“問題化”：數學“史學形態”轉化為“教育形態”的實踐路徑

孟 夢，李鐵安

?

“問題化”：數學“史學形態”轉化為“教育形態”的實踐路徑

孟 夢，李鐵安

（中國教育科學研究院，北京 100088）

充分發揮數學史教育功能的基本理路是將數學的“史學形態”轉化為“教育形態”．將數學史料“問題化”則是把數學“史學形態”轉化為“教育形態”的有效路徑．數學史料“問題化”是指通過深入挖掘蘊涵于數學史料背后的數學知識與育人要素，并將其轉化為有利于促進學生數學學習的一系列問題．“問題化”是數學“史學形態”向“教育形態”轉化的方法論創新，是數學文化價值向育人價值轉化的內在價值突破，并能促進數學課堂教學內在規律的良性實現．史料選擇、問題設置、教學設計則是數學史料“問題化”的實踐策略．

數學史；數學教學；問題化；價值；策略

歷史是最好的啟發式之一．“把數學的‘史學形態’轉化為‘教育形態’”[1]是充分發揮數學史教育功能的基本理路．而將數學史“問題化”則是把數學“史學形態”轉化為“教育形態”的一個更為行之有效的實踐路徑．

1 “史學形態”轉化為“教育形態”：數學史融入數學教育的基本理路

“數學史研究數學概念、數學方法和數學思想的起源與發展，及其與社會政治、經濟和一般文化的聯系．”[2]顯見，數學史的對象是數學發展的客觀規律，數學史中那些原始的、客觀的數學史料即是數學的“史學形態”．另一方面，數學史中必然蘊涵數學概念的形成、數學思想的來歷、數學方法的應用、數學定理和公式的審美內涵、數學家的思維方法和科學與人文精神等元素，這些元素對于學生的數學學習來說更富有教育意義，這應是數學的“教育形態”．

數學“史學形態”向“教育形態”轉化的根本目的在于發揮數學史的教育功能，更好地服務于數學教學．以往數學史融入數學教育的方法多以“運用”為主，“問題化”的觀點更強調“轉化”的思想與功能．從最初運用數學史“使得該學科更具有吸引力”[3]，讓教師和學生認識到：數學并不是一門枯燥呆板的學科，而是一門不斷進步、生動有趣的科學，到基于歷史發生原理，通過歷史啟發法使得數學教學以史為鑒、更加精準，數學史服務于數學教學經歷了由表及里、循序漸進的運用過程．而“轉化”比“運用”更加注重如何深入地去挖掘與認識相關內容的共同特征，并能在教學中很好地滲透并落實．因此，將數學的“史學形態”轉化為“教育形態”更好地抓住了數學史融入數學教育的契合點，可以更切實地實現數學史與數學教育的深度、有效融合，從而更能充分發揮數學史的教育價值．

2 數學史“問題化”的意蘊與價值

所謂數學史“問題化”，即數學“史學形態”轉化為“教育形態”的過程，是深入挖掘（構造）蘊涵于數學史料背后的數學知識與育人要素，并將其轉化為能夠直接指向并促進學生數學學習的一系列問題的過程．毫無疑問，數學史富含學生數學學習的內容．“問題化”以問題為載體潛移默化地滲透到數學教學的內容與結構之中，就建構了基于“問題解決”的數學教學實踐．數學史“問題化”的過程是將數學“史學形態”轉化為“教育形態”的方法論創新；真正實現數學史的“文化價值”轉向“育人價值”的內在價值突破；與此同時，也能夠充分地體現數學教學的本質內涵，促進數學課堂教學內在規律的良性實現．

2.1 問題化：數學“史學形態”向“教學形態”轉化的方法論創新

數學教學是以“問題解決”為導向的師生教與學有機統一的數學學習過程．其中，所需解決的數學問題既是數學教學的主要內容，也是數學教學內容呈現的具體表征．數學史“問題化”抓住了數學史與數學教學之間的共同表征——數學問題，以數學問題為線索，搭建起數學“史學形態”與“教育形態”間轉化的橋梁，為數學史融入數學教學提供了新的思路與方法．

在數學教學中，教師會依據具體的教學目標，將教學內容邏輯地拆分為若干有助于“問題解決”的問題單元，并針對每個問題單元設計教學任務（如創設問題解決之情境、設計問題解決之策略等），形成“具體問題單元具體分析與解決”的各個教學環節．而依據數學史“問題化”的定義，數學史中那些原始的、客觀的數學史料將被轉化為若干與學生數學學習相關的“教育形態”，并以數學問題的表征呈現．這些數學問題的具體表征便為數學教學中問題單元的設置提供參考．

