半空間內橢圓夾雜對出平面荷載的Green函數解

許華南, 張連剛, 湯小偉, 王永輝

(1.龍巖學院資源工程學院, 福建 龍巖　364000; 2.北京科林斯幕墻工程咨詢有限公司, 北京　100020; 3.上海龐源機械租賃有限公司, 上海　200030; 4.哈爾濱工業大學土木工程學院, 黑龍江 哈爾濱　150090)

0　引言

地下復雜結構與裂紋復合缺陷對彈性波的散射解答對于爆炸力學、 地球物理學及材料力學性能的研究具有重大的工程實踐意義, 在地下勘測和探索、 石油開采、 采礦工程、 地下隧道工程等領域有著廣泛的應用.近20年以來, 對地下結構與復雜裂紋缺陷的解答已經有了大量的成果, 文獻[1-8]采用復變函數法、 Green函數法和裂紋“切割”技術研究了孔洞、 夾雜和裂紋的散射問題； 而文獻[9-13]則運用數值分析的方法、 基于邊界積分方程法中的非超奇異牽引法等方法解答了孔洞、 夾雜與裂紋的相互作用問題.在已有的研究成果中, 選取的結構大都具有較為規則的幾何形狀邊界, 而在實際工程中, 地下結構往往具有復雜的不規則的幾何形狀, 如橢圓形、 三角形等.研究地下不規則的橢圓形狀結構對彈性波的散射問題具有重大的工程意義.

研究彈性波入射作用下地下具有復雜幾何形狀的結構與裂紋缺陷的動力學問題, 建立Green函數為首要問題.給定一定邊界條件及初始條件, 點源入射作用下產生的位移場定義為Green函數, 本研究選取的地下結構為橢圓形夾雜, 具有不規則形狀邊界, Green函數不易建立.該問題模型的不規則邊界可采用復變函數法中的“保角映射”方法將其映射為圓形邊界, 再進一步推導彈性半空間內和表面上任意一點分別作用出平面線源載荷時產生的位移場的基本解, 即Green函數, 所得結果可為SH波入射下地下復雜結構和裂紋缺陷的動態響應問題開拓新的途徑, 并進一步服務于全空間問題的解答.

1　問題描述

如圖1所示為含橢圓形夾雜的彈性半空間模型, 圖1(a)～(b)分別為時間諧和的出平面線源荷載作用在水平表面和半空間內任意一點的情形.介質Ⅰ和介質Ⅱ分別為基體和橢圓形夾雜, 具有不同的材料常數(ρ1,μ1;ρ2,μ2).ρi和μi(i=1, 2)分別為介質的質量密度和剪切模量.假設橢圓的半長軸和半短軸長分別為al和bl, 橢圓夾雜中心與水平地表的垂直距離為h.圖中有兩個坐標系：XOY和X′O′Y′, 它們之間的關系為：

x′=xy′=y-h

(1)

圖1　出平面線源載荷作用在含橢圓形夾雜的彈性半空間模型Fig.1　Half-space model of elliptical inclusion impacted by an out-plane source load

2　控制方程

(2)

(3)

(4)

則式子(3)變成

(5)

3　彈性半空間內的位移場

在出平面線源荷載的作用下, 由于橢圓夾雜的存在會激發產生一個散射場, 夾雜內會產生一個駐波場, 具體表述如下.

3.1　基體內的散射波

在出平面線源荷載的作用下, 橢圓夾雜激發產生的散射場, 在水平表面上的應力應為零, 并滿足無窮遠處的Sommerfeld輻射條件, 同時還要滿足控制方程(4), 則該散射場的表達式可構造為

(6)

3.2　橢圓夾雜內的駐波

(7)

4　Green函數的導出

4.1　Green函數G1

本研究所求解的第一個Green函數為出平面荷載作用在含橢圓夾雜的半空間表面任意一點時的基本解, 用G1表示, 如圖1(a)所示.

邊界條件為：

(8)

在夾雜邊界的法向方向, 即η=eiθ時(R=1).

(9)

至此, 便得到了介質Ⅰ的總波場, 即第一個Green函數G1, 具體表達式如下：

(10)

總應力場為：

(11)

將相關位移場和應力場的表達式代入邊界條件(8), 可推導出

(12)

其中：

用e-imθ乘以方程組(12)兩邊, 并在區間(-π, π)上積分, 則得

(13)

其中：

式子(13)為求解未知系數An和Bn的復系數代數方程組, 通過控制邊界精度對其截斷有限項進行求解.

