神光-Ⅲ精密光學模塊側裝機械手運動學分析

宋代平 袁岳軍 郭宗環 王 康

1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，400044 2.重慶東風小康汽車有限公司，重慶，405321

0 引言

慣性約束聚變（inertia confinement eusion，ICF）是激光束產生高能量聚變反應的一種方法。大型激光器裝置（如美國的國家點火裝置（Na?tional Ignition Facility，NIF）和中國的大型高功率激光裝置）所需的大口徑精密光學模塊與相應機械件組合構成的在線可替換單元（line-replace?able unit，LRU）數目和種類繁多，規格不一，均為專門定制的易損、精密且價格昂貴的重要關鍵部件，能否保證絕對安全的攜帶并安裝至主機試驗裝置內部，將直接影響到裝置的工程建造與運行維護成本［1?3］。

六自由度是具有完整空間定位能力的機械手應具備的最小自由度，機械手若具有更多的自由度，將會顯著改善其運動特性，增加機體靈活性和提高避障能力。然而自由度的增加會使機械手運動學分析變得更為復雜，尤其是機械手運動學逆解問題。文獻［4］固定機械手的第三個關節，使其恒為0，從而把該機器人變為六自由度機器人，再引入臂形標志進行運動學逆解的求解。文獻［5］采用位姿分離法，將7自由度串聯機器人運動學逆解問題分解為位置逆解和姿態逆解兩部分，并結合幾何法和行程最短原則計算位置逆解和姿態逆解。文獻［6］采用最短行程準則選取一組最接近于當前操作臂的解；文獻［7］提出一種自尋優的方法來解決冗余機械臂關節限位的運動優化問題。

慣性約束聚變試驗裝置復雜、結構繁多，由此LRU轉運裝置必須準確定位和具備一定的避障能力。潔凈精密光學模塊是LRU中的一種，本文提出了一種用于潔凈精密光學模塊側面裝入神光-Ⅲ主機試驗裝置的八自由度側裝機器人，建立了運動學方程，并進行了運動學分析。

1 側裝機器人的結構組成

八自由度側裝機器人主要由立柱、升降臺、搖臂關節（關節2～關節5)、調節機構和抓手等部件組成，見圖1。

圖1 八自由度側裝機器人結構Fig.1 Structure of 8-DOF side loading robot

側裝機器人的作業方式主要是垂直方向上的提升運動和水平面內的側向運動。升降機構、側送機構、搖臂關節決定了精密光學模塊的位置，使模塊能夠沿x、y方向移動和繞z軸旋轉一定角度；調節機構的作用是對模塊的姿態進行微調，使模塊能夠繞x、y、z軸旋轉一定角度，類似于人的手腕。八自由度串聯側裝機器人機構簡圖見圖2。

圖2 八自由度側裝機器人機構簡圖Fig.2 Machine draft of 8-DOF side loading robot

2 運動學正解

機器人的運動學分析是性能分析和動力學分析的基礎，對一個新型機構來說，運動學分析是機構分析的前提和基礎，是進行機器人機構設計的首要任務。

機器人的正運動學問題是已知機器人各個關節的關節角，求末端執行器的位姿（位置和姿態）。側裝機器人采用D-H法（Denavit－Hartenberg ma?trix)［8?9］建立坐標系并推導機器人的運動學方程。側裝機器人D-H坐標系見圖2，各連桿參數及關節變量見表1。

表1 連桿參數及關節變量Tab.1 Link parameters and joint variables

連桿變換矩陣

式中，c表示cos；s表示sin。

側裝機器人有8個自由度，據式（1）以及表1所示的連桿參數，可求得八自由度側裝機器人基座坐標系和末端執行器坐標系之間的總變換：

將右乘以得到工具端部和基座之間的總變換。為工具端部和末端連桿坐標系間的變換：

根據側裝機器人結構尺寸要求確定如下：a1=140 mm、a2=170 mm、a3=170 mm、a4=170 mm、a5=535 mm、d5=-10 mm。各變量范圍如下：d1∈［200 mm，1 950 mm］；θ2，θ3，…，θ8∈［-π/2，π/2］。

各變量的初始值分別取d1=500 mm，θ2=0，θ3=0，θ4=π/2，θ5=0，θ6=π/2，θ7=π/2，θ8=0，代入式（3）可求得

由所得結果可知，與三維模型在同樣狀態下的測量值完全吻合（圖3），表明D-H參數法求解結果是正確的。

圖3 運動學正解結果驗證Fig.3 Kinematic positive solution verification

3 運動學逆解確定方法及實例驗證

3.1 運動學逆解分析

機器人運動學逆解是在已知末端執行器位姿的情況下，求解各個關節變量。逆向運動學問題的求解相對復雜，可能存在多解也可能無解。PIEPER［10］證明了3個連續關節軸相交于一點的6R機器人逆運動學可解。DUFFY［11］證明了3個連續關節軸平行的6R機器人逆運動學可解，對于末端位姿確定的八自由度側裝機器人，逆運動學為已知末端執行器位姿08T，求解對應關節變量 d1、θ2、θ3、θ4、θ5、θ6、θ7、θ8的值，其求解過程非常復雜。由于一個末端位姿矩陣只有6個獨立變量，故只能求解6個未知數。本文先采用關節變量虛化法，將關節2、3、4構造為虛擬關節，從而構建一個虛擬六自由度機器人，基于極限值均值法確定虛擬軸長a，采用解析法求解虛擬六自由度機器人的逆解。此外，采用占用空間最小法求解關節對八自由度機器人的逆解進行求解，具體求解步驟如下：

