基于模態綜合法的永磁同步電機動力學分析

盧 鵬，方明霞

(同濟大學，上海 200092)

0 引 言

永磁同步電機具有質量輕、效率高、調速范圍寬等優點，目前已成為電動汽車中驅動電機的主流。由于車用永磁同步電機的非線性電磁振動對整車的舒適性影響較大，隨著電動汽車的發展普及，對車用永磁同步電機振動特性進行研究已引起眾多學者的關注。由于電磁轉矩波動和電磁徑向力波動是引起永磁同步電機振動的主要因素。因此，在分析電機振動時首先需建立電磁力的解析模型。文獻[1]針對表貼式永磁同步電機，提出了在外載荷作用下氣隙磁密的計算方法，為電磁力的解析模型建立提供了依據；文獻[2]對永磁同步電機的徑向力波進行分析，發現整數槽電機可有效降低電磁徑向力對電機振動的影響；文獻[3]根據永磁同步電機電磁場理論，建立了考慮開槽和高次諧波的電磁轉矩解析模型，并通過有限元方法進行了驗證。永磁同步電機中電磁力的研究為電機動力學特性分析奠定了理論基礎。

永磁同步電機屬于機電耦合系統，其結構比較復雜，目前對其動力學特性進行研究主要采用有限元法或將其結構進行簡化，建立電機低自由度的解析模型。文獻[4]采用有限元法對電機的振動特性進行分析，發現電磁力頻率接近結構固有頻率時對電機振動影響較大；文獻[5]采用有限元方法對永磁同步電機在不同結構參數下的電磁振動進行仿真分析，并與實驗結果進行對比，兩者具有較好的一致性；文獻[6]通過有限元仿真得到了不同極槽配合下的振動頻譜，仿真結果與實驗結果基本一致。有限元法對復雜系統動力學特性進行研究具有較強的實用性，但是無法定性描述系統的動力學行為。為了從機理上研究永磁同步電機的動力學特性，文獻[7]將電機定子簡化為質量-彈簧-阻尼系統，建立電機振動的理論模型，發現電機振動的頻率主要為2倍和6倍的基波頻率；文獻[8]采用解析方法分析了表貼式永磁同步電機的主要振動頻率和振動響應幅值。但是目前電機的解析模型主要將電機作為剛體或取電機的前幾階模態進行分析，剛體或低自由度的簡化模型難以準確描述電機機電耦合系統復雜的動力學行為。為此本文將電機分為轉子子結構、定子子結構和軸承連接子結構，采用模態綜合法建立永磁同步電機機電耦合系統動力學模型，并對其響應特性進行分析。本文研究對永磁同步電機動力學特性的基礎研究具有重要的促進作用。

1 永磁同步電機電磁力分析

電磁轉矩和電磁徑向力主要由定子和轉子之間氣隙磁場的相互作用產生，是永磁同步電機的主要振動源。電磁轉矩波動會引起電機的扭轉振動，徑向力波動則會引起電機的徑向振動。為了建立電機的動力學模型，必須首先得到電磁力的解析模型。

(1)電磁轉矩

考慮永磁體磁場為正弦分布，并忽略定子開槽等因素的影響，電磁轉矩可表示為如下線性形式[9]：

(1)

式中：p為極對數；ψ1為基波磁鏈；id，iq分別為d，q軸電流；Ld，Lq分別為d，q軸電感。

考慮定子開槽時，電磁轉矩可表示為如下非線性形式[3]：

式中：θ為轉子d軸超前A相軸線的機械角度；ψ2k-1為定子的第2k-1階磁鏈。

(2)電磁徑向力

電磁徑向力為定轉子單位面積上的電磁壓力，其作用于轉子、定子上的示意圖如圖1所示。

(a) 轉子電磁徑向力

(b) 定子電磁徑向力

根據Maxwell應力方程，電磁徑向力可表示：

式中:P(α,t)為電磁徑向力;B(α,t)和Bt(α,t)為徑向和切向氣隙磁密;μ0為真空磁導率;α為位置角度;t為時間。

由于徑向氣隙磁密B一般遠大于切向氣隙磁密Bt，因此徑向力可近似表示為如下非線性形式：

(3)

徑向氣隙磁密B可采用磁勢乘磁導法求得，正弦波供電時：

2 永磁同步電機動力學模型建立

永磁同步電機中，扭轉振動和徑向振動是電機異常噪聲的主要原因。本文以某8極24槽永磁同步電機為研究對象，將其分為轉子子結構、定子子結構和軸承連接子結構，并將轉子作為剛體，定子作為彈性體，采用考慮連接子結構的模態綜合法建立電機在電磁轉矩和電磁徑向力作用下的動力學模型。

2.1 電機結構介紹

表貼式永磁同步電機通常由轉子鐵心、永磁體、定子鐵心和定子機殼組成，轉子和定子之間通過軸承連接，其結構示意圖如圖2所示。

(a)立體圖

(b)平面圖

電機相關參數如表1所示。

表1 樣機參數表

根據永磁同步電機結構形式，將電機分為轉子子結構r、定子子結構s和軸承連接子結構o。不考慮連接子結構自重，作用于r和s界面上的連接力用油膜力表示[10]：

(5)

式中：kij為油膜剛度系數，表示j方向的單位位移在i方向產生的作用力；dij為油膜阻尼系數，表示j方向的單位速度在i方向產生的作用力。

2.2 轉子動力學模型

(6)

