支付模糊圖合作博弈分配模型及其應用

蘇東風, 楊 潔

(1.福州大學經濟與管理學院, 福建 福州　350116; 2.福建農林大學管理學院, 福建 福州　350002)

0　引言

博弈論也稱對策論, 合作博弈作為博弈論的重要分支, 主要研究局中人如何形成聯盟以及聯盟收益(支付)如何分配.傳統合作博弈中, 用實數表示聯盟收益的期望值, 即合作博弈的支付函數是清晰的.然而通常情況下, 合作博弈的聯盟收益是局中人在真正結盟之前對聯盟獲利的一種預判估值, 其受到現實環境不確定性、 信息不準確性, 以及局中人主觀期望與風險態度差異等因素影響, 聯盟收益估值幾乎都為模糊值[1-2].如, 常見聯盟收益往往因市場需求、 市場交易價格等不確定只能模糊估值, 往往有“銷售量在18萬件左右”, “總收益大約是450萬元”等表述.為此, 應用模糊數表示聯盟期望收益, 即合作博弈的支付函數是模糊的, 可以提升決策的科學性.支付模糊合作博弈問題自Mares[2]提出以來, 不斷受到相關學者的關注[3-4], 特別是模糊支付合作博弈的Shapley值最為典型[5-7].但此類合作博弈研究大都集中于“局中人可自由結盟”假設, 其模糊解未體現出結盟的限制性.現實生活中, 由于局中人之間受到資源、 文化沖突或競爭地位等因素的影響, 其合作結盟往往不是任意的, 而是具有某種限制約束性.

針對此類情況, Myerson[8]用無向連通圖表示效用可以轉移的合作博弈, 以圖的頂點表示局中人, 以圖的邊表示局中人的交流聯系, 從而引入了具有交流結構的合作博弈(也稱“圖合作博弈”), 并提出著名的Myerson值.沿此思路, 部分學者開展了一類限制交流合作博弈的經典A-T解研究.2008 年, Talman等[9]定義了無圈圖合作博弈的平均樹解(average tree solution , 簡稱為“A-T 解”)和子核心, 并討論A-T 解可能存在于子核心中的條件.Herings等[10]討論了A-T 解的分支有效性和分支公平性兩個特殊性質.Mishra等[11]、 Béal等[12]深入論證了該解具有的優良性質, 如在超可加合作博弈中A-T解存在于核心中, 但Myerson值卻不滿足； A-T 解邊際特征向量的計算量大大簡化等.具有限制交流結構圖合作博弈的研究雖然能體現“限制結盟”的特點, 但研究主要集中于清晰確定信息的經典研究之中.當前, 僅少量圖合作博弈文獻涉及模糊信息.Jiménez-Losada等[13]定義了具有模糊交流結構合作博弈的模糊Myerson值.聶翠平等[14]定義了聯盟模糊的圖合作博弈, 并對經典A-T 解進行推廣.文[15]則針對區間值模糊聯盟拓展了模糊A-T解.可見, 目前關于模糊信息下圖合作博弈的研究遠遠少于任意結盟假設下的模糊合作博弈研究.

鑒于現實合作結盟中約束性和模糊性的普遍存在, 本研究針對具有限制交流結構的圖合作博弈, 通過引入λ截集置信水平, 提出一種具有支付模糊的圖合作博弈分配解模型, 建立公理化體系對此解的性質進行討論.此外, 將模型應用到產學研協同創新收益分配實例中, 并與模糊Shapley值進行比較分析.

1　模糊數及其λ截集

(1)

模糊數是實數的推廣, 而區間數是十分重要的一種模糊數.區間數不僅具有集合的特征, 而且具有實數的某些性質.區間數有如下運算規則：

2　具有限制結盟的模糊圖合作博弈及其A-T解

2.1　具有限制結盟的模糊圖合作博弈

三元組(N,v,L)表示經典(清晰)圖合作博弈, 其中:N={1, 2, …,n}為有限局中人集合;v:2N→R為支付函數;L?{{i,j}|i≠j,i,j∈N}為邊集, 表示局中人交流的集合, 在交流結構中只有連通的節點才可能結成聯盟.若L={{i,j}|i≠j,i,j∈N}, 稱(N,v,L)為具有完全交流結構的合作博弈, 即各局中人可自由結盟.通常所說的合作博弈便指的是這一類.若L?{{i,j}|i≠j,i,j∈N}, 則(N,v,L)為具有限制交流結構的合作博弈, 即局中人不能自由結盟.此外, 不含任何圈的合作博弈稱為無圈合作博弈.本研究討論此類無圈且有限制交流結構的圖合作博弈.

經典交流結構合作博弈中,n維A-T解AT(N,v,L)定義為[9]：

(2)

其中：i=1, 2, …,n, |BL|為BL的元素個數.

