巧解一個連接體問題

文 長沙市南雅中學K1601 李晟陽

連接體問題是力學中學生能力考查的重要內容。在學習斜面-滑塊組成的連接體問題時，我發現了一個有趣的結論，下面通過具體問題進行闡述。

一、問題的提出

圖1

問題1.如圖1所示，木楔M置于粗糙的水平地面上，一物塊以某一初速度沿斜面滑下時，物塊恰好保持勻速直線運動，整個過程中木楔始終保持靜止狀態。分析地面對木楔是否存在摩擦力。

滑塊除了受重力外，還受到斜面對滑塊的支持力和滑動摩擦力。滑塊在斜面上做勻速直線運動，斜面對滑塊的作用力與滑塊重力等大、反向，即斜面對滑塊的作用力（支持力和滑動摩擦力的合力）方向豎直向上，如圖2所示。根據牛頓第三定律可知，物塊對木楔的作用力始終豎直向下，地面對木楔沒有摩擦力。

圖2

上述分析過程運用了隔離法，依次以滑塊和木楔作為研究對象進行受力分析。由滑塊做勻速直線運動及木楔保持靜止可知兩者的加速度相同且為零，兩者視為一個整體，該整體所受的外力分別為豎直向下的重力和豎直向上的地面支持力，可得出地面對木楔沒有摩擦力。

問題2.在問題1的基礎上，若施加一個豎直平面內的作用力 在物塊上，如圖3所示，地面對木楔否存在摩擦力？

圖3

解決該問題通常的做法是分別對滑塊和木楔受力分析，再結合牛頓運動定律列出方程求解。但這種處理方法計算復雜，有沒有更簡潔的方法?

我認為可分析兩種特殊的受力情形。

二、兩種特殊受力情形

問題3.在問題1的基礎上，若作用在滑塊上的力豎直向下，如圖4所示，地面對木楔是否存在摩擦力?

圖4

這個問題的可從以下兩個方面考慮。

1.對滑塊受力分析，與問題1的分析類似，滑塊受力如圖5所示，建立直角坐標系，由牛頓第二定律列出方程組

圖5

其中 為物塊的質量， 為物塊與斜面間的動摩擦因數，

為斜面與水平面的夾角，1為施加在滑塊上的外力。根據已知條件及問題1得出 =tan ，代入上述方程組得滑塊的加速度為零，即滑塊仍然做勻速直線運動，再運用整體法得知地面與木楔之間沒有摩擦力。

2.設想在滑塊頂角上放置另一物體，根據問題1,其與滑塊構成的一個整體仍將做勻速直線運動，若此時該物體對滑塊的作用力恰好也為1，則滑塊的受力與問題3中情形完全相同，因此兩者的運動情況也相同，再由整體法同樣可以得出以上結論。

問題4.在問題1的基礎上，若作用在滑塊上力沿斜面向下，如圖6所示，地面對木楔又是否存在摩擦力?

圖6

滑塊所受外力2并沒有改變滑塊與斜面間的正壓力，因此兩者之間的摩擦力不變。若以木楔為研究對象，木楔此時的受力與問題1中的情況完全一樣，木楔與地面之間同樣沒有摩擦力。

三、問題的解決

在回答問題2之前，需要了解一下高中數學中有關平面向量（矢量）的知識。在平面內任意一個向量 都可以由兩個不共線的單位向量線性表示，即其中α，β為常數。

在力學中，力也是向量且滿足向量的基本性質，為使問題簡化，不妨設想問題3和問題4中的兩個外力為豎直平面內的一對單位力（向量），則任意豎直平面內的作用力都可表示為

理解為將外力兩個特殊的方向分解，分離大小分別為 ， 。

對問題3、問題4的分析可知存在時，地面對木楔沒有摩擦力的作用，于是問題2中在外力作用下，木楔與地面之間仍沒有摩擦力。

由此可以在問題1的基礎上得出這樣一個結論：當物塊與斜面之間的動摩擦因數滿足 =tan（ 為斜面傾角）時，只要滑塊沿斜面向下滑動，則無論作用在滑塊上的外力的大小和方向如何變化，木楔與地面之間始終沒有摩擦力。

本文通過對斜面-滑塊模型的研究得出的結論是從滑塊的兩種特殊受力情形出發，結合高中數學中的平面向量知識后總結分析出來的。該結論在解決相關的動力學問題時能有效減少物體的受力分析，降低該問題的復雜程度。