2.3 定子動力學模型

(7)

定子的模態矩陣可由下式得到：

(Ks-λsMs)φs=O

(8)

式中：O為單列零矩陣。

(9)

式中：qs為定子模態坐標。考慮繞組的電機定子前5階模態頻率列于表2，其振型如圖3所示。

表2 電機定子的模態頻率

(a) 第1階振型

(b) 第2階振型

(c) 第3階振型

(d) 第4階振型

(e) 第5階振型

于是定子子結構s在模態坐標下的運動微分方程：

(10)

2.4 模態綜合法建立電機系統動力學模型

電機系統子結構連接模型如圖4所示，不考慮軸承連接子結構的自重，轉子子結構受電磁力和軸承連接力的作用，而定子子結構在模態坐標下的運動微分方程中，廣義力由電磁力和軸承連接力與振型相乘而得到。

圖4 子結構連接模型示意圖

電機系統的動力學方程可表示：

(11)

3 永磁同步電機動力學響應分析

3.1 數值方法求解系統動力學響應

(12)

采用數值方法求解系統狀態方程，得到轉子的位移響應和定子鐵心上一節點的位移響應如圖5所示。

(a) 轉子繞z軸轉動角位移

(b) 轉子x方向位移

(c) 轉子y方向位移

(d) 定子x方向位移

(e) 定子y方向位移

從圖5中可以看出，電機轉子繞z軸轉動的角位移隨時間的增加而增大，轉子x方向的位移幅度約為-7.41×10-11～6.84×10-11m，y方向的位移幅度約為0～1.02×10-9m。而定子x方向的位移幅度約為-1.79×10-9～-1.37×10-9m，y方向的位移幅度約為1.58×10-9～2.00×10-9m。由于系統中存在非線性電磁轉矩和非線性電磁徑向力，因此系統的位移響應具有明顯的非線性特性。

3.2 有限元方法求解系統動力學響應

為了驗證建模方法的正確性，采用有限元法對永磁同步電機的振動特性進行分析。圖6為定子的有限元模型。

圖6 定子有限元模型

將徑向力集中在定子內圈的齒上，通過瞬態分析計算定子的響應特性，圖7為定子鐵心上同一節點的位移響應曲線。

(a) 定子x方向位移

(b) 定子y方向位移

由圖7可以看出，定子x方向的位移幅度約為-1.94×10-9～-1.28×10-9m，y方向的位移幅度約為1.49×10-9～2.19×10-9m。

3.3 結果對比

為便于對比，現將解析模型和有限元模型獲得的定子鐵心上同一節點的位移響應結果列于圖8。

(a) x方向位移理論值

(b) x方向位移有限元值

(c) y方向位移理論值

(d) y方向位移有限元值

從圖8中可以看出，對定子鐵心上的同一節點，通過求解系統動力學方程和有限元法得到的x方向位移響應的最大值相差6.57%，最小值相差8.38%；y方向位移響應的最大值相差9.50%，最小值相差5.70%。誤差均小于10%，滿足工程要求。

4 不同參數對定子動力學響應的影響

上節研究表明，采用模態綜合法建立電機的動力學模型具有足夠的精度，現采用式(11)分析不同參數下電機的動力學特性，給出不同參數的取值原則。

4.1 氣隙長度的影響

作用于電機定轉子上的電磁力主要通過氣隙磁場產生，為了分析不同氣隙長度下電機的動力學響應，針對上述電機改變永磁體厚度從而改變氣隙長度，得到氣隙長度g∈(0,2 mm)時定子的加速度響應。圖9給出g=0.001 m時定子節點的最大加速度響應，不同氣隙長度下定子節點的最大加速度如圖10所示。

(b) y方向加速度

圖10 不同氣隙長度下定子節點的最大加速度

從圖10可以看出，在不改變定轉子結構尺寸的情況下，增加氣隙長度，定子的最大振動加速度也會增大。所以為了減小定子的振動加速度，在結構參數滿足其他要求的情況下，應盡量減小電機的氣隙長度。

4.2 極弧系數的影響

圖11 不同極弧系數下定子節點的最大加速度

由圖11可知，通過改變極弧角的方式改變電機的極弧系數時，定子的最大振動加速度會隨著極弧系數的增加而增大。因此為了減小定子的振動加速度，電機的極弧系數應在滿足結構其他要求的情況下盡量取較小值。

5 結 語

根據引起電機振動的主要因素，本文首先對電磁轉矩和電磁徑向力進行了分析，其解析模型具有非線性特性。然后建立了電機在電磁轉矩和電磁徑向力作用下的動力學方程。由于定子的徑向振動是電機噪聲的主要振源，所以將定子作為彈性體，利用模態綜合法縮減自由度，建立了定子在模態坐標下的動力學模型。

由于系統的動力學方程是復雜的非線性方程，從理論上求解比較困難，本文通過數值方法求解得到系統的振動響應。利用有限元軟件模擬定子在電磁徑向力作用下的振動，得到的位移響應結果與理論方法得到的結果誤差較小，可滿足工程應用要求。

對于工程上比較關心的結構加速度響應，本文分別改變電機的氣隙長度和極弧系數計算得到不同參數下定子x，y方向的加速度響應。從加速度響應結果可以看出，定子的最大振動加速度會隨著氣隙長度和極弧系數的增加而增大。所以為了減小電機的振動加速度，在電機結構滿足要求的情況下，應盡量減小電機的氣隙長度和極弧系數。

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