隨機粗糙微通道內部流動與傳質特性

魯聰達 薛 浩 吳化平 文東輝

浙江工業大學特種裝備制造與先進加工技術教育部重點實驗室，杭州，310014

0 引言

微流控器件作為微電子機械系統（micro?electro?mechanical systems,MEMS）的一個重要分支，廣泛應用于微量分析化學、生物醫藥、環境監測等領域［1?2］。微通道是微流控器件的介質傳輸基礎。隨著特征尺度減小，微尺度的流動、傳質特性與常規尺度產生了很大差異，尤其是近壁面區域受隨機粗糙度的影響，即使相對粗糙度較小，由此引起的微小擾動也能滲入主流區域，從而影響整個微通道內的流動［3?4］。

近年來，微通道壁面隨機粗糙度對流體流動和傳質的影響引起了研究人員的關注。RA?WOOL等［5］使用數值仿真方法研究了微通道壁面粗糙度幾何形狀、相對高度等因素對摩擦因數的影響，發現隨著粗糙度峰值高度的增大，摩擦因子以非線性的方式增大。CHEN等［6］發現近壁面粗糙度的存在會使該區域產生流動渦流，造成壁面附近形成反壓差分布，導致流體沿流動方向的流動阻力和壓降增大。NATRAJAN等［7］采用mi?cro?PIV技術觀測了水力直徑為600 μm的銅質矩形微通道內流體的瞬態流場和壓降變化，實驗結果表明，粗糙微通道內的平均流速要高于光滑微通道內的平均流速，并且流速受摩擦因子的影響較大。YUAN等［8］研究了圓形微通道壁面粗糙度對層流流動的影響，結果表明，粗糙微通道的層流轉捩系數小于宏觀通道的層流轉捩系數，微通道的摩擦因數大于理論值，且Po數隨微通道相對粗糙度的增大而增大。KHARATI?KOOPAEE等［9］利用數值模擬方法研究了具有對稱和偏移正弦曲線粗糙度的矩形微通道內流體的流動狀態變化，發現偏移分布的粗糙微通道內具有更低的壓力損失。JAIN等［10］研究了微混合器的內壁粗糙度對混合傳質的影響，發現微混合器內部的快速混合發生在受粗糙壁面影響的近壁面流層區域。PENDHARKAR等［11］研究了微觀壁面粗糙度對微混合器性能的影響，結果表明近壁面的粗糙度分布可促進微通道流體混合強度的提高，但受流體物性參數的影響較大。

以上研究從多個方面探究了壁面粗糙度對微通道流體流動和混合傳質的影響，但目前對于微通道的流動和傳質特性研究大都以通道整體作為研究分析對象［12］，忽略了微通道內部各位置受粗糙度影響而產生的流動狀態變化，需要對粗糙度微通道內部的流動特性作進一步的探討。本文在利用典型粗糙元構建微通道壁面隨機粗糙度的基礎上，通過有限元分析方法研究了微通道內部各位置流體的流動和傳質特性受隨機粗糙度擾動而產生的變化。

1 數值計算模型

1.1 控制方程

微觀尺度下，微通道內流體的層流流動仍然滿足連續性假設，Navier?Stokes方程仍然有效［13?14］。本文借助 COMSOL Multiphysics 5.2a軟件，采用壓力-速度耦合求解格式求解控制方程。利用有限元求解控制方程時，對流體作如下假設：①待求解流體為充分發展的不可壓縮牛頓流體；②不引入能量方程，忽略重力影響。因此，微通道內的流體層流和混合傳質控制方程如下：

式中，c為流體濃度；D為流體擴散系數；v為速度矢量；ρ為流體密度；μ為動力學黏度；p為壓力；?p為壓力梯度。

流體介質為去離子水，入口濃度分布不連續，上半部入口流體介質具有濃度c（1 mol/L），其他物性參數取環境溫度（298 K）時的值。流體間的混合強度主要依據通道橫截面的組分濃度方差進行數值化表述，其計算公式為

式中，M為垂直于流動方向通道橫截面的混合強度，0≤M≤1，0表示無混合發生，1表示完全混合；n為選取橫截面濃度值采樣點個數；wi為橫截面上采樣點質量分數；w∞為充分混合時的質量分數，本文取0.5；τ為橫截面上質量分數標準差；τmax為橫截面初始時刻無混合時的質量分數偏差，本文取0.5。

