永磁同步電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

蘇偉杰，張 軍，張 波，王厚浩，陶 鍵

(上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109)

0 引言

電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)中存在齒輪、滾珠絲桿等傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，且系統(tǒng)中包含大量非線性因素[1]，因此傳統(tǒng)的比例-積分-微分(PID)控制器在控制性能方面存在明顯缺陷。將滑模變結(jié)構(gòu)控制與矢量控制相結(jié)合可克服永磁同步電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)中存在的參數(shù)擾動(dòng)、外部負(fù)載擾動(dòng)和驅(qū)動(dòng)飽和、電流耦合等影響[2]，從而提升永磁同步電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)的魯棒性，提高控制系統(tǒng)性能。與傳統(tǒng)的無刷直流電動(dòng)舵機(jī)伺服系統(tǒng)相比，永磁同步電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)在控制方式上具有突出優(yōu)勢。無刷直流電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)[3]往往采用位置-電流雙閉環(huán)控制[6]，同時(shí)利用舵機(jī)上的電位器采樣獲得位置信息進(jìn)行微分，構(gòu)成“偽速度環(huán)”，因此控制系統(tǒng)存在明顯的速度環(huán)滯后現(xiàn)象。永磁同步電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)[7]采用位置-速度-電流三閉環(huán)的矢量控制方式，在id=0的控制模式下，不僅模擬了無刷直流系統(tǒng)的控制性能，且因速度信息由旋轉(zhuǎn)變壓器直接獲得，故速度環(huán)滯后現(xiàn)象得以克服。然而，受旋轉(zhuǎn)變壓器采樣精度的限制(例如最小識(shí)別量為30 r/min)，實(shí)際系統(tǒng)在低速狀態(tài)下獲得的速度信息并不準(zhǔn)確，容易出現(xiàn)隨機(jī)抖動(dòng)。特別是對(duì)傳統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)算法而言，滑模態(tài)趨近于原點(diǎn)時(shí)，抖振更加明顯。雖然目前改進(jìn)的變結(jié)構(gòu)控制器在削弱抖振方面取得了較好效果，但抖振劇烈的問題并未得到徹底、有效的解決。在今后較長一段時(shí)間內(nèi)，抖振問題仍將是電動(dòng)舵機(jī)變結(jié)構(gòu)控制研究的重點(diǎn)，以及制約變結(jié)構(gòu)控制算法工程應(yīng)用的主要因素。智能控制算法與變結(jié)構(gòu)控制相結(jié)合的復(fù)合控制方法，利用先進(jìn)的控制理論可有效削弱系統(tǒng)抖振，但該方法算法復(fù)雜，工程實(shí)現(xiàn)難度大。飽和函數(shù)方法在解決抖振問題時(shí)，存在較難向高階系統(tǒng)擴(kuò)展的問題。利用趨近律方法可設(shè)計(jì)簡單且易于實(shí)現(xiàn)的變結(jié)構(gòu)控制器，盡管該方法得到廣泛應(yīng)用并取得豐碩成果，但仍未解決抖振問題。因此，本文針對(duì)滑模態(tài)原點(diǎn)附近的抖振情況，改進(jìn)了基于變趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)算法。同時(shí)，將滑模控制末端與PID控制算法相結(jié)合設(shè)計(jì)了新的組合控制器。這種設(shè)計(jì)思路既可最大程度地發(fā)揮滑模變結(jié)構(gòu)控制的快速性與魯棒性，又可利用PID控制的優(yōu)勢減小系統(tǒng)最后的抖振，且算法設(shè)計(jì)簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)。在低速狀態(tài)下，速度信息的獲取仍采用無刷直流系統(tǒng)的方式，通過對(duì)位置信息進(jìn)行微分獲得，保證了低速狀態(tài)下速度信息的準(zhǔn)確性。

1 永磁同步電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)模型

在永磁同步電機(jī)矢量控制系統(tǒng)建模分析中，d-q同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型最為常見。通常將d軸定義在轉(zhuǎn)子的N極上，因此，在d-q同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型可表示為

(1)

式中：ud，uq為定子d，q軸電壓分量；id，iq為定子d，q軸電流分量；ω為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；Rs為定子繞組電阻；Ld，Lq為定子繞組d，q軸電感分量；ψf為轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈；np為極對(duì)數(shù)；F為轉(zhuǎn)子摩擦系數(shù)；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；TL為負(fù)載力矩。

圖1 永磁同步電動(dòng)舵機(jī)控制原理框圖Fig.1 Principle diagram of permanent magnet synchronous motor servo

2 滑模變結(jié)構(gòu)控制基本原理

滑模變結(jié)構(gòu)控制與常規(guī)控制的根本區(qū)別在于控制的不連續(xù)性。該控制特性可迫使系統(tǒng)做“滑模”運(yùn)動(dòng)，即在一定特性下沿滑模面做小幅度、高頻率的上下運(yùn)動(dòng)。這種滑模運(yùn)動(dòng)與系統(tǒng)參數(shù)及擾動(dòng)無關(guān)，具有很強(qiáng)的魯棒性[10]。

(2)

