基于LS-TSVM與降維ESPRIT諧波檢測(cè)的研究

柏 林，唐 智，劉小峰，劉子軍

(1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044；2.重慶聚星儀器有限公司，重慶 400044)

高速列車(chē)供電系統(tǒng)的電流與電壓波形產(chǎn)生畸變后，對(duì)輸電、供電系統(tǒng)、用電負(fù)載產(chǎn)生一定的影響，其電力諧波[1]可能會(huì)造成自控系統(tǒng)的二次保護(hù)誤動(dòng)作，影響列車(chē)正常運(yùn)行，造成晚點(diǎn)，影響公眾出行。因此，對(duì)電網(wǎng)中諧波進(jìn)行快速、準(zhǔn)確地檢測(cè)對(duì)于維護(hù)電力系統(tǒng)安全、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行都具有重要意義。

目前，針對(duì)電網(wǎng)諧波的檢測(cè)方法有傅里葉變換、小波變換以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，但各種方法均存在一定的局限性。如基于小波變換的諧波檢測(cè)方法[2]，由于不同尺度的小波函數(shù)在頻域中存在互相干擾，對(duì)頻率相近的諧波分離困難；基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的諧波檢測(cè)方法[3]需要大量的訓(xùn)練樣本，且在電網(wǎng)頻率波動(dòng)情況下的檢測(cè)結(jié)果存在較大誤差；參數(shù)化諧波檢測(cè)方法，如拓展Prony方法[4]具有較高的頻率分辨率，但模型參數(shù)計(jì)算較復(fù)雜，計(jì)算量大，且抗噪能力較差；基于FFT的諧波檢測(cè)方法[5]由于電網(wǎng)基波頻率變化，導(dǎo)致在非同步采樣或非整周期截?cái)嗟那闆r下產(chǎn)生較嚴(yán)重的頻譜泄漏，使測(cè)量精度降低。

快速發(fā)展的電氣化鐵路，相對(duì)于其他諧波源，其諧波產(chǎn)生量和諧波影響范圍都更加突出，且以高次諧波居多，再加上其快速移動(dòng)的用電特性，其諧波檢測(cè)有其特殊性，在保證檢測(cè)效率的前提下，應(yīng)具有較高的諧波分辨能力。本文針對(duì)傳統(tǒng)諧波檢測(cè)方法的缺陷和牽引供電系統(tǒng)的特點(diǎn)，提出基于雙子支持向量機(jī)結(jié)合多級(jí)維納濾波器ESPRIT的牽引供電系統(tǒng)諧波檢測(cè)方法。仿真實(shí)驗(yàn)表明：該方法在確保分辨率、精度前提下，具有較好的魯棒性和較少的計(jì)算量。采用該方法對(duì)某型試驗(yàn)列車(chē)各主要環(huán)節(jié)進(jìn)行諧波檢測(cè)，取得了較為理想的測(cè)試結(jié)果。該研究方法有利于未來(lái)電氣化鐵路諧波檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的順利實(shí)施。

1 最小二乘雙子支持向量機(jī)

雙支持向量機(jī)(TSVM)把傳統(tǒng)SVM[6]中運(yùn)算量較大的規(guī)劃問(wèn)題一分為二，將原來(lái)的一個(gè)求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一對(duì)問(wèn)題進(jìn)而求最優(yōu)。采用了超松弛下降法進(jìn)行求解，該方法相較于最小二乘算法來(lái)說(shuō)，具有運(yùn)算量大、耗時(shí)長(zhǎng)等缺點(diǎn)，且最小二乘算法已能運(yùn)用在SVM以及TSVM中，故提出結(jié)合最小二乘算法的TSVM[7]。

對(duì)線(xiàn)性樣本集(xi，yi)進(jìn)行回歸預(yù)測(cè)問(wèn)題，TSVM的思路是尋求一對(duì)線(xiàn)性函數(shù)。

( 1 )

式中：w1，w2∈Rn；b1，b2∈R。通過(guò)對(duì)f1(x)與f2(x)進(jìn)行平移，可得控制區(qū)域的上界限與下界限，在盡量壓縮上下界限的同時(shí)，保證輸入的樣本(xi，yi)能在上下界之間。利用該樣本集訓(xùn)練回歸函數(shù)。

( 2 )

