高低軌雙星時頻差無源定位精度

狄 慧，潘金波，張國強，趙慶廣

(1. 上海衛星工程研究所，上海 201109； 2. 上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引言

目標輻射源定位精度是評價無源定位算法的重要指標。傳統的衛星無源定位算法與采用的定位體制及衛星軌道高度密切相關，時頻差定位是常用的定位體制[1-2]。通常高軌定位精度相對較差，低軌定位精度在千米量級，要顯著提升定位精度，將會對載荷參數測量精度、星間同步，以及衛星的軌道、姿態控制精度提出較高的要求，短期內難以取得突破性進展。

高低軌聯合定位在定位精度方面的優勢逐漸被研究人員發現[3-5]。傳統的星座定位體制中，多顆衛星通常位于同一軌道或者軌道高度一致的不同軌道面。處于不同軌道高度的衛星在共視的前提下能夠提供較大的距離差，地面輻射源到達兩星的時差(TDOA)值較大，且由于軌道高度差異越大，兩星的運動速度差異越大，地面輻射源相對兩星的徑向速度差就越大，到達兩星的信號頻率差(FDOA)值較大。在相同的測量誤差條件下，參數值越大，測量誤差所占比例越小，誤差造成的影響越小。隨著兩星軌道高度差的增大，上述變化越顯著，定位精度大幅度提高。文獻[3]在分析低軌雙星時頻差定位、低軌三星時差定位的基礎上，給出了高低軌三星聯合時差定位、高低軌聯合時頻差定位結果。文獻[4]分析了太陽同步軌道高低軌雙星、地球同步軌道太陽同步軌道雙星、地球同步軌道準同步軌道雙星3種不同軌道高度組合對定位結果的影響。文獻[5]分析了高低軌雙星時頻差參數的時變特性及估計方法。上述高低軌聯合定位類文獻未具體分析雙星相對位置關系、參數測量精度、高低軌衛星位置速度精度等參數對定位結果的影響。本文主要分析高低軌雙星聯合定位系統。采用時頻差定位體制，分析高低軌雙星時頻差定位誤差分布理論公式，時頻差測量方法及能達到的理論精度，并通過仿真分析高低軌雙星位置關系(包括衛星軌道高度差、傾角差、相對位置)、載荷參數測量精度、衛星軌道位置、速度測量精度等因素對定位精度的影響，為工程實現提供理論依據。

1 高低軌雙星時頻差定位原理

針對“地面”固定目標輻射源，可假設高程已知，即位于一個半徑確定的球面上，顯然在地球表面用WGS-84模型來描述相對正球面更精確，但得出的方法和結論和用正球面很相近。為簡化運算，文中采用正球面模型，地心坐標系，高軌衛星選擇地球靜止軌道。設地面輻射源目標位于[xyz]T，正球體地球模型半徑為R，在輻射源位置有以下方程成立

x2+y2+z2=R2

(1)

通常情況下，衛星自身的位置、速度均能通過GPS或航天測控等系統測定。高軌衛星s1測定得坐標[x1y1z1]T，低軌衛星s2測定得坐標[x2y2z2]T，運動速度分別為：v1=[vx1vy1vz1]T，v2=[vx2vy2vz2]T，靜止軌道衛星排除軌道涉動因素近似靜止，即v1≈[0 0 0]T。地面輻射源至衛星的距離為

(2)

對式(1)微分，地面輻射源相對兩星的徑向速度為

(3)

時差和頻差(徑向速度差)方程為

(4)

式中：Δr為信號到2顆衛星的波程差；c為光速；Δt為信號到達2顆衛星的時差；Δvr為目標相對2顆衛星的徑向速度差；Δfd為多普勒頻差；λ為波長。

聯立式(1)和式(4)，采用數值解或者解析均可得到輻射源位置坐標[xyz]T，實現高低軌雙星時頻差無源定位[6-8]。

2 高低軌雙星時頻差定位誤差分析

雙星時頻差定位中，影響定位精度的誤差量主要有時差估計誤差dΔt、頻差估計誤差dfd以及各個衛星位置測量誤差[dxidyidzi]T(i=1，2)、低軌衛星速度的測量誤差[dvxdvydvz]T。對式(4)中第1個方程在目標坐標位置[xyz]T處進行微分，可得

(gx1-gx2)dx+(gy1-gy2)dy+(gz1-gz2)dz=

dΔr+(gx1dx1-gx2dx2)+

(gy1dy1-gy2dy2)+(gz1dz1-gz2dz2)

(5)

(cx1-cx2)dx+(cy1-cy2)dy+(cz1-cz2)dz=

dΔvr+(cx1dx1-cx2dx2)+(cy1dy1-cy2dy2)+

(cz1dz1-cz2dz2)+(gx1-gx2)dvx+(gy1-gy2)

dvy+(gz1-gz2)dvz

(6)

將式(1)在目標點[xyz]T處進行微分運算，可得

xdx+ydy+zdz=RdH

(7)

式中：dH為目標輻射源的高程誤差，dH=dR。可以把式(5)～(7)寫成矩陣的形式為

Cds=dz+u·ds1-v·ds2+w·dv

(8)

