三次B樣條有限體積元法

秦丹丹， 馮 雪， 申延成， 黃文竹

(1.空軍航空大學 基礎部， 吉林 長春 130022；2.貴州醫科大學 生物與工程學院， 貴州 貴陽 550025)

0 引 言

由于B樣條函數是對稱單峰值函數，并且具有光滑性好、緊支集等特點，在插值逼近和微分方程求解問題中有廣泛應用。B樣條函數的光滑性要優于Lagrange和Hermite型樣條函數，并且以B樣條為基函數的有限元空間只有一組基函數，而Lagrange和Hermite型有限元空間都是兩組基函數,因此，在微分方程的數值計算中，B樣條函數是值得研究的。以B樣條為基函數的有限體積元法生成的剛度矩陣是稀疏的，并且有對稱性和正定性，便于計算實現。可以說，B樣條有限體積元法兼具差分法和有限元法的優點。基于以上考慮，文中構造了三次B樣條有限體積元法。

1 B樣條的定義與性質

B樣條函數有多種定義方法，文中介紹兩種。文中m和n都是正整數。

Mm(x)=Mm[xj,xj+1,…,xj+m;x]=

稱Mm(x)為關于節點xj，xj+1，…，xj+m的m階m-1次B樣條函數[1]。

文中用到的等距B樣條函數與定義1有所不同，按照下面的遞推關系式給出。

定義2m階B樣條的卷積定義式[1-2]：

m≥2,

其中

由定義1和定義2得知，兩種定義之間可以相互轉化。

由定義2能夠推出m階B樣條的相關性質：

1)正定性與緊湊性，Sm(x)≥0，具有緊支集[0,m]；

2)分段光滑性，Sm(x)是一個分段m-1次多項式，Sm(x)∈Cm-2(-,)；

4)成立積分遞推式

及代數遞推式

其中，m=1,2,…。

B樣條還具有許多優良性質[2]。

根據定義2可以計算出三次B樣條的表達式：

2 基于B樣條的有限體積元法

考慮兩點邊值問題：

i=-3,-2,…,n-1。

為方便處理強加邊值條件，將前三個函數換成線性組合[3-5]：

6φ-3(x)，

φ-2(x)-4φ-3(x)，

同時將最后三個基函數也換成線性組合：

φn-2(x)-4φn-1(x)，

6φn-1(x)。

改換前后兩個空間是等價的。任一uh∈Uh可以表示成

其中，j=0,1,2,…,n。

a(uh,vh)=(f,vh),

?vh∈Vh。

a(u,v)是對稱正定的雙線性形式，變分形式有唯一解。

兩點邊值問題的積分守恒形式為:求uh∈Uh，使得

uh(xi)=ci-3φi-3(xi)+ci-2φi-2(xi)+

ci-1φi-1(xi)

需要指出，若用Hermite型三次元求解兩點邊值問題，剛度矩陣的帶寬為7，與三次B樣條有限元是一樣的。但Hermite型三次元在每個節點有兩個參數，B樣條有限元在每個節點只有一個參數(不計邊界以外的擴充點)，所以，若用相同的節點個數，兩種方法的系數矩陣階數之比約為2∶1，而二者的收斂階卻相同。從這點來看，B樣條有限元法更有優勢。

3 數值算例

取a=0，b=1，p=0，f(x)=4π2sin(2πx)，兩點邊值問題的精確解為u(x)=sin(2πx)。用MATLAB編程得到數據見表1。

表1 三次B樣條有限體積元法的誤差與收斂階

4 結 語

構造了基于三次B樣條的有限體積元法，該方法有很好的收斂性。在H1半模和L2模下，三次B樣條有限元法分別具有3階和4階收斂精度，三次B樣條有限元法具有最佳L2收斂階。我們發現B樣條有限元法與傳統有限元法一樣有較高的收斂階，還具有一些優于傳統有限元法的性質。

參考文獻：

[1] 孫家昶.樣條函數與計算幾何[M].北京：科學出版社，1982.

[2] 陳廣生.B樣條函數的一個性質[J].廣西科學，2008，15(4)：381-382.

[3] 石鐘慈.樣條有限元[J].計算數學，1979(1)：50-72.

[4] 梁旭彪,簡柏敦，倪光正.B樣條有限元[J].中國電機工程學報，1987(6)：11-22.

[5] 李榮華,馮果忱.微分方程數值解法[M].北京：高等教育出版社,1995.

[6] Ronghua Li， Zhongying Chen， Wei Wu. Generalized difference methods for differential equations [M]. [S.l.]: Marcel Dekker，Inc.，2000.

[7] Wang Tongke. High accuracy finite volume element method for two-point boundary value problem of second order ordinary differential equations [J]. Numer Math.， Journal of Chinese Univ.，2002，11(2):213-225.

[8] Z Cai. On the finite volume element method [J]. Numer. Math.,1990,58(1):713-735.

[9] Ronghua Li. Generalized difference methods for two point boundary value problems [J]. Acta Sci. Natur Univ. Jilin,1982(1):26-40.