式中：s(x)為切換函數(shù)；u+(x)，u-(x)分別為滑模面兩側(cè)的控制量。

圖2 滑模變結(jié)構(gòu)控制的兩個(gè)階段Fig.2 Two phases of sliding mode variable structure control

控制律u的任務(wù)是使相軌跡先運(yùn)動(dòng)到滑模上，再沿滑模面運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)。實(shí)際滑動(dòng)模態(tài)的相軌跡如圖3所示，這是出現(xiàn)了抖振的情況。因?qū)嶋H控制對(duì)象具有慣性和延時(shí)特性，相軌跡總會(huì)穿過切換面，之后又被迅速拉回來，故形成了沿著切換面的高頻抖振[10]。這種抖振反映在位置輸出上為在平衡位置附近的高頻抖振。在設(shè)計(jì)滑模變結(jié)構(gòu)控制器時(shí)，要在保證系統(tǒng)控制品質(zhì)的前提下，盡量削弱抖振。

圖3 實(shí)際滑動(dòng)模態(tài)Fig.3 Real sliding mode

3 滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)永磁同步電機(jī)id=0矢量控制方程(電磁轉(zhuǎn)矩運(yùn)動(dòng)方程)，可得永磁同步電機(jī)矢量控制系統(tǒng)簡化框圖，如圖4所示。其中，力矩線性增益Kt=1.5npψf，電磁轉(zhuǎn)矩Te=Ktiq，ωr為轉(zhuǎn)速指令。

圖4 永磁同步電機(jī)矢量控制系統(tǒng)簡化框圖Fig.4 Simplified block diagram of permanent magnet synchronous motor vector control system

由圖4可得永磁同步電機(jī)位置伺服系統(tǒng)簡化方程為

(3)

(4)

3.1 基于指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

令永磁同步電機(jī)的位置跟蹤誤差為

e=θr(t)-θf(t)

(5)

對(duì)式(5)求導(dǎo)可得速度跟蹤誤差表達(dá)式為

(6)

選擇滑模面

(7)

εsgn(s)+ks],ε>0,k>0

(8)

在選定切換面和滑模控制律后，針對(duì)滑模控制器選用李亞普諾夫函數(shù)V=0.5s2來證明滑模平面穩(wěn)定存在滑動(dòng)模態(tài)。對(duì)李亞普諾夫函數(shù)求導(dǎo)得

s[-ε|e|sgn(s)-ks-M(t)]≤

|M(t)||s|-ε|e||s|≤0

(9)

由此可見，上述設(shè)計(jì)的滑模變結(jié)構(gòu)控制器能滿足要求。

3.2 滑模變結(jié)構(gòu)控制器改進(jìn)與優(yōu)化

滑模控制律u的作用是將系統(tǒng)跟蹤狀態(tài)維持在滑模面附近，但同時(shí)也在滑模面附近產(chǎn)生了高頻抖振。由式(8)可知，切換控制增益k的取值確保控制律能夠忽略不確定項(xiàng)的影響，但k取值越大，隨之產(chǎn)生的抖振就越大。因此，控制器往往存在快速性能與抖振不能兼顧的問題。如何在保證快速性的同時(shí)，又能抑制系統(tǒng)抖振的產(chǎn)生，一直是滑模變結(jié)構(gòu)控制研究的熱點(diǎn)問題。

針對(duì)這一問題，學(xué)者們提出了各種改進(jìn)方法，其中較常采用的有兩種[11]：一種是通過優(yōu)化算法，對(duì)滑模變結(jié)構(gòu)算法本身進(jìn)行改進(jìn)，例如對(duì)符號(hào)函數(shù)的連續(xù)化改進(jìn)、指數(shù)趨近律的分段趨近[12]、利用參數(shù)估計(jì)和擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)确椒ㄌ岣呖刂屏康木萚13]等；另一種是將不同的控制策略結(jié)合起來，在充分發(fā)揮滑模變結(jié)構(gòu)控制強(qiáng)魯棒性，對(duì)擾動(dòng)的系統(tǒng)響應(yīng)和調(diào)整速度快等優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，利用其他控制方法來消除滑模變結(jié)構(gòu)控制本身所固有的抖振[13]，減小靜差，實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢互補(bǔ)。目前，與滑模變結(jié)構(gòu)相結(jié)合應(yīng)用于PMSM控制系統(tǒng)的控制策略主要有模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模型參考自適應(yīng)控制、PID控制，遺傳算法控制等。

結(jié)合以上兩種方式，本文將變指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)與位置-速度環(huán)PID算法相結(jié)合，對(duì)控制器進(jìn)行改進(jìn)與優(yōu)化。兩種方式取長補(bǔ)短，當(dāng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器將系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定于滑模面附近時(shí)，進(jìn)入PID控制器，使控制系統(tǒng)在保證魯棒性的同時(shí)實(shí)現(xiàn)無超調(diào)、無靜差的控制性能。

1) 利用變指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)改善滑模變結(jié)構(gòu)控制器的快速性

