等效非線性阻尼控制的準零剛度振動傳感系統

楊 攀 鄧兆祥 舒紅宇 妥吉英

1.重慶大學機械工程學院，重慶，400044

2.汽車噪聲振動和安全技術國家重點實驗室，重慶，400039

3.重慶大學汽車工程學院，重慶，400044

0 引言

移動平臺（車輛懸架、船舶設備的保護和無人機等）需要實時準確的絕對狀態（位移、速度）反饋才能獲得良好的主動控制效果［1?2］。盡管慣性傳感器、雷達或激光技術等［3?5］先進測量技術已在絕對位移的測量中得到應用，但是精度和成本仍是難題。通常采用一些輸出反饋控制方法和算法來解決這些問題，但是這些方法會引起控制系統的延時［6］,進而會破壞動態系統的穩定性，同時也會導致理論分析更加復雜。盡管當絕對位移測量技術應用在反饋控制中，適當的延時對振動控制是有益的，但是延時值必須控制在臨界范圍內。近年來，國內外諸多學者采用準零剛度（quasi-zerostiffness，QZS）技術研究絕對振動位移傳感系統［7?11］，對絕對振動位移進行直接測量，從而顯著縮短系統的反饋延時，提高系統響應速度，其中大部分系統都采用線性阻尼進行控制。通過增大傳感器的線性阻尼可有效減小跳頻現象的共振區頻率范圍，但會顯著增加傳感器的高頻誤差。目前，也有少數學者在隔振系統中使用非線性阻尼控制以求達到預期［12?13］。

為了改善準零剛度傳感系統中測量頻帶與中高頻精度之間的問題，本文提出一種新型準零剛度傳感系統，采用非線性阻尼控制器對其進行控制。

1 準零剛度傳感器的設計

如圖1所示，文中提出的QZS傳感器都是依附運動平臺的單自由度系統，由1個小質量塊m2、2個水平預壓縮彈簧和1個豎直彈簧組成（圖1上半部分）。水平彈簧的原長為l0，預壓縮量為λ0，剛度為k3，具體參數見表1。

圖1 振動系統Fig.1 Vibration system

表1 傳感器參數表Tab.1 Parameters of sensor

圖1中,這種在基礎激勵下的質量-彈簧-阻尼系統在工程中已經廣泛應用。通過質量塊m2的相對位移，利用QZS傳感器近似測量振動平臺的絕對位移。豎直彈簧的剛度為k2，與力傳感器相連，來測量m1和m2之間的相對位移，通過A/D轉換，將傳感器信號輸入控制器，控制器利用控制算法實時控制作動器的控制力，構成一個控制系統。作動器與豎直彈簧并聯，作動器的等效非線性阻尼系數為c3。QZS系統通過線性剛度k1和阻尼c1與基座相連接。質量塊m1的絕對位移為x1(t)，m2的絕對位移為 x2(t)，基座的位移為 z(t)。系統的動力學參數和結構參數見表2。

表2 系統動力學參數和結構參數Tab.2 Structural and kinematics parameters of the system

2 靜態特性

2.1 動力學模型

基于圖1的模型，可以用拉格朗日方程建立移動平臺和傳感器的關系。

系統動能

系統勢能

根據拉格朗日方程，系統的動態方程

將式（1）和式（2）代入式（3）中，得

根據力傳感器的力信號，豎直彈簧k2受力

在準零剛度系統設計合理的情況下，鑒于x2比較小，則F≈-k2x1。這意味著QZS傳感器能夠近似測量移動平臺的絕對位移，測量精度主要取決于QZS系統的隔振效果。QZS傳感器中作動器的主動作用力

式中，c3為非線性控制系數。

2.2 靜平衡位置

圖2所示為QZS傳感器的安裝過程。圖2a為彈簧的初始安裝位置，x0為質量塊m2到平衡位置的距離。如圖2b所示，為了保證振動的對稱性，在安裝完質量塊m2后，剛度為k3的2個彈簧和QZS傳感器的平衡位置必須處在水平位置。