由此可見，數學問題將“問題化”與數學教學的本質緊密地關聯起來．一方面，使得數學史滲透到數學教學的各個環節之中．另一方面，更重要的是，構建了數學“史學形態”向“教育形態”轉化的方法論，為數學“史學形態”向“教育形態”的轉化提供了新的實踐路徑．

2.2 問題化：數學文化價值向育人價值轉變的內在價值突破

數學富含文化價值，主要體現在數學的知識體系和思想精神能使人具有追求真善美的自覺自主之情懷、誠實正直之品性、堅韌勇敢之精神，能使人理解和掌握科學發現與創造的基本原理、認識方法、實踐方法和獨立思考、嚴謹求實的科學態度[4]．而作為一種寶貴的課程資源，數學的育人價值即是通過數學的知識體系與思想精神培養人的文化素養、理性思維、實踐能力與創新能力．而將數學博大精深的文化價值轉變為有助于數學教育的育人價值是充分發揮數學史教育功能的重要思路．

作為數學“史學形態”轉化為“教育形態”的方法論，“問題化”是數學史在數學教學中的具體體現，是數學史育人價值的具體表征．通過數學史“問題化”，將數學史的文化資源轉變為培育學生全面發展的育人資源，實現數學史內在價值的轉變與突破，有助于數學史教育功能的充分發揮．這是數學教育實現育人為本的本質要求．

2.3 問題化：促進數學課堂教學內在規律的良性實現

數學教學是教與學有機統一的教學活動，是“以學定教”與“以教導學”相輔相成的教學過程．將數學史直接移植于數學教學是數學史融入數學教育的一種常用方法．教師往往將數學史料（如數學家傳記、歷史事件、數學名題等）在教學或教材中直接補充，這在一定程度上豐富了教學內容，增添了數學教學的趣味性與人文性．但這種方法主要指向了數學的知識取向，即強調作為教學內容的數學史本身，而非教學的認知主體——教師與學生．而“問題化”既關注數學史料的知識性，更關注講授與學習知識的人在數學教學中的主體地位．一方面體現在“問題化”需要教師深入挖掘蘊藏于數學史背后的數學思想、知識與方法等，提煉出與教學密切相關的數學問題；另一方面，“問題化”是以問題為載體滲透到數學教學的內容與結構之中，無論是在數學問題的發現與提出，還是分析與解決的過程中，數學教學都不會忽視教師的教與學生的學．

由歷史發生原理可知，學生習得數學知識的過程與數學知識的歷史發生發展過程具有相似性，借鑒歷史有針對性的制訂教學設計，可讓數學教學更加精準．但也要避免因教條地借鑒歷史，而導致教學方法的固化與僵化現象．著名數學家、數學教育家弗賴登塔爾指出：“我們不應該完全遵循發明者的歷史足跡，而應是經過改良、同時有更好引導的歷史過程．”[5]因此，教師在教學中不應簡單地重復真實的歷史，而應站在新的歷史起點致力于歷史的重構與創新．“問題化”較以往的研究，更有利于數學教學的重構與創新范疇．一方面，以數學問題為載體構建數學“史學形態”向“教育形態”轉化的問題場域，為教師設計教學提供了充分的創造空間；另一方面，“問題解決”過程的隨機性也為歷史的重構與創新提供了更多的機會與可能．

3 數學史“問題化”的實踐策略探析

3.1 數學史料選擇的實踐策略

數學史料的選擇是“問題化”教學的前提．米山國藏曾經指出：“學生們接受的數學知識……很快就忘掉了……唯有深深銘刻于頭腦中的數學精神，數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，在隨時隨地發生作用，使他們受益終生．”[6]數學教學傳授的不僅是數學知識，更要傳承數學精神中所蘊含的數學思想與方法，這正是數學史料的內涵特征．在“問題化”教學中，數學史料的選擇既應對數學知識有所訴求，也需蘊涵知識產生的思維過程，尤其是那些最能反映數學思維方式、培養數學思維能力、蘊含數學思想與方法的具有“文化味道”的數學史，也就是數學文化．