為彌補(bǔ)指數(shù)趨近律自身的缺陷，在減小滑模抖振的同時(shí)，提升滑模態(tài)初期趨近速度，設(shè)計(jì)了一種新的指數(shù)趨近律，即變指數(shù)趨近律，其形式為

(10)

式中：η=ε|e|為同誤差成正比的可變量。取相應(yīng)的控制律為

ηsgn(s)+ks],ε>0,k>0

(11)

由式(10)分析可知：新設(shè)計(jì)的趨近律使系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)在距離滑模面較遠(yuǎn)時(shí)，以較快的速率快速趨向滑模面，保證了系統(tǒng)的快速響應(yīng)特性；而當(dāng)其接近滑模面時(shí)，-ηsgn(s)趨近于零，抖振減小。為進(jìn)一步改善系統(tǒng)的快速性，對(duì)變指數(shù)趨近律的滑模增益ε進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，即

(12)

式中：m為與實(shí)際系統(tǒng)相關(guān)的常量。

由式(12)可知，新的滑模增益可隨位置誤差信號(hào)的變化而調(diào)整。

2) 利用基于末端PID的合控制器抑制滑模抖振

為增強(qiáng)系統(tǒng)的控制精度，減少系統(tǒng)位置跟蹤的超調(diào)與靜差，考慮在控制過程的末端引入PID控制。當(dāng)位置誤差較小時(shí)(|e|≤0.01)，系統(tǒng)由變指數(shù)趨近律滑模控制器切換到PID控制器進(jìn)行控制。新的組合控制器如圖5所示，控制器輸入為舵偏角指令與反饋的偏差，輸出為電流環(huán)給定，滑模控制模塊與PID控制模塊由舵偏角偏差量進(jìn)行控制切換。

4 仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證控制器的性能，本文利用SIMULINK工具箱搭建永磁同步電動(dòng)舵機(jī)控制系統(tǒng)模型，利用S函數(shù)對(duì)滑模變結(jié)構(gòu)控制器及組合控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)仿真。仿真中采用的永磁同步電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)參數(shù)為：Rs=2.875 Ω，Ld=Lq=8.5 mH，ψf=0.175 Wb，J=0.0 008 kg·m2，F(xiàn)=0.1 mN·m·s，np=2，額定轉(zhuǎn)速5 000 r/min，傳動(dòng)比1∶100。控制器參數(shù)可根據(jù)具體仿真情況調(diào)整。

為驗(yàn)證組合控制器的效果，對(duì)指數(shù)趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制器與組合控制器進(jìn)行仿真，仿真波形如圖6～8所示，其中在0.1 s時(shí)刻給定30°的階躍舵偏角指令。

圖5 組合控制器示意圖Fig.5 Schematic diagram of combination controller

圖6 指數(shù)趨近律控制器仿真波形Fig.6 Simulation of exponential reaching law controller

圖7 指數(shù)趨近律控制器和組合控制器對(duì)比圖(k=1 000)

圖8 組合控制器的轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速和電流抖振(k=1 000)Fig.8 Torque, speed and current chattering of combination controller(k=1 000)

圖6為基于指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制器仿真波形。由圖6可知，隨著控制器切換控制增益k值增大，系統(tǒng)的超調(diào)和抖振都將增大，且跟蹤快速性并未顯著提高，因此一味地增大k值并不能提高系統(tǒng)性能。

圖7為基于指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制器仿真波形與基于變指數(shù)趨近律的PID組合控制器仿真波形的對(duì)比圖。由圖7可知，與指數(shù)趨近律控制器相比，組合控制器靜差小，位置跟蹤穩(wěn)態(tài)基本無抖振。

圖8為基于指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制器與基于變指數(shù)趨近律的PID組合控制器輸出的轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速和電流曲線。由圖8可知，組合控制器對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的抖振有很好的抑制效果，提高了舵系統(tǒng)的控制精度與穩(wěn)態(tài)性能。

5 結(jié)束語

滑模變結(jié)構(gòu)控制中的抖振抑制問題歷來是滑模變結(jié)構(gòu)控制的研究重點(diǎn)，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)相關(guān)算法做了許多改進(jìn)并取得了不少研究成果。但這些算法或多或少存在著算法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜、控制條件苛刻等問題，不易于工程應(yīng)用。本文針對(duì)永磁同步電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了基于變指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制與PID控制相結(jié)合的組合舵偏角控制器，抑制了指數(shù)趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制器在滑模面附近的高頻抖振。仿真結(jié)果表明：組合控制器將系統(tǒng)靜差減小了85%并基本消除了滑模末端的抖振。與改進(jìn)前的控制器相比，組合控制器具有較強(qiáng)的魯棒性與快速性，設(shè)計(jì)簡單，便于后期導(dǎo)彈舵機(jī)系統(tǒng)DSP、FPGA的算法實(shí)現(xiàn)，具有較強(qiáng)的工程實(shí)踐性。因?qū)嶋H系統(tǒng)存在不確定性，故具體控制參數(shù)的調(diào)試仍依賴于舵機(jī)系統(tǒng)電機(jī)的選型與舵機(jī)結(jié)構(gòu)、傳動(dòng)比的設(shè)計(jì)。

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