shí)間間隔這個(gè)物理量2dt，在三維空間中則通過積分?jǐn)U張為dt2。因此，諧振子的能量表達(dá)式在三維空間中是式(22)所表達(dá)的與時(shí)間間隔的平方dt2成反比，而一旦諧振子處在以光速運(yùn)動(dòng)的二維空間，則收縮為如式(2)所表達(dá)的與時(shí)間間隔成反比。這種變化的原因是三維空間和二維空間里空間能量子的熵S是不同的。而且理論上，二維空間中的熵是三維空間中熵的微分。

2 借助熵原理對(duì)光量子或空間能量子的量子化

如果用熵S代表空間的混亂度，由玻爾茲曼公式可知

S=klnΩ

(23)

式中:k——玻爾茲曼常數(shù);

Ω——宏觀粒子配容數(shù)或分配數(shù)。

由克勞修斯熵公式

(24)

其中

Q=dA+dE

(25)

dA——系統(tǒng)作功，dA=pdV；

dE——內(nèi)能的增加，dE=Cv,mdT。

由式(24)可知，在背景溫度不變的情況下，尤其在宇宙背景溫度相對(duì)不變的條件下，熵的變化是與能量成正比的。所以，若粒子的運(yùn)動(dòng)速度為V，則熵S與粒子的能量關(guān)系為

(26)

式(26)表明，如果系統(tǒng)的粒子都處在靜止?fàn)顟B(tài)，則系統(tǒng)內(nèi)的混亂度等于0。當(dāng)粒子系統(tǒng)以速度V與觀測者做相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，由式(4)、式(7)、式(26)可知，當(dāng)V→C

(27)

式(27)表明，在光速的情況下，光子在所處的空間之內(nèi)，其空間能量子混亂度依然不為0。因此，光子即使在光速條件下，按照狹義相對(duì)論，它就不應(yīng)當(dāng)有運(yùn)動(dòng)和變化發(fā)生，但按照量子的觀點(diǎn)，光子還會(huì)在二維空間內(nèi)發(fā)生變化的。其變化的能量表達(dá)式如同式(2)。也就是說，當(dāng)光子以V=C運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于空間還是有熵效應(yīng)的,或者說還是有時(shí)間效應(yīng)的，只不過此時(shí)的光子處在二維空間內(nèi)，時(shí)間間隔也是二維空間下的時(shí)間，空間的能量子熵也是二維空間之下的熵。

借助式(26)和式(27)，將式(4)改寫為

(28)

在一維空間內(nèi)，粒子的運(yùn)動(dòng)只能在一維線空間之中震動(dòng)，且一維空間內(nèi)空間的熵或能量子混亂度S1x是二維空間內(nèi)空間的熵或混亂度S1yz微分，即

S1x=(S2yz)′

(29A)

同理,二維空間內(nèi)空間的熵或能量子混亂度S2yz是三維空間內(nèi)空間的熵或混亂度S3yz微分，即

S2yz=(S3xyz)′

(29B)

在二維空間內(nèi)，粒子的運(yùn)動(dòng)只能在二維面空間內(nèi)震動(dòng)，此時(shí)多粒子或能量子是能夠形成混亂度或進(jìn)行位置交換的，所以由式(24)可知，若粒子或空間能量子的諧振能量為E2yz，則對(duì)應(yīng)的熵為

S2yz=k2yzE2yz

(30)

式中:k2yz——比例常數(shù)。

對(duì)三維空間中的諧振子而言，若諧振子角頻率為ω，則有

V=Aω

(31)

式中:A——振幅或圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。

由式(31)和式(16)或式(26)可知,三維空間內(nèi)的能量子熵與能量關(guān)系為

(32)

借助式(31)可得：

(33)

考慮到空間能量子可以看做是連續(xù)的，則三維空間中的熵就是對(duì)二維空間中熵的積分，也就是二維空間中的熵是對(duì)三維空間的積分，所以有

S2yz=(S3xyz)′=ksmA2ω

(34)

令常數(shù)

(35)

則有

S2yz=hν

(36)

式(36)就是用熵所代表的式(2)的能量方程，也就是通過空間的熵效應(yīng)得出的愛因斯坦關(guān)于光子能量方程。上式推導(dǎo)也說明，正是因?yàn)榭臻g是量子化的，所以觀測者所在的坐標(biāo)系中空間的熵與運(yùn)動(dòng)物體所在空間的熵是不一致的，才導(dǎo)致了時(shí)間上的狹義相對(duì)論效應(yīng)，也就是說，相對(duì)觀測者而言，處在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的空間所對(duì)應(yīng)的空間中的熵，在觀測者看來，空間的能量子的熵發(fā)生了變化，所以導(dǎo)致了運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的時(shí)間間隔被拉長了。

由于一維空間中的熵是對(duì)二維空間中熵的微分，所以一維空間的熵為常數(shù)。而二維空間能量子的最小能量值，就是其在一維空間中的能量值。因此光子的能量最小值Emin由式(33)～式(36)和式(2)，也就是通過對(duì)式(36)兩側(cè)直接求導(dǎo)可知

Emin=h

(37)

由質(zhì)能關(guān)系式可知，光子的最小質(zhì)量為

(38)

將式(33)改寫為

(39)

令

ksT=2ksmA2π2

(40)