1.2 隨機粗糙度微通道模型

考慮到實際加工微通道壁面粗糙度分布的復雜性，實際研究大都采用一些標準形狀進行近似模擬［15?18］。本文借助 MATLAB 中的 rand（ )函數對 3種典型粗糙度形狀的5種尺寸規格進行隨機排布構建壁面隨機粗糙度（矩形粗糙元RRE；弧頂形粗糙元CRE；三角形粗糙元TRE），其中所取單個粗糙元的寬度與其高度相等，粗糙元在尺度選取方面以最小尺度粗糙元高度為基準（微通道寬度的1%）分別取1～5倍5種尺寸規格，ε表示單個粗糙元高度與通道寬度的比值，即相對粗糙度高度，見圖1。

圖1 粗糙微通道結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of rough microchannels

為保證進口的條件一致，在粗糙微通道前端附加一個長為H/2的光滑微通道，各通道結構中L=10H，H=300 μm，其中，通道基底材料為聚甲基丙烯酸甲酯（PMMA）。計算采用的粗糙度參數見表1。

表1 微通道壁面粗糙度參數Tab.1 Microchannel surface roughness parameters

1.3 網格獨立性檢驗

采用有限元方法進行數值運算時，網格的劃分質量會對運算結果準確性產生較大的影響。選取壁面粗糙度類型為RRE的微通道（ε=2%，Re=1 000），以微通道整體長度為研究目標，取通道中心位置的速度為參考量值，進行網格無關性驗證計算，所得結果見圖2。結果表明，網格節點數q為781 502、937 716和1 469 550時，速度相對誤差值小于2%，滿足數值計算要求［6］，因此，本文選用節點數為937 716的網格進行有限元運算。同時，網格節點數為937 716時所對應的最小殘差處于10?7數量級，所得結果可被判定為收斂［19］。

圖2 網格獨立性檢驗Fig.2 Grid independence test

2 計算結果與分析

2.1 模型驗證

參照文獻［6］中的微通道寬度和粗糙度相對高度，分別建立光滑和隨機排布RRE的粗糙微通道，分析去離子水在微通道中的流動情況（ε=2%，Re=1 000），并與文獻［6］結果進行比對，見圖3。

圖3 數值分析驗證Fig.3 Numerical analysis verification

分析圖3可得到以下結論：①微通道寬度和粗糙度相對高度一致的情況下，隨機分布RRE的微通道內流體壓降變化趨勢與文獻［6］結果基本一致，可以驗證分析方法的正確性；②粗糙度隨機分布的微通道比文獻［6］中粗糙度均勻分布的微通道更易產生壓力波動。另外，分析兩者計算結果的差異性主要來自兩個方面：一方面在粗糙度結構上，雖微通道內粗糙度相對高度一致，但兩者粗糙度的寬度存在少量的差異性，會使流動過程中能量損失出現差異；另一方面在有限元求解上，由于邊界條件設置不能做到完全的一致性以及不同有限元軟件運算求解方式的差異性，也會導致同一問題的求解出現少量差異。

2.2 微通道壁面隨機粗糙度對流場的影響

流速作為流體流動過程的一個重要參數，它在微通道中的變化情況可在一定程度上反映流體的流動特性變化。不同粗糙微通道內A?A截面（圖1）流速沿y方向的變化曲線（Re=1 000）見圖4；B?B區域（圖1）不同粗糙微通道近壁面的流場分布（ε=3%，Re=1 000）見圖5。

由圖4可以看出，相比光滑微通道，流速受隨機粗糙度影響而降低的流動區域約占微通道寬度的40%。當0≤y/H＜0.6時，在粗糙度類型為RRE，ε=2%，ε=3%和ε=5%的微通道中心區域流速相比光滑微通道增幅分別達到11.27%、18.75%和21.63%，可見粗糙度的存在對主流區流速具有提升作用，但當相對粗糙度超過3%時，流速增長速率減緩；而對于圖4中粗糙度類型為TRE、CRE和RRE，ε=3%的微通道流速變化可以看出，RRE對流速的影響最大，CRE次之，TRE最小，當0.6≤y/H＜1時，各粗糙微通道近壁面區域的流速相對光滑微通道均有小幅下降，但流速變化差異不大。