使f(x)預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值之間的誤差ε允許在誤差范圍內(nèi)較好地?cái)M合樣本集。最小二乘的核心是把SVM中以不等式形式存在的約束條件轉(zhuǎn)化為用等式進(jìn)行約束，并且懲罰項(xiàng)用一次項(xiàng)替換為二次項(xiàng)，修改了不等式的約束條件，用一個(gè)等式約束來(lái)替代，最小二乘TSVM求解兩個(gè)優(yōu)化問(wèn)題。

s.t.Y-(Xw1+eb1)=-ε1e-ξ1

( 3 )

s.t. (Xw2+eb2)-Y=-ε2e-ξ2

( 4 )

式中：c1，c2，c3，c4，ε1，ε2是正的參數(shù)。對(duì)于式( 3 )的優(yōu)化，目標(biāo)函數(shù)中除去正則項(xiàng)為‖Y-(Xw1+eb1)‖2，極小化中間項(xiàng)意味著要求函數(shù)f1(x)盡可能擬合訓(xùn)練樣本，后面的松弛項(xiàng)結(jié)構(gòu)限制條件要求訓(xùn)練樣本的輸出盡可能大于控制下線(xiàn)f1(x)-ε1，同樣對(duì)于優(yōu)化式( 4 )，目標(biāo)函數(shù)除正則項(xiàng)外要求f2(x)盡可能小于控制上限f2(x)+ε2。為使參數(shù)ε1、ε2達(dá)到最小值，從而使訓(xùn)練樣本被“夾”在這對(duì)控制上下界函數(shù)之間。分別求對(duì)w1與b1的偏導(dǎo)，令其為零，即

( 5 )

( 6 )

獲得正確的權(quán)值和偏置后，便求得回歸預(yù)測(cè)函數(shù)f(x)。從上述推導(dǎo)可見(jiàn)，LS-TSVM計(jì)算過(guò)程中并未出現(xiàn)參數(shù)迭代求解，故對(duì)應(yīng)的運(yùn)算量較小。

2 LS-ESPRIT頻率提取方法

ESPRIT原理是正弦信號(hào)的頻率以及幅值不會(huì)因?yàn)闀r(shí)移而發(fā)生變化，故可用該方法估計(jì)其頻率成分，進(jìn)而估計(jì)出待測(cè)信號(hào)幅值及初始相位。

假設(shè)s(n)是由K個(gè)正弦分量加上觀測(cè)噪聲組成

( 7 )

式中：K為諧波成分的數(shù)目；ωk、ak、φk對(duì)應(yīng)諧波k的頻率、幅值以及相位；u(n)表示信號(hào)中的噪聲成分。忽視直流部分，可將式( 7 )改寫(xiě)成指數(shù)形式

( 8 )

復(fù)正弦部分可表示為

( 9 )

使用信號(hào)子空間表示方法可將式( 8 )寫(xiě)成M維等式

S(n)=EΦnA+U(n)

(10)

其中，

S(n)=[s(n)s(n+1) …s(n+M-1)]T

U(n)=[u(n)u(n+1) …u(n+(M-1))]T

Φ=diag{ejω1，ejω2…，ejωK}

由式( 9 )可得

(11)

同理可得

S(n)=S(n+1)=

[s(n+1)s(n+2) …s(n+M)]T

(12)

S′(n)=EΦn+1A+U(n+1)

(13)

由自相關(guān)、互相關(guān)矩陣定理可得

(14)

(15)

用求信號(hào)子空間特征方程的問(wèn)題求解諧波頻率

Rtαi=λiRttαii=1，…，K

(16)

將式(14)、式(15)帶入式(16)得

EAAHEHαi=λiEAAHEαii=1，…，K

(17)

即

EAAH(I-λiΦH)EHαi=0i=1，…，K

(18)

由式(18)求得諧波頻率為

λi=ejωi

ωi=angle(λi)i=1，…，K

(19)

3 基于降維ESPRIT-TSVM諧波檢測(cè)方法

盡管能夠用ESPRIT進(jìn)行頻率計(jì)算，但該過(guò)程需計(jì)算樣本協(xié)方差矩陣的逆以及特征值分解，同樣需要較大的運(yùn)算量。高次諧波廣泛存在于牽引電力系統(tǒng)中，為準(zhǔn)確檢測(cè)出諧波成分并且提升算法時(shí)效，有必要在得到諧波成分的頻率信息之后再進(jìn)行TSVM分析。