則有

(41)

由式(41)可知，空間中的時(shí)間間隔作為往復(fù)有序的周期現(xiàn)象，與空間中能量子的混亂度相互對(duì)應(yīng)。可以說空間的熵是空間中時(shí)間間隔取平方的倒數(shù)，或者說，空間中的時(shí)間間隔作為一個(gè)量子周期現(xiàn)象，它是空間熵效應(yīng)(空間混亂度)的倒數(shù)開方。

以上討論表明，光子的能量變化也是不連續(xù)的。由于光子靜止質(zhì)量在狹義相對(duì)論理論上只能為0，所以暗物質(zhì)只是按照狹義相對(duì)論而言，是不可見的。但空間量子化之后，光子的靜止質(zhì)量不為0，所以理論上我們會(huì)遇到暗物質(zhì)現(xiàn)象。

如果時(shí)間間隔Δt→∞，由式(41)可知，S→0。由此可知，狹義相對(duì)論中假設(shè)“光速在任意一個(gè)慣性系中是不變的”，其物理機(jī)制是由光速條件下空間的熵為0。熵作為標(biāo)量，在慣性系變化中始終為0，因此,光速在任意一個(gè)慣性系變換過程中，物理上就必然是始終保持不變的。

應(yīng)該注意的是，式(37)中的h量綱與式(2)中的h量綱是不同的，但數(shù)值是相同的。我們用hp代替式(37)中的h。則式(37)變?yōu)?/p>

Emin=hp

(42)

則式(13)變?yōu)?/p>

(43)

由此可知，光子的能級(jí)間隔是2hp。換而言之，光子的頻率變化也不是連續(xù)的，而是有能級(jí)間隔的。只不過這個(gè)能級(jí)間隔非常小，是普朗克常量的2倍。

3 光子靜止質(zhì)量或空間能量子不為0的重要意義

按照經(jīng)典理論，諧振子比如電子的最低能量可以是0，但量子理論給出的結(jié)論是，能量是不連續(xù)的，是有能級(jí)的，而且量子的最小能量也不是0。文中以此論證了光子按照狹義相對(duì)論，其靜止質(zhì)量必須為0，但通過熵原理，從理論上不僅能推導(dǎo)出愛因斯坦的光量子方程，還論證了光子的靜止質(zhì)量不為0，而且論證了以光速運(yùn)動(dòng)的空間其時(shí)間間隔也不是無限長而變得沒有時(shí)間間隔。文中在理論上論證光子的靜止質(zhì)量或最小質(zhì)量不為0，所以從理論上能夠推斷出暗物質(zhì)是空間的凍結(jié)，或大質(zhì)量星體(星系)對(duì)空間能量子的凍結(jié)。空間能量子相當(dāng)于光子的靜止質(zhì)量。空間能量子的速度只有與光速相同，光子才能以光速運(yùn)動(dòng)。如果空間能量子的速度小于光速，就是出現(xiàn)超光速的問題，這在狹義相對(duì)論中是不允許的。按照狹義相對(duì)論，光子的靜止質(zhì)量或空間能量子的質(zhì)量是0，光子的被加速到光速是不可能的。按照狹義相對(duì)論，光子的靜止質(zhì)量或空間能量子的能量必須是0。但從理論上，能量值為0的空間能量子或光子變?yōu)榘滴镔|(zhì)是不可思議的，因?yàn)檫@在邏輯上是可以無中生有的問題，是不可能發(fā)生的問題。而且光子的靜止質(zhì)量或空間能量子的質(zhì)量是0，引力場是無法形成的[4]。因此，只有光子的靜止質(zhì)量或空間能量子的質(zhì)量不為0，光子靜止質(zhì)量或空間能量子在引力場的作用下才能因?yàn)槟鄱纬砂滴镔|(zhì)。事實(shí)上，只有空間的能量子不為0，空間才能形成引力場。若傳播以光速傳播引力的引力子，其靜止質(zhì)量為0，一方面理論物理又得回到以太學(xué)說中去；另一方面就是式(2)中，當(dāng)光子能量轉(zhuǎn)化為電子的動(dòng)能時(shí)，光子是否真的變?yōu)殪o止了。因此光子能量量子化，具有非常重要的理論價(jià)值。

4 結(jié) 語

論述了狹義相對(duì)論中的時(shí)間相對(duì)論效應(yīng)，其實(shí)質(zhì)是空間能量子的熵效應(yīng)所導(dǎo)致的。對(duì)狹義相對(duì)論中光子和愛因斯坦在光量子方程中給出的光子表達(dá)式進(jìn)行了量子化，在此基礎(chǔ)上，論證了光子的靜止質(zhì)量不為0，從而為“暗物質(zhì)是空間能量子在引力的作用下導(dǎo)致的凍結(jié)”這一論斷提供了可靠的理論依據(jù)，因而對(duì)從事暗物質(zhì)的理論研究者以及具體實(shí)驗(yàn)的觀測者具有重要的理論參考價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張三慧.大學(xué)物理學(xué)[M].北京.清華大學(xué)出版社,2010.

[2] 吳大猷.相對(duì)論[M].北京:科學(xué)出版社,1983.

[3] 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,1984.

[4] 錢鳳儀.相互作用原理[M].長春:吉林科技出版社,1999.