均勻重力場中質點在光滑圓柱面上的撓曲線運動

李 力

(重慶清華中學，重慶 400054)

在理論力學和分析力學課程里，通常研究質點的平面曲線運動。這些做平面曲線運動的質點，多數被約束在二維平面上，也有一些被約束在二維曲面上。約束在二維曲面上發生的一般的空間撓曲線運動，卻很少涉及。空間曲線不僅有彎曲的性質，而且還有扭轉從而離開平面形式的性質。前一性質用曲率描述，后一性質則用撓率刻畫。平面曲線的撓率恒等于零，反之，撓率恒等于零的曲線必是平面曲線。所謂撓曲線，就是撓率不恒為零的曲線[1]，這種空間撓曲線運動的處理，不可避免地要用到更多的數學方法，比如微分幾何的曲線、曲面論，某些特殊函數的知識等。

本文研究了均勻重力場中的質點在光滑圓柱面上的撓曲線運動，用牛頓定律或拉格朗日方程推導質點的運動微分方程，然后解得質點脫離圓柱面的位置滿足的方程以及脫離前的運動時間，最后導出用橢圓積分表示的撓曲線運動軌跡的參數解析表達式。

1　質點在光滑圓柱面上的運動微分方程

在如圖1所示的光滑1/4圓柱面以及圓柱坐標系(ρ，φ，z)中，質點的初位置在圓柱面的最上端A(R，0，0)，初速度v0在過A點的水平切面內，與Oz軸夾角為α，沿Oz、Oy軸的分速度分別為v1，v2。顯然有初始條件?z0=v1=v0cosα，R?φ0=v2=v0sinα，即

圖1　質點在光滑圓柱面上的撓曲運動

順便指出，用拉格朗日方程也可以簡便地推導出(3)、(4)兩式，此處不再贅述。

2　z和?φ的推導

由式(4)積分，并考慮初始條件，得?z=v1，故

因?φ＞0，故取

3　脫離位置與脫離時間

將式(6)代入式(2)，并令 N=0、φ=φm，有

由于在A點不脫離圓柱面，須v2＜ g R，從而式(3)右端另外，若v=0，則脫離2位置cosφm=，這正是理論力學課程中熟悉的結論[3]。

故式(7)化為

得到脫離時間

其中F(k，φ)是勒讓德第一類橢圓積分[4]，即而φm由式(8)定出。

4　運動軌跡方程的解析表達式

為了得到在圓柱面上的運動軌跡方程，只需在式(10)中作代換T→t，φm→φ，并同式(5)聯立，即得用橢圓積分表示的撓曲線運動軌跡的參數解析表達式為

或者直接寫成

按照微分幾何曲線論[1]，得到運動軌跡在直角坐標系中以時間t為參數的曲線表達式為

如果以z為參數，則曲線的參數方程可寫為

其中φ(t)，φ(z)分別是由式(11)和式(12)所定義的φ與t、φ與z之間的函數關系。

5　結語

研究均勻重力場中的質點在光滑圓柱面上的撓曲線運動，有一定的理論意義和應用價值。本文用牛頓定律或拉格朗日方程推導質點的運動微分方程式(2)～(4)，然后解得質點脫離圓柱面的位置滿足的方程(8)以及脫離前的運動時間式(10)，最后導出用橢圓積分表示的撓曲線運動軌跡的解析參數表達式(11)～(14)。

因為圓柱面上過A點的沿v0方向的平面截線是橢圓，而式(11)～(14)表明運動軌跡并非橢圓，所以質點做撓曲線運動;又由變分法可知，圓柱面上的測地線(即短程線)是螺旋線[5]，故質點的運動軌跡也不是測地線。另外，用微分幾何可以證明，在只受曲面法向約束力時，質點必沿測地線運動[6]，而我們討論的本問題還要考慮均勻重力場的作用，因此更為復雜。由此可以看出，均勻重力場中的質點，在任意形狀的光滑曲面上的空間撓曲線運動，求解起來有相當的難度，一般而言是不容易得到或者根本不存在解析表達式的。