式中：

RS= E[dsdsT]=C-1(RZ+uRS1uT+

vRS2vT+wRvwT)(C-1)T

(9)

定位誤差分布(geometric dilution of precision，GDOP)為

(10)

式中：tr(RS)為矩陣RS的跡。

3 時頻差測量方法及精度分析

3.1 時頻差測量方法

估計輻射源信號到達高低軌衛星的時差和頻差，常用的方法是通過星間鏈路將其中1顆衛星采集的數據傳遞到另一顆衛星，或者2顆衛星都將采集的數據下傳至地面。采用互模糊函數法估計時差和頻差[9-12]。

設高低軌2個衛星接收機X和Y接收到的信號分別為

(11)

式中：s(t)為地面輻射源目標信號；A，Δt，Δfd分別為接收機Y相對于X接收到目標信號的相對幅度、時差以及頻差；nx(t)，ny(t)為均值為0的白高斯噪聲，且相互獨立。

接收信號x(t)和y(t)的互模糊函數定義為

(12)

式中：T為積分時間。對接收信號以采樣頻率fs(采樣周期T=1/fs)進行離散化，令τ=mTs，N=T/Ts，f=kfs/N，則互模糊函數離散形式為

(13)

通過搜尋|R(m,k)|的最大值可以估計出時差和頻差。互模糊函數法時頻差估計是一個二維的運算和搜索過程。為了達到要求的參數估計精度，數據積累長度通常在幾百毫秒以上。

在高、低軌雙星定位系統中，參數變化范圍大，這給相關處理和峰值搜索帶來了巨大的運算量。由于目標信號具有突發性和時短特性，必須提高處理速度，達到準實時的定位。

3.2 時頻差測量誤差

根據信號理論，時差、頻差測量的標準誤差下限[13]為

(14)

式中：B為信號帶寬；Bn為接收機噪聲帶寬；T為信號積累時間；γ為測量系統信噪比，有

(15)

式中：γ1，γ2分別為兩路接收信號的輸入信噪比。

4 仿真驗證及結果分析

以地心為原點，地心至靜止軌道衛星連線為Z軸方向，東經方向為X軸方向，北緯方向為Y軸方向建立坐標系進行仿真分析。

4.1 雙星相對位置對定位精度的影響

設置仿真1分析雙星之間相對位置對定位精度的影響。相對位置關系影響因素主要有：軌道高度差、軌道傾角差。當軌道高度和軌道傾角確定后，在運行過程中雙星的相對位置隨著時間的推移而時刻變化。從這三個方面分別設置仿真1-1，1-2，1-3對定位精度分別進行分析。

仿真1-1 軌道確定，不同時刻定位精度對比。仿真條件如下。

1) 低軌衛星位于軌道高度HL為600 km；

2) 低軌衛星軌道傾角i為0°；

3) 時差測量精度σΔt為100 ns；

4) 頻率差測量精度σΔfd為10 Hz，以信號載頻6 GHz為例，對應速度差測量精度為0.5 m/s；

5) 低軌衛星位置測量精度σL為10 m，速度測量精度σvL為0.1 m/s，高軌衛星位置測量精度σH為100 m；

6) 仿真時刻為低軌衛星在高軌衛星正下方，即低軌衛星和地心連線與高軌衛星和地心連線夾角α為0°。GDOP仿真結果如圖1所示。

圖1 高低軌雙星時頻差定位誤差分布圖Fig.1 GDOP of high and low orbit dual-satellite geolocation by using TDOA and FDOA

低軌衛星從靜止軌道衛星下方飄過，沿X軸正向運動，根據低軌衛星與地心連線和高軌衛星連線夾角不同進行仿真，將第6項低軌衛星和地心連線與高軌衛星和地心連線夾角設置為30°時，高低軌雙星時頻差定位結果仿真如圖2所示。

圖2 高低軌雙星時頻差定位誤差分布圖(α=30°)Fig.2 GDOP of high and low orbit dual-satellite geolocation by using TDOA and FDOA (α=30°)

仿真結果表明：低軌衛星在高軌衛星下方時定位精度最優，隨著低軌衛星的運動，低軌衛星與地心連線和高軌衛星與地心連線的夾角逐漸增大，最優精度定位區域逐漸縮小，高軌衛星一側定位精度相對較高，另一側受地球曲率的影響定位精度加速變差。

仿真1-2 軌道傾角及仿真時刻確定，低軌衛星不同軌道高度的定位精度對比。仿真條件相比仿真1-1，僅第1項低軌衛星軌道高度HL設置為1 200 km，其余相同。圖3給出仿真結果。

圖3 高低軌雙星時頻差定位誤差分布圖(HL=1 200 km)Fig.3 GDOP of high and low orbit dual-satellite geolocation by using TDOA and FDOA (HL=1 200 km)

將圖3對照圖1，仿真結果表明：高低軌衛星的軌道高度差越大，定位精度越高，即低軌衛星的高度低有利于高精度定位。但在天線性能一定的情況下，低軌道帶來覆蓋區域小問題，降低了衛星效率，需綜合考慮定位精度和覆蓋區域因素設計低軌衛星高度。