“數學——作為一種文化體系”的數學哲學觀是美國數學家懷爾德（R. Wilder）于20世紀80年代在其著作《數學概念進化》和《作為系統的數學》中最先系統提出的．數學是人類抽象思維的產物，其本身就是一種文化，數學教育從本質上講就是數學文化的教育[7]．數學文化的內涵在學界雖尚未形成共識，但在廣泛的意義上，數學文化可定義為：它是人類在發現和創造數學的過程中所積累的數學知識體系、數學思想和精神的統一體．數學文化包括數學概念、原理、定理、公式、方法、問題等顯性的數學知識形態；也包括數學知識內容所反映的客觀的宇宙規律、精美的數學結構和廣泛的應用價值，以及數學家在發現和創造數學的過程中所蘊含的價值追求、審美直覺、思維方式、科學精神等隱性的數學精神形態；還包括顯性的數學知識形態與隱性的數學精神形態的內在統一[4]．“問題化”教學中的數學史料，應具備數學文化的內涵特質．舉例來說，完全數是一個饒有趣味的數學問題，是一段珍貴的數學史料，具備豐富的數學文化特質．每個完全數的發現、驗證、猜想的過程蘊含著畢達哥拉斯學派、古希臘數學家的信念品質、價值判斷、審美追求等要素，直觀地呈現出數字間的數學運算、邏輯推理、對稱等性質，為師生開展“問題化”教學提供若干問題情境、解決策略等教學資源．

3.2 數學問題設置的實踐策略

數學問題的設置是“問題化”教學的核心“技術”，其目的在于為教師提供有效的教學抓手，通過啟發和引導，讓學生走進問題情境，發現和提出問題，思考并解決問題．在具體的教學實踐中，數學問題應結合所選數學史料的特征，結合引入、探究、猜想3個教學行為設置有針對性的問題單元．

同樣以完全數為例．完全數是教材之外的內容，多數學生對它的定義、性質并不了解．因此，引入環節的問題設置應注意由簡馭繁，符合學生的認知規律．第一個完全數是6，其因子之間的運算較為簡單．因此，可從6開始認識完全數的特征與性質．如首先可設置這樣的問題：“請找出3個不同的自然數，填到框圖中，使等式成立．”

學生通過猜想和探究最終發現1+2+3=1×2×3；進而再讓學生感知6=1+2+3=1×2×3，在此基礎上，提出這樣的問題：“數字6具有怎樣的特征？”教師通過啟發引導，讓學生概括出6等于除了它本身以外的因數的和（這實質上就蘊含了讓學生歸納概括出完全數的定義的過程，從思維方式來說，這是一個抽象的過程）．接下來再讓學生探究：“在20以內，有沒有像6這樣的自然數，它可以等于除了它本身以外所有因數的和？30以內呢？”此時，經歷了一番探究，學生找到28也具有與6同樣的特征，這樣完全數的本質特征就已經浮出水面，教師可適時地通過提出“你能根據6和28所具有的特征嗎？”這樣的問題引導學生歸納完全數的定義．

有趣的是，第三、第四個完全數分別是496，8?128，而第五、第六個完全數則是33?550?336，8?589?869?056．前4個完全數的順序與數位相互對應，且末尾數字分別是6，8，6，8，具有一定的規律性，可以借此引導學生觀察并發現規律，設問為：“請同學們觀察前4個完全數6，28，496，8?128的共同特征與規律，嘗試猜想第五個、第六個完全數會是個什么樣子？”

最后，可以開始探究完全數的性質．如，6可以寫作幾個連續自然數的和，可設問為：“6=1+2+3，1，2，3除了是6的因數，還是連續的自然數，28能不能寫成幾個連續自然數之和呢？”至此，整節課被轉化為5個聯系緊密、目標明確、層次分明、邏輯性強的問題單元．學生在依次解決問題的過程中，既是自主探索、動手實踐、合作交流的數學學習過程，也是透過數學知識和真理的背后，體驗數學真理發現的完滿過程，更是學生在教師引導下對數學發展的“再創造”過程．

3.3 數學教學設計的實踐策略

數學教學的設計是“問題化”教學實施的腳手架，是教師在內容定位與學情分析的基礎上，對“問題化”教學的目標、方法、內容、進程、評估等教學環節進行的系統設計，目的在于讓問題化的數學史料作為教學的發生方式，對教學過程可能產生的具體情況，如學生進入問題情境的具體狀況，該如何采取與之相適應的教學方式，或啟發學生獨立思考、或引導學生自主探究、或組織學生合作交流，或指導學生練習與應用，或監測學生的反思與遷移等．作為整節課的教學藍圖，“問題化”教學設計應堅持以“問題解決”為導向的實踐策略；另一方面，“問題化”教學設計應關注學生數學學科核心素養的培育．