圖2 QZS傳感器的安裝過程Fig.2 Assembly process of the vibration sensor

根據虛位移原則，x0和m2必須滿足

水平彈簧的初始預壓縮量

由式（9）和式（10）可得到質量塊m2與壓縮量λ1的關系：

在QZS系統中，要保證m2在水平平衡位置，須滿足式（9）和式（10）。

如圖3所示，在l0=0.5 m和k3=300 N/m，隨著質量m2的增大，水平彈簧初始預壓縮量λ1也在增大。為了獲得好的隔振效果，兩個水平彈簧的預壓縮量應取一個期望值λ0。

圖3 水平彈簧的預壓縮量λ1與m2的關系Fig.3 The relationship between predeformation of horizontal spring λ1andm2

2.3 QZS傳感器的剛度

由圖3可以看出，初始預壓縮量隨著QZS傳感器質量的增大而增大。如果初始預壓縮量和QZS傳感器的質量取值不合理，QZS傳感器的平衡位置將無法保持穩定，導致測量結果出現錯誤。所以要維持平衡位置的穩定性，預壓縮量λ0和傳感器的其他參數必須設定在合理范圍內。

動力學方程為

平臺相對于基礎的相對位移

質量塊m2相對于平臺的位移

質量塊m2的受力

對式（16）進行Taylor展開可以近似反映靜態特性，也能簡化計算。現對式（16）進行三階Taylor展開：

如圖4所示，三階泰勒展開式（17）的作用力大小接近于式（16）中實際作用力大小。2自由度系統的動力學方程為

圖4 Fm2的實際值（線）和泰勒展開近似值（點）與u2的關系Fig.4 The relationship between the actual value（line）and approximate value（point）ofFm2 andu2

基礎激勵為z（t）=z0cosωt。圖5所示為當k2=300N/m，k3=100N/m和l0=0.5m時不同的預壓縮量下Fm2和u2的關系曲線。Fm2隨著λ0的增大而減小，當u2=0時，作用力Fm2=0。由動態方程可以看出，當作用力Fm2越接近0，傳感系統和移動平臺的相對位移u2和移動平臺的絕對位移x1的值越接近。由式（17）可知，當k2+2k3-2k3l0/(l0-λ0)=0 ，即 當 λ0=k2l0/(k2+2k3)時，作用力的線性部分為0，即

圖5 Fm2與u2的關系Fig.5 The relationship between andu2

3 不同激勵下的動態響應

3.1 單頻信號激勵

由上文可知，相對位移u2的幅值接近絕對位移x1的幅值，即u2≈x1。QZS系統的線性部分越接近于0，u2越接近x1。從移動平臺的響應和相關的信號測量來看，QZS傳感器對振動測量是有效的。2個自由度振動系統的相對位移可定義為

其中，a1、b1、a2、b2是式（18）和式（19）基本諧波解的值。振動平臺的絕對位移x1=u1+z，可寫成x1(t)=(a0+z0)cosωt+b1sinωt，將式（20）和式（21）代入式（18）和式（19）中，兩邊移項后，等式中sin函數和cos函數的系數等于0，可得到絕對位移和相對位移的幅值分別為[(a1+z0)2+b21]1/2和[(a2+b2)2]1/2。絕對位移x1和相對位移u2的相位分別為θ1和θ2，表達式為 θ1=arctan(-b1/(a1+z0)), θ2=arctan(-b2/a2)。由于預壓縮量λ0是QZS系統中影響隔振性能最重要的因素，所以必須滿足以下條件：①λ0≈k2l0/(k2+2k3)，即式（17）中線性部分為0；②m2? m1。這樣能夠保證傳感器的精度在一個較大的頻率范圍內且不會引起額外的耦合共振頻率。圖6所示為在不同的λ0下相對位移u2和絕對位移x1的幅頻特性和相頻特性，其中，m1=15kg，m2=1.44kg，l0=0.5m,k1=5 000 N/m，k2=300 N/m，k3=100 N/m，c1=2 N·s/m，c2=1 N·s/m，c3=2 000 N·s/m3，z0=0.003m。當 λ0=0.26 m 和λ0=0.28 m時，相對位移u2相對于絕對位移x1有較大偏差，特別是在低頻時，偏差尤為明顯。當λ0=0.3m時，在寬頻段內u2≈x1。

