Matlab多元線性回歸預測城市建成區面積

曹應舉，張永彬，溫繼滿，汲 姣，劉佳麗

(1.華北理工大學 礦業工程學院，河北 唐山 063210；2.開灤安全技術培訓中心，河北 唐山 063000)

0 引言

隨著經濟的發展，城市化速度加快，城市的面積在不斷的擴張。為了了解城市的擴張動態，獲取城市擴張的歷史軌跡，許多學者對城市建成區面積的預測問題進行了研究：李愛民利用遙感技術對不同年份城市建成區多期遙感影像進行提取分類，分析了城市擴張的時空規律[1]；劉柯運用BP神經網絡方法建立預測模型，使用多期數據作為學習樣本和檢驗樣本，對2005年北京市城市建成區面積進行了模擬預測[2]；雷波通過建立多元回歸模型，選用13個社會和經濟驅動因子，對福州城市建成區面積的擴張驅動進行了回歸分析[3]。在模擬預測方面，多元回歸模型是一種常用的預測模型，其預測精度高、應用領域廣泛，例如，周永生等通過綜合影響糧食產量的多種因素，將多元回歸分析應用于糧食產量的預測中[4]；付倩嬈通過對不同大氣成分濃度數據進行分析，將多元回歸分析應用在霧霾的預測中[5]；葉鋒通過綜合考慮經濟技術等多種影響因子，將多元回歸分析應用于油田產量的預測中[6]；韋浩采用不同方法對滑坡距離進行預測，得出結論是“與傳統預測方法相比，多元回歸分析法所建立的預測模型精度較高”[7]。但傳統的用純數學方法來實現多元線性回歸方程求解的過程比較繁瑣，為了簡化計算難度，提高計算的速度，本文以Matlab為語言平臺、以回歸分析為數學統計方法，建立關于建成區面積與其影響因子的多元回歸模型，并應用其進行城市建成區面積的預測。

1 線性回歸模型

變量Y的值主要受影響因子X(由X1，X2，…，Xk確定，可以表示為X1，X2，…，Xk的某個函數關系式：Y=f(X1，X2，…，Xk))和隨機誤差ε的影響，本研究將自變量寫成如下形式：

Y=f(X1，X2，…，Xk)ε。

(1)

其中，隨機變量Y稱為被解釋變量或因變量；X1，X2，…，Xk稱為解釋變量或自變量。f(X1，X2，…，Xk)為一般變量X1，X2，…，Xk的確定性關系，ε為隨機誤差。

當概率模型式(1)中回歸函數為線性函數時，即有

Y=β0+β2X1+…βkXk+ε。

(2)

其中β0，β1，β2，…，βk是k+1個未知參數，β0稱為回歸常數，β1，β2，…，βk稱為回歸系數，Y稱為被解釋變量(因變量)，而X1，X2，…，Xk是k個可以控制的一般變量，稱為解釋變量(自變量)。k=1時，為一元線性回歸模型；k≥2時，稱為多元線性回歸模型。

線性回歸模型的“線性”是針對未知參數βi(i=0，1，2，…，k)而言的。對于回歸解釋變量的線性是非本質的，因為解釋變量是非線性的，常可以通過變量的替換把它轉化成線性的。

若(Xi1，Xi2，…，Xik；Yi)，i=1，2，…，n是式(2)中變量(X1，X2，…，Xk；Y)的一組觀測值，則線性回歸模型可表示為

Yi=β0+β1Xi1+…βkXik+εi。

(3)

其中E(Yi)=β0+β1Xi1+…βkXik為多元回歸方程組，其相應的矩陣表達式為

Y=xβ。

(4)

其中回歸系數的最小二乘估計為

(5)

2 建成區面積案例分析

通過搜集《中國統計年鑒》(2016)和地方統計年鑒整理獲得25個省會城市2015年的建成區面積。鑒于影響建成區面積有諸多因素，本文在參照已有研究成果的基礎上，結合實際情況，構建了城市建成區面積的經濟社會影響因子體系(如圖1所示)，并通過建立多元回歸模型進行分析和檢驗，從而對未來的城市建成區面積進行預測。

