一類平面分段光滑線性Hamilton系統在多項式擾動下的極限環個數

程振峰，李寶毅，張永康

（天津師范大學數學科學學院，天津300387）

1 引言和主要結果

分段光滑線性系統廣泛應用于機械學、電子工程學和自動化理論等領域.為了估計2個區域的分段光滑線性Hamilton系統在擾動下的極限環個數，文獻[1]證明了焦點-焦點型、焦點-拋物型和拋物-拋物型的分段線性系統至少存在2個極限環.文獻[2]研究了分段多項式系統

其中：b±＞0；和為任意n次多項式.證明了該系統最多存在n個極限環.文獻[3]研究了分段光滑線性系統

其中和為任意n次多項式.證明了該系統至少存在n+[（n+1）/2]個極限環.文獻[4-5]分別構造了2種分段光滑二次系統，并證明了系統至少Hopf分支出5個和9個極限環.

本文研究分段光滑近Hamilton系統

其中：a、b、c∈R+；x0∈R；0 ＜ ε?1；n∈N+；

當ε=0時，（1）0的分段Hamilton函數為

其中：；h-∈R-.此時分段光滑Hamilton系統（1）0存在逆時針走向的周期閉軌族，

由于H+（x，y）關于x軸對稱，故可設與負y軸的交點為A（0，-u），與正y軸的交點為A1（0，u），其中u=.對應的，故與正y軸的交點為A1（0，u），與負y軸的交點為 A（0，-u）.本文得到如下定理.

定理當x0=0時，系統（1）ε極限環個數的上界為n+[（n+1）/2]；當x0≠0時，系統（1）ε極限環個數的上界為n-1+2[（n+1）/2].

2 一階Melnikov函數

設H+（x，y）=-v2，其中.設 α =arccos（-x0/av），則的參數方程可設為

設的參數方程為

引理1[6]系統（1）ε的一階Melnikov函數為

證明顯然K0=2α，K1=2sin α=2u/v，則

整理可得Km+2=（m+1）Km/（m+2）+2u（-x0）m+1/（（m+2）am+1·vm+2）.證畢.

命題1設ξ=[n/2]，η=[（n-1）/2]，當x≥0時，系統（1）ε的 Melnikov函數為

其中和分別表示關于v2的系數獨立的ξ和η次多項式.

所以

使用數學歸納法.當n=1時，

易知兩項系數獨立，滿足命題1的結論.當n=2時，考慮增加項，有

其中兩項系數獨立，滿足命題1的結論.

假設當n=2k（k∈N*）時結論成立，則當n=2k+1時，有

所以增加項為Av2k+2α，即當n=2k+1時命題1成立.

假設當n=2k+1（k∈N*）時結論成立，則當n=2k+2時，有

命題2當x＜0時，系統（1）ε的Melnikov函數為，其中為系數獨立的u2的n次多項式，n∈N*.

設，則有

因為 3≤2i+（j+1）+1≤2i+2j+1=2n+1，所以

其中fn（u2）是關于u2的n次多項式，且n≥1.

命題2得證.

3 定理的證明

由引理1、命題1和命題2可得系統（1）ε的一階Melnikov函數為

令，則

當x0=0時，α=π/2，因此M1（h）=u（Fn（u2）+uGη（u2）·π/2）.因為u＞0，所以M1（h）=0等價于Fn（u2）+uGη（u2）·π/2=0，設

當x0≠0時，M1（h）=0等價于

式（2）對u求導，整理后可得

其中：.上面方程至多有n+η+1=n+[（n+1）/2]個零點.注意到式（2）右端分母至多有η個正零點，由文獻[8]可得M1（h）至多存在n+2[（n+1）/2]個正零點.由于u＞0，且當u=0時M1（h）=0，所以M1（h）正零點個數的上界是n+2[（n+1）/2]-1.故當x0≠0時系統（1）ε極限環個數的上界是n+2[（n+1）/2]-1.

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