（1）設定關節2與關節5之間距離為a，構建虛擬關節，由此構建虛擬六自由度機器人（其中3個連續關節軸交于一點）；

（2）建立虛擬六自由度機器人逆運動學方程，根據極限值均值法原則求解a值；

（3）將末端位姿代入逆運動學方程并求解，得到d1、θ6、θ7、θ8；

（4）依據關節2、關節3和關節4的占用空間最小原則進行求解，得到θ2、θ3、θ4、θ5；

（5）考慮結構限制對所求逆解的各個變量進行取舍，最終得到一組待定解；

（6）將待定解代入正運動學方程進行驗證；

（7）確認末端位姿。

建立虛擬六自由度機器人D-H坐標系，見圖4，各連桿參數及關節變量見表2。

圖4 虛擬六自由度機器人D-H坐標系Fig.4 Virtual 6-DOF robot D-H coordinate system

連桿變換矩陣i-1iT表示如下：

表2 連桿參數及關節變量Tab.2 Link parameters and joint variables

對于該虛擬六自由度機構，對應任何一種末端位姿，虛擬關節長度a都有無數種取值，為了求得該虛擬六自由度機構逆解，必須規定一種a值求解算法。如果a值是一個定值，則會很大程度縮小機器人的工作空間，因此本文采用極限值平均法確定虛擬關節長度a，其值與末端位姿相關，具體如下：

（2）當始終保證θ′5=π/2或-π/2時，a表達式如下：

（3）為了保證處于比較合適的位置，a值取以上兩種極限位置的平均值，即

已知構建的虛擬六自由度機器人是按照Pieper準則設計的，因此可以得到封閉解。求解六自由度機器人運動學逆解的方法主要包括解析法和代數法［12?13］、幾何法［14］、符號及數值方法［15］、神經網絡法［16?17］等，本文采用矩陣逆乘的解析法求解運動學逆解。

式（6）左邊：

按解析法求得運動學逆解：

從上述解的表達式可以看到、分別最多可能有兩個解，由于θ6、θ7、θ8和、相關，所以機器人最多可能有4組解。

3.2 側裝機器人逆解的確定

與通常采用最短行程準則和多移動小關節、少移動大關節的原則不同［18］，本文根據側裝機器人自身結構、作業環境和位置的特點，基于關節占用空間最小的思路來求取θ2、θ3、θ4、θ5的解。以關節2與關節5公垂線方向定為x軸，垂直于公垂線方向為y軸，建立平面直角坐標系（圖5）。

圖5 關節的逆解坐標系Fig.5 Joint inverse coordinate system

設關節3、關節4的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），根據“關節占用空間最小”的原則，需保證+最小，即求目標函數f=+的最小值，建立約束方程組：

針對目標函數f的非線性，本文采用一種復雜的迭代算法——麥夸特算法［19］對其進行求解。最終目標函數的最優解在1stOpt（First Optimi?zation）中得到。根據已知的關節2、關節3坐標位置，得到關節角θ2、θ3、θ4、θ5如下：

至此，八自由度側裝機器人的8個關節全部求出，運動學逆解已全部得到。

3.3 逆解實例驗證

隨機任意給定兩個末端位姿如下：

根據給定的兩種位姿，通過式（5）計算出兩種位置下的a分別為409.509 0和435.224 8，將式（18）、式（19）代入式（7）～式（12）中得到虛擬六自由度的兩組逆解（表3）。

表3 式（18）和式（19）位姿下虛擬六自由度機器人逆解Tab.3 Inverse solutions of a virtual 6-DOF robot in poses of equation（18）and equation（19）

受側裝機器人自身結構約束，比較各關節轉角范圍，經正解驗證，對應表3式（18）位姿下只有序號1的解滿足要求，因此序號1的解就是待確定的解。式（19）位姿下序號1和序號4滿足要求，但序號4的解中關節2超過允許轉動范圍，因此序號1是式（19）對應的待確定的解。

根據式（13），利用1stOpt軟件優化后得到關節3和關節4的坐標值，將坐標值與表3中序號為1的解代入式（14）～式（17）中求得 θ2、θ3、θ4、θ5，即分別得到對應的八自由度側裝機器人的運動學逆解,如表4所示。

表4 式（18）和式（19）位姿下側裝機器人優化逆解Tab.4 Inverse solutions of side loading robots in poses of equation（18）and equation（19）

表4中的解是式（18）、式（19）位姿下逆解的優化解。將它們分別代入正運動學方程中可得

比較式（18）～式（21）可知：末端位置數據誤差（Δpx，Δpy，Δpz）分別為（0.058 4，-0.031 7，0）mm和（0.043 3，0，0）mm，最大誤差為0.012%，完全符合精度要求,從而確定了表4中的解是側裝機器人在式（18）、式（19）位姿下的逆解。分析表明，該方法確定求得的運動學逆解是正確可靠的,并且該方法能快速確定運動學逆解，從而為進一步研究機器人的軌跡規劃及實時控制提供了理論基礎。

4 結論

（1）本文以八自由度側裝機器人為研究對象，對其進行了運動學分析。根據側裝機器人的自身結構特點，采用D-H法建立連桿參數，推導得出了運動學正解方程。

（2）針對八自由度機器人逆運動學求解問題，采用關節變量虛化法構建出一個虛擬六自由度機器人。

（3）基于極限值平均法確定虛擬軸長，利用解析法得到虛擬六自由度機器人逆解。

（4）以關節占用空間最小為原則，結合麥夸特算法，利用1stOpt軟件解算關節2、3、4位置，進而求解得到八自由度側裝機器人所有運動學逆解。

（5）通過實例驗證逆解算法的正確性。運動學分析可以用于側裝機器人末端執行器的精確定位和運動規劃，為實現八自由度側裝機器人的運動軌跡規劃及實時控制等提供了理論基礎。

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