圖4 粗糙度對微通道橫截面流速影響Fig.4 Effect of roughness on microchannel section flow rate

圖5 不同類型微通道近壁面區域流線分布Fig.5 Streamline distribution in the near wall region of rough microchannels

由圖5中的微通道近壁面流線變化可以看出，同光滑微通道相比，粗糙微通道近壁面的相鄰粗糙度峰谷間流線出現了明顯的彎曲和回流，且近壁面區域的流動分離現象明顯。結合圖4中的微通道橫截面流速變化曲線分析可知，由于近壁面流體受到粗糙度的阻礙作用，在流動過程中產生了動能損失，因而該區域流速要低于光滑微通道；同時，又因為粗糙度峰值的存在使得微通道的當量直徑減小，流體受微通道收縮影響會產生加速，所以在遠離近壁面的主流區流速相比光滑微通道會有少量的提升。

2.3 微通道壁面隨機粗糙度對壓力的影響

壓力作為反映微通道內流體流動特性的表征參數，對微流控器件的微通道設計及優化具有重要的參考價值。分別以出口處壓力pout為參考值，對具有不同粗糙度類型和不同相對粗糙度的微通道壓力進行量綱一化，微通道內部各位置的壓力分布（Re=1 000）見圖6和圖7。

圖6 粗糙度類型對微通道內壓力分布的影響Fig.6 Influence of roughness type on pressure distribution in microchannel

圖7 相對粗糙度對微通道內壓力分布的影響Fig.7 Influence of relative roughness on pressure distribution in microchannel

由圖6可以看出，當x/L=0.3時，4種類型微通道壓力分別為psmh=2.051，pTRE=2.109，pCRE=2.145，pRRE=2.179，其中，pTRE、pCRE、pRRE分別比psmh提高了2.83%、4.58%、6.24%，說明TRE對微通道壓力的變化影響較小，RRE的影響最大；當x/L=0.7時 ，psmh=1.402，pTRE=1.452，pCRE=1.476，pRRE=1.52，其中，pTRE和 pRRE分別比 psmh提高了3.57%和8.42%，結合x/L=0.3位置的壓力分布可知，雖然各微通道內部的壓降變化趨勢基本相同，但臨近出口位置的壓力差異性增強，即臨近出口位置的微通道壓降增加。

由圖7中的微通道壓降變化可以看出，當x/L=0.2 時 ，psmh=2.053，pε=2%=2.135，pε=3%=2.218，pε=5%=2.224，其中，pε=2%和 pε=5%比 psmh分別增大了3.99%和8.33%；而當x/L=0.8時，psmh=1.257，pε=2%=1.347，pε=3%=1.332，pε=5%=1.446，此 時pε=2%比 psmh增大了 7.16%，而 pε=5%比 psmh卻增大了15.04%。由此可見，微通道壁面相對粗糙度會對微通道的壓降產生較大影響，因此，進行微通道加工時要適當降低粗糙度的相對高度，以降低微通道壓降，尤其是臨近出口位置的壓降。

2.4 微通道壁面隨機粗糙度對阻力特性的影響

Poiseuille數（Po）作為表征微通道中流動阻力的參數，定義為微通道壁面摩擦因數f與雷諾數 Re之積［8，20?21］。本文中，Po 數定義如下：

式中，Dh為微通道水力直徑，本文取H；l為微通道長度。

在具有不同粗糙度類型和相對粗糙度的微通道內，根據式（10）計算得到的Po數分布分別見圖8和圖9（Re=1 000）。

圖8 粗糙度類型對微通道內Po數分布的影響Fig.8 Influence of roughness type on Poiseuille distribution in microchannels

圖9 相對粗糙度對微通道內Po數分布的影響Fig.9 Influence of relative roughness on Poiseuille distribution in microchannels

由圖8可以看出，各微通道中，當x/L=0.3時，4種類型微通道中的Po數分別為Posmh=77.612，PoTRE=78.867，PoCRE=80.275，PoRRE=82.691，其中，PoTRE、PoCRE和PoRRE分別比Posmh提高了1.62%、3.43%、6.54%；而當x/L=0.7時，Posmh=89.21，PoTRE=91.038，PoCRE=93.778，PoRRE=97.107，此時PoTRE、PoCRE和PoRRE分別比光滑微通道中的Posmh提高了2.05%、5.12%和8.85%。由此可見，不同類型的粗糙微通道內Po數變化均呈現相同的變化趨勢，且RRE對微通道Po數的影響最大，CRE次之，TRE最小。另外，通過微通道內不同位置的Po數變化差異可以看出，Po數在臨近出口位置增大較為明顯。

