隨機多種群競爭系統(tǒng)的動力學(xué)行為

李海紅，李海霞

(1.吉林建筑大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)部，吉林 長春 130024； 2.長春光華學(xué)院商學(xué)院，吉林 長春 130024)

競爭行為廣泛存在于各種生物種群中[1-5].Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)可描述為

(1)

其中：xi是第i個種群的密度，ri是第i個種群的內(nèi)稟增長率，Ki是第i個種群對環(huán)境的容納量.若種群之間存在相互抑制的關(guān)系，則可以用競爭系統(tǒng)描述.這里考慮到環(huán)境白噪聲的影響，隨機微分方程為

(2)

(3)

1 系統(tǒng)在均值意義下的持久性

在確定性系統(tǒng)中，文獻[6]給出了均值意義下的持久性的定義.本文對隨機系統(tǒng)也給出相應(yīng)的定義.

定義1稱系統(tǒng)(1)在時間均值意義下是持久的，是指

文獻[4]研究了隨機Logistic微分方程

得出如下結(jié)論：

由引理1和隨機比較定理易得下面結(jié)論.

Φi(t)≤xi(t)≤φi(t)，i=1，2，…，n，

且0<Φi(t)

(5)

另外，Gray等[5]研究了帶有隨機擾動的SIS傳染病模型

dI(t)=I(t)[(βN-μ-γ-βI(t))dt+σ(N-I(t))dB(t)].

(6)

其中：B(t)是一維的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動；I(0)=I0∈(0，N)，N是受傳染病傳染的人群數(shù)量.該文得到如下結(jié)論：

由上面結(jié)果顯然可以得到：

即系統(tǒng)(3)在均值意義下是持久的.

2 系統(tǒng)在均值意義下的非持久性

(7)

由Feller檢驗，尺度函數(shù)為

(8)

通過以上討論，可得如下結(jié)論：

[參 考 文 獻]

[1] 高芳.帶有食餌避難的Leslie-Gower捕食者-食餌擴散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及最優(yōu)稅收[J].東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014(2)：1-8.

[2] GOH B S.Global stability in many species system[J].Amer Nat，1997，111：135-143.

[3] FELLER W.An introduction to probability theory and its application：Ⅱ[M].New York：Willey and Sons，1971：1-137.

[4] JIANG D Q，ZHANG B X.Existence uniqueness and global attractivity of positive solutions and MLE of the parameters to the logistic equation with random perturbation[J].Science in China，2007(7)：977-986.

[5] GRAY A，GREENHALGH D，HU L.A stochastic differential equation SIS epidemic model[J].SIAM J on Applied Mathematics，2011，71：876-902.

[6] 陳蘭蓀，陳健.非線性動力系統(tǒng)[M].北京：中國科學(xué)技術(shù)出版社，1993：83-84.