仿真1-3 低軌衛星軌道高度及仿真時刻確定，低軌衛星不同軌道傾角的定位精度對比。仿真條件相比仿真1-1，僅第2項低軌衛星軌道傾角i設置為30°，其余相同，GDOP如圖4所示。

圖4 高低軌雙星時頻差定位誤差分布圖(i=30°)Fig.4 GDOP of high and low orbit dual-satellite geolocation by using TDOA and FDOA (i=30°)

對照圖4和圖1，可以看出，高低軌雙星時頻差定位在低軌衛星速度方向及其延長線上定位精度較差，存在定位盲區。

4.2 參數測量精度對定位精度的影響

設置仿真2分析參數測量對定位精度的影響。高低軌聯合雙星時頻差定位涉及到的測量參數主要是輻射源到達兩星的時差和頻差，從這兩個方面分別設置仿真2-1，2-2進行分析。

仿真2-1 高低軌衛星相對位置以及頻差測量精度確定，不同時差估計精度對比。仿真條件相比仿真1-1，僅第3項時差測量精度σΔt設置為500 ns，其余相同，仿真結果如圖5所示。

圖5 高低軌雙星時頻差定位誤差分布圖(σΔt=500 ns)Fig.5 GDOP of high and low orbit dual-satellite geolocation by using TDOA and FDOA (σΔt=500 ns)

仿真2-2 高低軌衛星相對位置以及時差測量精度確定，不同頻差估計精度對比。仿真條件相比仿真1-1，僅第4項頻率差測量精度σΔfd設置為50 Hz，其余相同，以信號載頻6 GHz為例，對應速度差測量精度2.5 m/s，仿真結果如圖6所示。

圖6 高低軌雙星時頻差定位誤差分布圖(σΔfd=50 Hz)Fig.6 GDOP of high and low orbit dual-satellite geolocation by using TDOA and FDOA (σΔfd=50 Hz)

分別將圖5、圖6與圖1對照，可以看出，和同軌雙星時頻差定位相同，頻差的測量精度對定位結果影響較大，必須重點控制頻差參數的測量精度。表1中列出了低軌衛星星下點±2 000 km范圍內，不同定位精度對應的時頻差測量精度。

表1 低軌星下點±2 000 km范圍內不同定位精度對應的時頻差估計精度

4.3 衛星位置、速度測量精度對定位精度的影響

設置仿真3分析衛星位置、速度測量精度對定位精度的影響。衛星的位置、速度測量精度主要受目前測定軌能力限制，低軌衛星利用導航系統測定軌精度相對較高，靜止軌道衛星由于非標稱軌道引起的軌道細微變化會對測定軌帶來不小的誤差。

仿真3 高低軌衛星的相對位置以及參數測量精度確定，衛星不同測定軌精度對比。仿真條件相比仿真1-1，僅第5項低軌衛星位置測量精度設置為20 m，速度測量精度設置為0.2 m/s，高軌衛星位置測量精度設置為200 m，其余相同，仿真結果如圖7所示。

圖7 高低軌雙星時頻差定位誤差分布圖 (σL=20 m，σvL=0.2 m/s，σH=200 m)Fig.7 GDOP of high and low orbit dual-satellite geolocation by using TDOA and FDOA (σL=20 m，σvL=0.2 m/s， σH=200 m)

對比圖1和圖7，在目前的衛星自身定位及測速精度[14]下，對定位精度的影響不大。

5 結論

本文分析了高低軌衛星無源定位精度相對同軌衛星定位精度大幅提高的原理，從理論推導和仿真驗證兩方面研究了高低軌雙星時頻差定位精度的影響因素。在高軌地球同步軌道定點位置選擇時，參照仿真1-1兩星相對衛星關系影響結果，高軌星下點區域(除去低軌衛星運動軌跡星下點部分)定位精度較高，高軌衛星應定點在關注區域。在設計低軌軌道時，也應充分考慮兩星相對位置導致定位精度的變化，使定位精度優的位置覆蓋在關注區域；依據仿真1-2低軌衛星不同軌道高度對比結果，定位精度和低軌衛星軌道高度成反比，而衛星覆蓋區域和軌道高度成正比，低軌衛星的軌道高度設計必須統籌考慮衛星覆蓋范圍和定位精度；參照仿真1-3低軌衛星有一定傾角結果，低軌衛星的傾角設計除考慮遍歷性外還應關注縮短盲區覆蓋區域時間。根據仿真2-1和2-2中系統時頻差參數估計精度對定位精度的影響結果，按照目前載荷達到的時頻差參數估計精度，可以進行系統指標分解，以此約束高低軌之間時統、頻統精度，根據影響顯著性，重點關注頻差參數估計和雙星間頻率統一精度。仿真3中高低軌衛星位置、速度估計誤差對定位精度的影響亦能反推對地面測控或導航衛星的定軌精度。分析結果可為工程應用提供參考依據。

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