根據圖9中的Po數變化趨勢，當x/L=0.2時，Posmh=75.852， Poε=2%=77.126， Poε=3%=80.11，Poε=5%=80.506，其中，Po 數變化最大的微通道內Poε=5%比Posmh增大了 6.14%；當 x/L=0.8 時，Posmh=90.274， Poε=2%=98.595， Poε=3%=101.859，Poε=5%=103.293，此 時 Poε=5%比 Posmh增 大 了14.42%，可以看出，不同相對粗糙度的微通道內，壁面粗糙度峰值高度對微通道內Po數值變化有很大影響。

結合圖8和圖9分析可知，同光滑微通道相比，各粗糙微通道內的Po數變化均存在不同程度的波動性變化，其原因主要是微通道內不同位置處壓力分布不均勻和流速的非周期性波動變化兩因素的共同影響。另外，由于粗糙度相對高度對Po數的影響很大，故在制作微流控器件時要著重考慮微通道的加工精度。

2.5 微通道壁面隨機粗糙度對濃度分布的影響

對于微通道內流體間的混合傳質，由于隨機粗糙度的存在而引起的速度和壓力波動會對流體間的混合傳質速率產生一定的影響。分別繪制了不同粗糙微通道內A?A截面位置的濃度分布和各微通道混合強度直方圖（Re=1 000），見圖10和圖11。

圖10 粗糙度對微通道橫截面濃度分布影響Fig.10 Effect of roughness on the concentration distribution of microchannels

由圖10可以看出，微通道壁面隨機粗糙度的存在可以提高流體間的傳質速率。在y/H=±1的近壁面區域可以明顯看出，不同微通道的不同粗糙壁面對組分濃度的分布具有很大的影響。根據式（6）和式（7）計算并繪制微通道混合強度直方圖。由圖11可以看出，粗糙微通道內的混合強度均大于光滑微通道的混合強度；對于粗糙元類型為TRE、CRE和RRE，ε=3%的微通道中TRE對流體組分的混合傳質具有較大的影響，RRE次之，CRE最小；而對于相對粗糙度分別為2%、3%和5%時的RRE，微通道中混合強度相對光滑微通道的增長幅度存在較大的差異，并且混合強度隨相對粗糙度的增大而增大。由于ε=3%的微通道內混合強度比ε=2%的微通道內混合強度提高了7.1%，而ε=5%的微通道內混合強度僅比ε=3%的微通道內混合強度高出5.34%，可見粗糙度對混合傳質的提升作用減弱，結合圖7中的壓力分布和圖9中的流動阻力分布，均衡考慮混合強度、微通道壓力和流動阻力可知：ε=3%的微通道混合性能要高于ε=5%的微通道混合性能。

圖11 微通道A-A截面混合強度分布Fig.11 Distribution of average mixing concentration in microchannels

3 結論

（1）微通道壁面隨機粗糙度對流體的流場有顯著影響，近壁面區域的流動狀態變化相比于光滑微通道表現為：近壁面區域存在明顯的旋渦和流動分離現象，近壁面區域流速有小幅降低，主流區的流速顯著增大，并且微通道內流速受隨機粗糙度影響而降低的流動區域約為微通道寬度的40%。

（2）隨機粗糙微通道內各位置的壓力分布沿流動方向呈近似線性增加，存在小幅度的波動變化；粗糙度的相對高度對壓降有較大的影響，并且臨近出口區域的微通道壓降增幅變大。

（3）隨機粗糙微通道中的Po數變化趨勢同光滑微通道較為一致，并呈近似線性增長，但存在小幅的波動變化；微通道中RRE對Po數的影響最大，CRE次之，TRE最小；粗糙度相對高度對Po的影響較大，適當降低粗糙度相對高度可使微通道流動阻力顯著減小。

（4）微通道壁面粗糙度的存在可顯著提高分子傳質擴散的速率，但傳質速率受粗糙度類型和相對粗糙度的影響較大。其中，TRE對混合強度的提升影響最大，并且在相對粗糙度為3%時對微通道的混合強度提升效果最佳。

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