本文為降低ESPRIT計(jì)算量，采用基于多級(jí)維納濾波器(MSWF)[8-9]對(duì)信號(hào)進(jìn)行前置降維處理。圖1為MSWF結(jié)構(gòu)。

圖1 多級(jí)維納濾波器結(jié)構(gòu)

(20)

逐級(jí)反推得到標(biāo)量維納權(quán)序列為

(21)

總的最佳權(quán)為

WMWF=TDWD

(22)

MSWF的前向部分與后向部分均含有迭代，若用D表示迭代數(shù)，降維則是將MN-1維的信號(hào)映射為D維度矢量，即對(duì)濾波的計(jì)算量進(jìn)行了降低。

采用TSVM結(jié)合ESPRIT的諧波檢測(cè)算法整體步驟如下：

步驟1用采集得到的時(shí)域信號(hào)構(gòu)成陣列接收陣

S(n)=[s(n)s(n+1) …x(n+M-1)]T

式中：M為陣元數(shù)；M+n為總采樣數(shù)目。

步驟2當(dāng)連續(xù)3次分解以后，期望數(shù)據(jù)di與觀測(cè)數(shù)據(jù)Xi的互相關(guān)系數(shù)小于閾值時(shí)，則降維結(jié)束。根據(jù)式(20)、式(21)計(jì)算降維矩陣TD和綜合矩陣WD，利用MSWF降維技術(shù)對(duì)空域信號(hào)接收矩陣進(jìn)行降維，觀測(cè)輸入信號(hào)經(jīng)降維矩陣TD處理之后得到的D維向量XD=TDWDS(n)。

步驟3利用前降維后的信號(hào)子空間XD取代式(10)中的被分析時(shí)空域信號(hào)S(n)，根據(jù)式(13)～式(19)得諧波頻率ωi=angle(λi)(i=1，…，K)。

步驟4將步驟3中的諧波頻率ωi組成輸入向量

z(n)=[cos(ω1n) … cos(ωMn)

sin(ω1n) … sin(ωMn)]T

令w=[a11…a1Ma21…a2M]T，忽略噪聲項(xiàng)，則式( 7 )中的被分析信號(hào)可表示為

(23)

式中：a1k=Aksin(φk)；a2k=Akcos(φk)。根據(jù)參數(shù)a1k與a2k可得諧波的幅值A(chǔ)k與相位φk。

(24)

求解a1k與a2k可變換為求式(23)的線(xiàn)性回歸問(wèn)題，通過(guò)TSVM求解回歸系數(shù)w，即可得到每個(gè)頻率成分對(duì)應(yīng)的Ak與φk。

步驟5采用閾值去除方式，把幅值小于閾值的成分篩掉，從而減少虛假頻率的干擾。

4 綜合性能仿真法分析

這里從算法的魯棒性、精度、時(shí)效3個(gè)維度對(duì)其進(jìn)行測(cè)試分析，并與其他算法進(jìn)行對(duì)比，用于算法測(cè)試的計(jì)算機(jī)硬件參數(shù)：CPU i5-2430，4GB運(yùn)存，仿真軟件為

MATLAB 2015b。仿真信號(hào)為

f(x)=100sin(2π·49.8t)+5sin(2π·1 444.2t+

π/2)+sin(2π·1 494t+π/3)+5sin(2π·1 543.8t+

π/4)+sin(2π·2 490t)

信真信號(hào)時(shí)域波形如圖2所示。采樣頻率為16 kHz，采樣時(shí)寬30 ms，共采樣480點(diǎn)。設(shè)c1=c2=0.000 1，ε1=ε2=0.01，陣元數(shù)200，快拍數(shù)280，信號(hào)加高斯白噪聲。

圖2 仿真信號(hào)時(shí)域波形

本文方法的主要特點(diǎn)是在ESPRIT進(jìn)行頻率估計(jì)過(guò)程中加入多級(jí)維納濾波器進(jìn)行降維，減少運(yùn)算量。將采用維納濾波器降維的ESPRIT頻率估計(jì)方法與常規(guī)ESPRIT頻率估計(jì)進(jìn)行對(duì)比，用MATLAB編寫(xiě)程序，計(jì)算結(jié)果和計(jì)算時(shí)長(zhǎng)見(jiàn)表1。