圖1 建成區面積影響因子

3 數據處理

Matlab多元線性回歸數據處理過程包括數據預處理、建模、分析及預測四大部分，其具體步驟如圖2所示。

圖2 線性回歸流程圖

3.1 利用regress函數實現多元線性回歸

在Matlab中使用命令regress實現多元線性回歸，調用格式為：b=regress(Y，X)，[b，bint，r，rint，stats]=regress(Y，X，alpha)[8]，其中：Y表示一個n-1的因變量數據矩陣；X是n-p矩陣，自變量X是一列具有相同行數，值是1的矩陣的組合；alpha為顯著性水平(缺省時設定為0.05)；輸出向量b為回歸系數最小二乘估計值；bint為b的置信區間；r，rint為殘差及其置信區間。

stats是用于檢驗回歸模型的統計量，第一個是R2，其中R是相關系數；第二個是F統計量值；第三個是與統計量F對應的概率P；第四個是S2，為誤差方差估計值。R2越接近1，說明回歸方程越顯著；F>F1-alpha(P，n-p-1)時拒絕H0，F越大，回歸方程越顯著；與F對應的概率P

3.2 原始數據歸一化

為了方便數據處理，需要對樣本中的各影響因子進行歸一化處理。歸一化是一種消除指標之間量綱影響的簡化計算方法，常用的數據歸一化方法有“最小-最大標準化”“Z-score標準化”和“按小數定標標準化”等，本文采用的是“最小-最大標準化”方法對原數據進行線性變換。將A中的一個原始值X通過“最小-最大標準化”映射成在區間[0，1]中的值X′，其形式如式(6)所示。

(6)

其中：X′為歸一化后的數據，X為原始數據，Xmin和Xmax分別是X的最小值和最大值。

3.3 整體最小二乘(TLS)多元回歸

通常認為數據矩陣X是給定的，不存在誤差，但是如果數據矩陣X也存在誤差或者擾動，那么最小二乘估計從統計觀點看就不再是最優的，它將是有偏的，而且偏差的協方差將由于X的噪聲誤差的作用而增加。因此，當X也存在誤差時，應該使用整體最小二乘進行回歸[9]。

(7)

或

(8)

(9)

或等價為

(B+D)Z=0。

(10)

‖D‖F=min。

(11)

其中‖D‖F是D的F(Frobenius)范數。

3.4 相關性檢驗

若想使得所擬直線有實際意義，必須保證建成區面積(變量Y)與其影響因子(自變量X)存在線性相關性[10]，描述它們之間相關性系數的定義為：

(12)

其估值為：

(13)

當ρ越接近±1時，表明隨機變量Y與X的相關性越密切，即所建立的線性模型和實際的試驗情況越接近。

在Matlab中使用corrcoef函數可以求兩個序列的相關度，corrcoef(X，Y)表示序列X和序列Y的相關系數，得到的結果是一個2*2矩陣。

相關系數的大小所表示的意義通常如表1所示。

表1 相關系數表示的意義

依據相關系數表，編寫相應程序代碼，將相關程度在微相關范圍內的影響因子(戶籍人口數量X1，第一產業X3，人均生產總值X8，衛生機構數量X9，普通高校數量X10，公共圖書館數量X11)予以剔除，保留相關系數大于0.3的影響因子，剩余5個影響因子(生產總值X2，第二產業X4，工業X5，建筑業X6，第三產業X7)的相關程度顯著，對因變量建成區面積Y的解釋程度較高。

創建城市建成區面積Y和5個影響因子(生產總值X2，第二產業X4，工業X5，建筑業X6，第三產業X7)的一元線性回歸預測方程，如表2所示。

表2 一元線性回歸預測方程

根據表2的擬合方程結果來看，建成區面積Y與各個影響因子X的擬合效果良好。對于R2來說數值越大擬合效果越好，各個方程的判定系數最低為0.527，總體來說判定系數比較高，所以建成區面積與各個影響因子擬合效果總體較好。為了進一步探討建成區面積與各個影響因子之間的關系，以建成區面積Y為因變量，以影響因子X2-X7為自變量進行多元線性回歸分析。

