索賠額服從混合指數(shù)分布的一類(lèi)期望折現(xiàn)罰金函數(shù)

邵晶晶，王秀蓮，鄒 華

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程可表示為

期望折現(xiàn)罰金函數(shù)定義為

其中：δ≥0為折現(xiàn)因子；τ為破產(chǎn)發(fā)生的時(shí)刻；X（τ-）為破產(chǎn)時(shí)刻之前的盈余；|X（τ）|為破產(chǎn)時(shí)的赤字；I{·}為示性函數(shù)；w（X（τ-），|X（τ）|）是一個(gè)罰金函數(shù)，依賴于破產(chǎn)前的盈余和破產(chǎn)時(shí)的赤字，一般設(shè)w（·，·）為在[0，+∞）×[0，+∞）上的非負(fù)可測(cè)函數(shù).

針對(duì)不同的情況，罰金函數(shù)可以選擇不同的形式，如文獻(xiàn)[1]研究了罰金函數(shù)為指數(shù)形式的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)；文獻(xiàn)[2]研究了罰金函數(shù)為w（U（T））的期望折現(xiàn)罰金函數(shù).通常情況下，當(dāng)保險(xiǎn)公司盈余首次為負(fù)值時(shí)，即認(rèn)為公司破產(chǎn)[3].對(duì)于這種破產(chǎn)情形，相關(guān)文獻(xiàn)得到了很多有價(jià)值的結(jié)果.文獻(xiàn)[4]研究了索賠時(shí)間間隔為相位分布的期望折現(xiàn)罰金函數(shù).文獻(xiàn)[5]研究了帶干擾的有2個(gè)泊松過(guò)程的破產(chǎn)概率.文獻(xiàn)[6]研究了索賠時(shí)間間隔為相位分布的破產(chǎn)概率.在保險(xiǎn)公司的實(shí)際運(yùn)營(yíng)過(guò)程中，當(dāng)公司資產(chǎn)為負(fù)值時(shí)，不一定會(huì)發(fā)生破產(chǎn)，公司可以通過(guò)采取某些措施解決臨時(shí)的資金問(wèn)題，直到公司發(fā)生實(shí)質(zhì)破產(chǎn).實(shí)質(zhì)破產(chǎn)由Albrecher等[7]于2011年首次提出.關(guān)于實(shí)質(zhì)破產(chǎn)模型，文獻(xiàn)[8]研究了索賠額服從指數(shù)分布的破產(chǎn)概率，文獻(xiàn)[9]研究了索賠時(shí)間間隔為混合指數(shù)分布的期望折現(xiàn)罰金函數(shù).

本文在罰金函數(shù)僅與赤字有關(guān)的條件下，考慮索賠額服從混合指數(shù)分布時(shí)常數(shù)實(shí)質(zhì)破產(chǎn)率情況下的期望折現(xiàn)罰金函數(shù).

1 期望折現(xiàn)罰金函數(shù)的積分微分方程

在實(shí)質(zhì)破產(chǎn)情況下，由于公司的盈余可以為負(fù)值，因此考慮罰金函數(shù)僅與赤字有關(guān)，定義期望折現(xiàn)罰金函數(shù)為

其中τ為實(shí)質(zhì)破產(chǎn)發(fā)生的時(shí)刻.

考慮在很小的時(shí)間區(qū)間（0，h）內(nèi)，以是否有索賠發(fā)生或發(fā)生實(shí)質(zhì)性破產(chǎn)為條件，時(shí)間為h時(shí)，第一次索賠或?qū)嵸|(zhì)破產(chǎn)同時(shí)發(fā)生的概率是高階無(wú)窮小.因此由全概率公式有

在式（3）中令 x=0，并令 h→0，可得 φ（x）在 x=0處右連續(xù)，在式（4）中令 x=-ch，并令 h→0，有 φ（x）在x=0處左連續(xù)，即

因此?x∈R，φ（x）連續(xù).式（3）和式（4）關(guān)于 h 求導(dǎo)，并令h→0，有

其中為 φ（x）的右導(dǎo)數(shù).用 x-ch 替換式（3）和式（4）中的x，并關(guān)于h求導(dǎo)，再令h→0，有

其中為 φ（x）的左導(dǎo)數(shù).

由φ（x）的連續(xù)性，比較式（6）和式（8）可得，x＞0存在，比較式（7）和式（9）可得，x＜0存在.

由式（5）、式（6）和式（9）可得

若令ω（0-）=0，可得在x=0連續(xù).定義

則式（8）和式（9）可變成

并有和·（w（-0-）- φ（0-））.

2 期望罰金函數(shù)的顯示表達(dá)式

可得

方程（13）的解為

對(duì)于一般函數(shù)ω（x），方程（14）是一個(gè)變系數(shù)微分方程.下面設(shè)破產(chǎn)率函數(shù)ω（x）=ωc·I{x＜0}（ωc＞0），w（-x）=1，則有

方程（17）對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為

設(shè)方程（17）的解為

將φu（x）和φl(shuí)（x）代入式（13）和式（14），比較項(xiàng)和項(xiàng)的系數(shù)，得

由連續(xù)條件可得

由式（19）～式（21）可得

[1]ALBRECHER H，CHEUNG C K，THONHAUSER S.Randomized observation periods for the compound Possion risk model：The discounted penalty function[J].Scandinavian Actuarial Journal，2013，13（6）：424-452.

[2]GERBER H U，SHIU E S W，YANG H L.The Omega model：From bankruptcy to occupation time in the red[J].European Actuarial Journal，2012，2（2）：259-272.

[3]GERBERHU，SHIU E S W.On the time value of ruin[J].North American Actuarial Journal，1998，2（1）：48-72.

[4]SONG M，MENG Q B，WU R，et al.The Gerber-Shiu discounted penalty function in the risk process with phase-type interclaim times[J].Applied Mathematics and Computation，2010，216（2）：523-531.

[5]DONGYH，ZHANGHJ.Ruinprobabilityinriskmodelwithtwo Poisson processes by diffusion[J].Mathematical Theory and Application，2003，23（1）：98-101.

[6]GERBERHU，SHIUESW.Thetimevalueofruin in a Sparre Andersen Model[J].North American Actuarial Journal，2005，9（2）：49-69.

[7]ALBRECHER H，GERBER H U，SHIU E S W.The optimal dividend barrier in the Gamma-Omega model[J].European Actuarial Journal，2011，1（1）：43-56.

[8]ALBRECHER H，LAUTSCHAM V.From ruin to bankruptcy for compound Poisson surplus processes[J].Astin Bulletin，2013，43（2）：213-243.

[9]李野默，王秀蓮.復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型中觀察間隔為混合指數(shù)分布的貼現(xiàn)罰金函數(shù)[J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，35（2）：17-20.LI Y M，WANG X L.Discounted penalty function of compound Poisson risk modelwhen observation intervalbeing mixed exponential distribution[J].Journal of Tianjin Normal University（Natural Science Edition），2015，35（2）：17-20（in Chinese）.