表1 降維前后ESPRIT及FFT比較

表1中計(jì)算時(shí)長(zhǎng)采用20次實(shí)驗(yàn)的平均值作為最終結(jié)果。從表1數(shù)據(jù)可以看出，采用維納濾波器的ESPRIT頻率估計(jì)方法和常規(guī)ESPRIT頻率估計(jì)方法在精度上比較接近，但在計(jì)算時(shí)長(zhǎng)上，采用維納濾波器降維的ESPRIT頻率估計(jì)大約需要0.007 219 s，而不采用維納濾波器的ESPRIT頻率估計(jì)方法大約需要0.103 042 s，采用維納濾波器降維的ESPRIT能有效減少頻率估計(jì)等待時(shí)長(zhǎng)，提高計(jì)算效率。

除了運(yùn)算效率，表1中我們還將該方法與傳統(tǒng)的FFT頻率計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，從表1可以看出FFT在計(jì)算時(shí)長(zhǎng)上與降維的ESPRIT方法相差不大，但是在相同的采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度(480點(diǎn))的情況下，F(xiàn)FT的計(jì)算精度遠(yuǎn)不及ESRIT。

本文還研究不同噪聲環(huán)境對(duì)降維ESPRIT頻率估計(jì)精度的影響，對(duì)采集到的信號(hào)分別加入30、50、70 dB的高斯白噪聲進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果如圖3所示。

圖3 噪聲對(duì)計(jì)算精度的影響

根據(jù)計(jì)算結(jié)果可以看出，在添加30、50、70 dB的高斯白噪聲后，運(yùn)算結(jié)果差距并不大，故本文的頻率估計(jì)算法除了運(yùn)算效率高以外，同時(shí)也具有較好的魯棒性。

用表1得到的頻率信息構(gòu)造最小二乘雙子支持向量機(jī)訓(xùn)練的輸入向量，繼而求出諧波的幅值和相位。本文還將TSVM算法和SVM算法進(jìn)行了對(duì)比，對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 TSVM與標(biāo)準(zhǔn)SVM對(duì)比

由表2數(shù)據(jù)可知，TSVM與SVM在計(jì)算諧波幅值和相位時(shí)計(jì)算精度差距不大，但TSVM算法在計(jì)算時(shí)長(zhǎng)上占有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)。TSVM計(jì)算時(shí)長(zhǎng)大約為SVM計(jì)算時(shí)長(zhǎng)的四分之一，這也和理論研究相吻合。TSVM把規(guī)劃問(wèn)題一分為二后，規(guī)劃問(wèn)題的復(fù)雜度僅為原來(lái)的1/2。假設(shè)樣本數(shù)量為n，SVM的運(yùn)算量為8n3，則TSVM的運(yùn)算量為2n3。

運(yùn)用本文方法完整檢測(cè)出諧波的頻率、幅值、相位后，還與矩陣束法[12]進(jìn)行了比較。采用矩陣束算法計(jì)算所得結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 矩陣束檢測(cè)結(jié)果

采用上述兩方法對(duì)20組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)絕對(duì)誤差的均方根值，以降低算法對(duì)比的隨機(jī)性，其結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 絕對(duì)誤差的均方根值

從表4的結(jié)果分析可知：當(dāng)信噪比為30 dB時(shí)，兩種方法的精度較好，但本文算法略高于矩陣束算法。文中方法在降維過(guò)程中若MSWF分解的級(jí)數(shù)多于待測(cè)信號(hào)中的諧波數(shù)目，可能引入虛假頻率，在20次實(shí)驗(yàn)中，虛假頻率并不會(huì)持續(xù)存在，其幅值常低于0.01。20次連續(xù)仿真中，本文算法最高運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)為0.009 358 s，最少運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)為0.005 597 s，運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)的均方根值為0.007 6 s；而矩陣束法對(duì)應(yīng)時(shí)長(zhǎng)為0.028 0、0.014 5、0.018 7 s。相比而言，矩陣束法明顯比本文算法的時(shí)效性差，當(dāng)待檢信號(hào)諧波頻率較高時(shí)，根據(jù)采樣定理需要提高采樣頻率，此時(shí)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)增多，由于本文算法進(jìn)行了降維，應(yīng)用價(jià)值更高。