針對聯盟收益的模糊性或者不確定性, 利用模糊數來表示不確定支付函數值, 引入具有支付模糊的圖合作博弈.

2.2　模糊圖合作博弈的A-T解及其性質

(3)

(4)

根據定理1和區間模糊數相關運算規則, 有：

(5)

(6)

同理, 可得：

(7)

證明對于任意i∈N,λ∈[0, 1]和B∈BL, 有：

由式(7), 有：

因此,

從而：

(8)

進而, 根據式(5)和式(7), 有：

同理, 根據式(6)和式(8), 有：

因此, 可得：

從而：

根據式(3), 可知：

3　產學研協同創新收益分配應用

3.1　合作結盟及其收益分配

假設最大聯盟{1, 2, 3} 形成, 根據式(1)可得不同置信水平λ下的局中人的收益值, 如表1所示.

表1不同置信水平λ下的協同創新聯盟收益

Tab.1Payoffsofcollaborativeinnovationalliancesunderdifferentconfidencelevelsλ(萬元)

Lv λ({1})v λ({2})v λ({3})v λ({1, 2})v λ({2, 3})v λ({1, 2, 3}) 1.02.05.04.014.018.033.00.9[1.9, 2.1][4.8, 5.2][3.8, 4.1][13.6, 14.4][17.7, 18.4][32.2, 33.7]0.7 [1.7, 2.3][4.4, 5.6][3.4, 4.3][12.8, 15.2][17.1, 19.2][30.6, 35.1]0.5 [1.5, 2.5][4.0, 6.0][3.0, 4.5][12.0, 16.0][16.5, 20.0][29.0, 36.5]0.3 [1.3, 2.7][3.6, 6.4][2.6, 4.7][11.2, 16.8][15.9, 20.8][27.4, 37.9]0.1 [1.1, 2.9][3.2, 6.8][2.2, 4.9][10.4, 17.6][15.3, 21.6][25.8, 39.3]0 [1.0, 3.0][3.0, 7.0][2.0, 5.0][10.0, 18.0][15.0, 22.0][25.0, 40.0]

根據式(4)和式(5)可求出不同置信水平λ下聯盟{1, 2, 3}協同創新分配收益策略, 各局中人具體分配收益值如表2所示.

表2　不同置信水平λ下的協同創新分配收益策略

類似地, 可求出不同協同創新聯盟組合下的分配收益策略.

3.2　結果與方法對比

可見, 在此支付模糊下的協作創新收益分配策略是可行的, 如當置信水平λ=0.5時, 高?？煞峙涞玫绞找鏋?.00～8.33萬元, 企業可分配得到收益為14.50～21.17萬元, 科研機構可分配得到收益為6.33～11.17萬元.此外, 隨著置信水平λ的取值越大, 收益分配的區間范圍越小.

當前, 合作博弈的Shapley值方法是應用最普遍的方法, 但該解是基于可任意結盟假設, 求解過程需要得知所有子聯盟收益值.針對此類情況, 有學者認為若局中人之間無合作, 其聯盟收益便是單干收益之和, 即v({1, 3})=v({1})+v({3}), 進而利用Shapley值進行收益分配.本研究中, 若置信水平λ=1, 基于Shapley值的各局中人具體收益分配為：φ1(v1)=7.5萬元,φ2(v1)=15.0萬元,φ3(v1)=10.5萬元.對比結果, AT1(v1,L)<φ1(v1), AT2(v1,L)>φ2(v1), AT3(v1,L)<φ3(v1).可知, A-T解法相比較于Shapley值法, 企業分配收益有所增加, 而高效和科研機構分配收益有所減少, 這源于企業的無可替代地位.此結論從理論角度解釋為在社會創新活動中, 收益最大的往往是企業類組織.由此可見, 局中人在聯盟中的獲利能力不僅取決于它對聯盟收益的邊際貢獻, 還取決于在聯盟中所處的地位, 地位越重要越稀缺其所得分配則越多.

4　結語

聯盟組建及其合作行為均基于對未來獲利情況的預判, 因此預期支付估值由模糊數替代精確值更為合理可信.本研究針對合作具有結盟限制情形, 通過引入λ截集置信水平研究支付模糊的圖合作博弈, 并給出相應的模糊A-T解分配模型, 能有效刻畫現實結盟情境中的約束性和模糊性.但由于區間數運算規則, 模糊解的區間范圍被不斷擴大, 不滿足類似于經典解的有效性公理.針對這一問題, 定義相對有效性的概念, 并證明模糊解滿足相對有效性公理.此外, 由于模糊解是一個范圍值, 只要清晰聯盟支付被包含于模糊聯盟支付中, 那么清晰分配解也一定包含于模糊分配解中.因此, 此解是經典A-T解函數關于支付函數的自然模糊延拓推廣.今后將進一步根據實際問題探討更加貼近現實應用的模糊合作博弈.