4.2　Green函數G2

如圖1(b)所示, 本研究的第二個Green函數為出平面線源荷載作用于含橢圓夾雜的彈性半空間內任意一點產生的位移場的基本解, 用G2來表示, 且滿足控制方程(2).邊界條件表示為式子(8).

(14)

(15)

至此, 同樣也得到了區域Ⅰ內的總位移場, 即本研究的第二個Green函數G2, 表達式如下：

(16)

總應力場為：

(17)

Green函數G2中未知系數的求解與4.1節一樣, 不再贅述.

5　動應力集中系數(DSCF)

根據已求出的兩個Green函數, 分析出平面荷載作用下彈性夾雜周邊的動應力分布問題, 從而進一步驗證本研究所推導出的Green函數的準確性.

(18)

6　算例分析

選取具體算例分別得出在兩個Green函數情況下彈性橢圓夾雜邊緣的動應力集中系數的數據圖, 分析入射波數k1, 基體與夾雜的波數比k*=k1/k2, 剪切模量比μ*=μ2/μ1, 橢圓夾雜中心到水平表面的距離h, 點源作用位置以及入射方向等參數對夾雜邊緣動態響應的力學規律.動應力集中系數公式由式子(18)定義.通過驗算, 當方程組(13)中m和n取7時, 邊界處的計算精度達10-8, 極大滿足了精度的要求, 所以本研究建立的Green函數是精確的.文獻[11]基于Green函數解, 研究了彈性半空間中單個橢圓夾雜與單個裂紋的問題, 將問題模型退化為單個圓形夾雜與裂紋的情形, 并給出了同一算例下與文獻[6]的數據比較結果, 通過對比得出兩者的數據結果近似一致的結論, 驗證了采用Green函數法解決該問題的準確性.

本研究分別考慮三種情況： 1)μ*=0.25,k*=0.5; 2)μ*=4.0,k*=2.0; 3)μ*=16.0,k*=4.0.分別表示夾雜與基體相比較硬、 較軟、 更軟.

1) 圖2～4為出平面荷載作用在彈性半空間表面即Green函數G1情況下的數據結果.

圖2　DSCF隨k1的變化Fig.2　Variation of DSCF with k1

圖3　θ=0°處DSCF隨h的變化Fig.3　Variation of DSCF with h at θ=0°

圖4　θ=0°處DSCF隨點源位置的變化Fig.4　Variation of DSCF with the location of the load at θ=0°

2) 圖5～6給出了出平面荷載作用在半空間內即Green函數G2情況下的數據結果.

圖5　DSCF的分布Fig.5　Distribution of DSCF

圖6　θ=0°處DSCF隨h、 h1的變化Fig.6　Variation of DSCF with h and h1 at θ=0°

3) 圖7給出了點源荷載作用在彈性半空間內水平地表位移|G2|隨入射波數k1變化的反應結果.點源荷載分兩個方向(h=2.0,h1=3.0;h=15.0,h1=15.0)入射.由圖7可直觀地看出, 隨著入射波數k1的增大, 水平地表位移|G2|的變化曲線呈現出越來越明顯的振蕩的動力學特征.通過圖7(a)～(b)比較可知, 點源荷載作用于同一方向時, 與基體夾雜比為μ*=0.25和k*=0.5的情況相比,μ*=4.0和k*=2.0情況下的|G2|幅值要小的多.點源荷載作用位置的不同也會導致水平地標位移|G2|變化曲線的差異.圖7(a)～(b)分別為點源荷載作用兩個方向時|G2|的變化曲線, 通過比較發現, 點源荷載入射的位置越遠, |G2|的變化曲線就越平緩, 且數值也越小.

圖7　地表位移|G2|隨k1的變化Fig.7　Variation of|G2| with k1

7　結論

本研究選取了大量的具體算例, 給出兩個Green函數情況下橢圓夾雜周邊動應力集中系數、 水平地表位移的數據結果, 探討了不同參數下彈性夾雜周邊的動應力集中、 水平地表震動的力學規律, 得出以下結論.

3) 本研究所得計算結果可為地下橢圓夾雜的彈性波動問題提供參考, 以所建立的Green函數為理論基礎, 可進一步研究解決地下復雜結構和裂紋缺陷的動態響應問題, 拓展至全空間問題模型的研究, 為地下復雜結構的勘探、 無損檢測等領域提供理論參考.