以“問題解決”為導向的具體問題具體分析，包括盡力啟發學生提出問題，調動學生積極思考，把教師對數學的情感巧妙地傳遞給學生，對學生的思考給予充分的鼓勵和做出理性評價等．如在完全數的教學中，第五、第六個完全數形態的猜想環節是整節課氣氛最高漲的部分，教師在教學設計中應給予學生充分思考、判斷、反思、交流的機會，引導學生進行數學推理與猜想．教學實踐中，有的學生猜想道：“我覺得第五個完全數一定是五位數！因為我發現前4個完全數6，28，496，8?128分別是一位數、二位數、三位數和四位數．”也有的學生這樣猜想：“我覺得也應該是五位數，而且我猜想第五個完全數的末尾數字應該是6．因為前4個完全數6，28，496，8?128的末尾數字分別是6，8，6，8，按照這樣的規律，第五個完全數的末尾數字似乎應該是6．”在經歷了一番頭腦風暴過后，教師揭曉答案時引起了全體學生的感嘆：“哇！是33?550?336，8?589?869?056！太神奇了！”學生在數學發現的興奮與驚嘆之中，體驗著美妙深刻的數學學習經歷．

與此同時，“問題化”教學設計充分考慮到學生數學學科核心素養的培育．在完全數的教學中，涉及學生數學抽象、數學運算、邏輯推理等數學學科核心素養的培育．因此，教師在進行“問題化”教學設計的過程中，盡可能地為學生提供相應的問題情境與解決策略．如前文提到的，在引導學生自主探究6和28的數字特征時，以讓學生進行6和28的因子間的運算為主；又如在歸納定義、猜想第五六個完全數的形態環節，引導學生依據已知的6和28的數字特征，以及前4個完全數的數位、個位數字特征，嘗試推理出一般完全數的特征和更大完全數的數字形態．

通過對數學史“問題化”開展的數學教學，不僅使得史料在此過程中被恰當轉化并有效活化，使史料呈現方式更加自然生動，更重要的是可以讓學生在數學發現中建構數學知識、體驗數學思想、領悟數學精神．從而更好地培育學生的數學學科核心素養，發展學生的創新精神與實踐能力．

[1] 宋乃慶，李鐵安．發掘數學史教育功能，促進數學教育發展[R]．第一屆全國數學史與數學教育會議報告，西安，2005-5．

[2] 李文林．數學史概論[M]．臺北：九章出版社，2003：1．

[3] CAJORI F. The pedagogic value of the history of physics [J]. The School Review, 1899, 7 (5): 278-285.

[4] 李鐵安．如何理解“數學文化課”的內涵與價值[J]．小學教學（數學版），2018（1）：8-12．

[5] FREUDENTHAL H. Didactical phenomenology of mathematical structures [M]. Reidel, 1983: 1.

[6] 米山國藏．數學的精神、思想和方法[M]．毛正中，等譯．成都：四川教育出版社，1986：序．

[7] 孟夢，楊慧娟，李長毅．數學文化在小學數學新教材中的實踐研究——以西師版為例[J]．數學教育學報，2012，21（4）：61-63．

Problematization: the Practical Approach of “Historical Morphology” of Mathematics Transforms into “Teaching Morphology”

MENG Meng, LI Tie-an

(National Institute of Education Science, Beijing 100088, China)

A basic route to fully perform mathematics history’s functions of education was to transform the “historical morphology” of mathematics into “teaching morphology”. Problematization was a practical approach to make the transformation effectively. The meaning of problematization was to excavate the mathematics knowledge and educational factors concealed into the mathematics history, and turn them into a series of problems which may promote students’ mathematics learning. Problematization offered methodology innovation for the transformation of “historical morphology” into “teaching morphology”, and made inherent value breakthrough from cultural value to educational value, and promote the mathematics teaching follows the innate laws of classroom teaching. Based on the lesson of Perfect Number, the study provides practical strategy on the selection of mathematical history, the setting of mathematical problems and the design of mathematics teaching.

history of mathematics; mathematics teaching; problematization; value; strategy

2018–03–05

全國教育科學“十一五”規劃教育部重點課題——基礎教育數學文化課程體系的構建與實踐（DHA090174）；2016年度教育部人文社會科學研究一般項目——數學文化對小學生數學核心素養的影響研究（16YJAZH009）

孟夢（1988—），女，山東青島人，博士，中國教育科學研究院博士后，主要從事數學文化課程研發、教師培訓效果測評研究．

G420

A

1004–9894（2018）03–0072–04

孟夢，李鐵安．“問題化”：數學“史學形態”轉化為“教育形態”的實踐路徑[J]．數學教育學報，2018，27（3）：72-75．

[責任編校：周學智]