繪制因變量Y與自變量X2-X7之間的散點圖，如圖3所示。

圖3 Y與X2，X4，X5，X6，X7的散點圖

模型建立過程中繪制的殘差圖會有異常點而影響模型的正確性，需要對異常點進行剔除，利用Matlab編寫簡單的循環語句可以實現以上操作，剔除完成后繪制殘差圖如圖4所示。

圖4 異常點剔除前后的殘差圖

剔除殘差后利用regress再次求解參數，結果如表3所示。

表3 參數求解

t檢驗是逐一對參數的顯著性進行檢驗。其原理是|t(f)|>tα/2時，接受H0，查表可得，tα/2=2.262，經檢驗，t檢驗統計量小于tα/2的常數項以及自變量X6顯著性不明顯，應予以剔除。stats中第1個參數R2是回歸平方和與總離差平方和的比值，其值越大越好，該模型達到0.979 9；第2個參數f統計量，越大越好，本模型為87.546 5；第3個參數為P的顯著性概率，應該小于0.05，越接近0越好，本模型基本為0；第4個參數為估計誤差方差，本模型估計誤差方差為0.002，綜上，stats中4個參數充分說明回歸方程顯著，該回歸模型成立。

因此，最終建立的多元線性回歸方程式為：

Y=1.746X2+0.519X4+0.388X5+1.856X7。

3.5 結果預測

對城市建成區面積進行回歸分析的目的主要是進行預測和控制[11]。未來城市建成區的面積通過單一的往年建成區增減面積來預測難以定性和定量，所以在實際生活中，都是通過近幾年的數據構建主要影響因子和建成區面積的方程，通過觀測影響因子，來預測未來的城市建成區面積。

Matlab自帶程序rstool可以實現回歸分析的控制預測功能，在本例中選擇5個城市的建成區面積留做預測，選出未參與回歸處理的5組數據，將其自變量影響因子X輸入相應位置，Matlab將自動計算預測結果，如圖5所示。

圖5 rstool預測處理

將Matlab計算結果與經過歸一化后的真實值進行比對，預測值在限差范圍內，說明了回歸方程的正確性，結果比對如表4所示。

表4 實際值與預測值比對

結果顯示，第一、三、四、五組數據的實際值都在預測區間內，預測的可靠性高，第二組數據預測結果不理想，導致該結果的原因可能是由于各種因素之間產生了更為復雜的相互作用，使得城市建成區面積不再表現為線性關系中那種按比例的規則變化，而代之以不按比例、不規則的變化或突變。例如，城市區劃調整使城市建成區面積和城市經濟社會指標突然變化，這必然使傳統的基于線性假設的回歸預測模型產生很大的誤差。

4 小結

城市建成區面積是人口、經濟、社會、環境等多因素綜合影響的結果，從本研究中發現，2015年所選25個省會城市的建成區面積受第三產業和國民生產總值的影響最大，第二產業和工業的影響次之。說明要想對城市進行合理建設使之健康發展，應該以大力調控第三產業、國民生產總值為出發點。

本文利用建成區面積作為研究變量，運用Matlab軟件建立多元線性回歸模型，利用最小二乘原理求解數學模型中的最優解，不僅簡化和優化了繁瑣的計算過程，而且通過檢驗證明所建立的模型計算結果精度較高，對城市建成區面積變化的預測有一定的參考價值。然而，由于在實際情況中城市建成區面積受復雜的多種因素影響，在建模過程中對因素考慮或選擇不同，則會造成計算結果的多樣性，因此，在研究中應力求完善。

參考文獻：

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[3] 雷波.BP神經網絡和多元回歸模型在城市建成區面積預測中的應用比較——以福州市為例[J].城市發展研究，2008(1)：153-155.

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[5] 付倩嬈.基于多元線性回歸的霧霾預測方法研究[J].計算機科學，2016，43(S1)：526-528.

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