圖6 不同λ0下x1和u2的幅頻特性和相頻特性Fig.6 The amplitude-frequency and phase-frequency characteristics of x1and u2under different λ0

圖7所示為在λ0=0.3m時，不同等效非線性阻尼系數下u2和x1的幅頻特性和相頻特性，其他參數值同上。由圖7可以看出，共振峰的幅值隨著等效非線性阻尼系數c3的增大而減小。當等效非線性系數過小時，QZS系統會在寬頻段上出現跳頻現象（由于共振區振幅較大，根據振動狀態突變的突變理論［14］，當激勵幅值不斷增大，越過臨界值時，導致振動狀態突變，即跳頻現象。從另一個角度來說，式（18）和式（19）中有三次方項，方程在時域上可能會有多個解），導致傳感器系統無法進行測量；當非線性阻尼取值合理時，QZS系統可以有效抑制共振峰附近的幅值誤差，跳頻現象整體向左移動，拓寬了準零剛度傳感器系統的測量頻帶范圍。

圖7 不同c3下x1和u2的幅頻特性和相頻特性Fig.7 The amplitude-frequency and phase-frequency characteristics ofx1andu2under different c3

圖8所示為u2和-x1在單頻激勵下的時域對比曲線。當預壓縮量λ0取適當值時，x2≈0，u2=x2-x1≈-x1。

圖8 x1和u2的單頻時域響應Fig.8 Single frequency time?domain responseofx1andu2

3.2 多頻激勵

在仿真過程中，基座的激勵φi)，相位角φi設為0。圖9所示為相對運動和絕對運動的時域響應，圖9a、圖9b中，z1=0.001m，z1=0.001m，z2=z3=…=0，ω0=16rad/s，ω1=20rad/s；圖9c中，z0=0.004m，z1=0.003m，z2=z3=…=0，ω0=15rad/s，ω1=38rad/s。從結果可以看出，兩種運動的幅值很接近，通過調整預壓縮量λ0，兩種運動之間的誤差接近0。同樣可以看出，在不同的參數下，相對運動和絕對運動的相位值也很接近，且在圖9c中加大了激勵，誤差依然很小。據此可知，在多頻激勵下，QZS傳感器的測量信號能夠反映振動平臺的絕對運動。

3.3 隨機激勵

如圖10所示，考慮到隨機激勵，隨機輸入的平均值設為0，均方差也接近于0（10-3），隨機信號的頻率范圍設為［15,65］rad/s。

圖9 x1和u1的多頻時域響應Fig.9 Multi-frequency time-domin response of x1and u2

圖10 x1和u2的隨機時域響應Fig.10 Random time-domain response of x1andu2

圖10為相對運動和絕對運動在不同的預壓縮量λ0下的對比。當λ0=0.26m和0.28m時，u2和-x1存在較小的誤差；當λ0=0.30 m，相對位移的幅值u2接近-x1。通過調整預壓縮量λ0，兩種位移之間的誤差接近0。從上文的分析和數值仿真可知，在不同的輸入激勵（如周期激勵、隨機激勵等）下，QZS傳感器的測量結果都是有效的。

4 結論

本文提出了一種新型QZS傳感系統，通過建立傳感系統動力學模型并分析其結構和靜平衡位置，確定了傳感器結構參數的合理取值范圍，討論其在不同預壓縮量和不同等效非線性阻尼下的幅頻特性和相頻特性。從幅頻曲線圖中可以看出，系統的共振峰大幅下降，跳頻現象整體向左移動，從而實現了跳躍頻率區間的有效隔振且拓寬了準零剛度傳感系統的測量頻帶范圍。通過檢測QZS傳感器在不同激勵幅值和不同類型激勵下的測量精度，證明了QZS傳感器能夠有效測量移動平臺的絕對振動位移。

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