5 應(yīng)用

研究列車(chē)供電系統(tǒng)諧波監(jiān)測(cè)方法不但能時(shí)刻監(jiān)測(cè)列車(chē)電力系統(tǒng)的狀態(tài)，還能用于設(shè)計(jì)者檢驗(yàn)列車(chē)諧波特性是否滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。圖4為試驗(yàn)列車(chē)主電路圖。該方案采用的硬件設(shè)備有德國(guó)CRONOS-PL以及美國(guó)NI公司的數(shù)據(jù)采集卡，下位機(jī)由imc devices對(duì)電力數(shù)據(jù)采集通道進(jìn)行配置，上位機(jī)采用具有數(shù)據(jù)顯示等相關(guān)功能的LabView程序，并對(duì)記錄的數(shù)據(jù)采用MATLAB離線(xiàn)分析。

圖5是列車(chē)運(yùn)行速度為300 km/h時(shí)采集的牽引電機(jī)電流信號(hào)，從圖5時(shí)域波形可以看出信號(hào)中有較為嚴(yán)重的畸變，從采集的信號(hào)中截取200 ms進(jìn)行分析，加漢寧窗，得其頻譜圖，如圖6(a)所示，截取40 ms數(shù)據(jù)應(yīng)用本文算法進(jìn)行分析處理，計(jì)算諧波參數(shù)，得到頻譜圖，如圖6(b)所示。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證ESPRIT-TSVM方法的實(shí)用性，采用該方法對(duì)動(dòng)車(chē)電力系統(tǒng)進(jìn)行諧波分析，同時(shí)列出了FFT算法的分析結(jié)果。

從圖6可以看出，采用FFT得到的諧波成分與采用本文方法提取的頻譜圖數(shù)值較為接近，在一定程度上也佐證了本文方法的準(zhǔn)確性，實(shí)測(cè)發(fā)現(xiàn)采用本文方法計(jì)算得到的諧波成分予以剔除，優(yōu)于直接采用FFT法。

圖4 試驗(yàn)列車(chē)主電路圖

圖5 列車(chē)速度300 km/h電流信號(hào)

(a)傅里葉頻譜

(b)本文提取譜圖6 列車(chē)頻譜圖

圖7(a)為本方案上位機(jī)測(cè)試軟件的主界面，主要信息包含各個(gè)測(cè)點(diǎn)的諧波占比、諧波譜圖等，采用圖表加文字的方式更加清晰；圖7(b)為列車(chē)時(shí)速380 km時(shí)的網(wǎng)側(cè)電流分析結(jié)果，主要包含33次以下的奇次諧波，諧波成分中23、25、27、29、33次諧波所占比重較大，若不加以控制，可能會(huì)導(dǎo)致較大干擾電流的產(chǎn)生。

(a)測(cè)試軟件主界面

(b)380 km/h網(wǎng)側(cè)電流諧波分布圖7 測(cè)試軟件主界面及網(wǎng)側(cè)電流諧波分布

從圖8可以看出，在列車(chē)運(yùn)行速度小于210 km/h時(shí)，隨著車(chē)速的增加，THD值迅速降低，但仍比要求的10%要高；在列車(chē)速度超過(guò)210 km/h后THD值變化比較平穩(wěn)，表明此時(shí)THD受車(chē)速的影響開(kāi)始變小，但普遍大于8%；在車(chē)速大于450 km/h后，THD又呈現(xiàn)出增加的趨勢(shì)。

圖8 不同速度下的網(wǎng)側(cè)電流諧波畸變率

6 結(jié)論

本文在支持向量機(jī)結(jié)合ESPRIT諧波檢測(cè)的方法上進(jìn)行改進(jìn)，提出LS-TSVM結(jié)合多級(jí)維納濾波器降維ESPRIT的檢測(cè)方法。利用多級(jí)維納濾波器降維的ESPRIT快速估計(jì)出諧波的頻率，用得到的頻率信息構(gòu)造最小二乘雙子支持向量機(jī)的輸入向量得到諧波的幅值與相位。經(jīng)過(guò)仿真試驗(yàn)獲得如下結(jié)論：

(1)在相同的電網(wǎng)諧波數(shù)據(jù)量之下，該算法與傳統(tǒng)的FFT等方法相比具有更好的計(jì)算精度。

(2)通過(guò)采用多級(jí)維納濾波器降維后，降低了程序的運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)，提高了諧波檢測(cè)的效率。

(3)本文方法在不同的噪聲環(huán)境均保持可觀的精度，具有較好的魯棒性。

該方法能準(zhǔn)確檢測(cè)出電網(wǎng)諧波的頻率、幅值以及相位，具有較好的實(shí)用價(jià)值，并且已在某型列車(chē)電網(wǎng)中進(jìn)行應(yīng)用，反映良好。

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