數學教學課例研究的若干形態

沈 威，陸 珺

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數學教學課例研究的若干形態

沈 威1，陸 珺2

（1．惠州學院 數學與大數據學院，廣東 惠州 516007；2．華東師范大學 數學科學學院，上海 200241）

基于不同的研究目的，形成了多種數學教學課例研究形態．根據使用語境，分別是研課、課例點評、評課；根據課例來源，分為命題式數學教學課例研究、自覺式數學教學課例研究；根據課例的數量規模，分為數學教學多課例研究、數學教學單課例研究；依據課例的完整性，分為數學教學整案例研究、數學教學片段式研究；根據研究方法，分為質的研究方法、量的研究方法；根據理論應用與形成，分為自上而下的理論應用研究和自下而上理論建構研究．

數學教學；課例研究；方法論

1 引言

數學教學課例研究是數學教師專業發展的有效途徑，是國際上一種非常流行的數學教育教學研究方式，在國內國際上多個數學教育期刊（或教育期刊）均能見到有關研究文獻．基于不同的研究目的，形成了多種數學教學課例研究形態．經過文獻梳理，數學教學課例研究在使用語境、課例來源、課例數量規模、課例完整性、課例研究方法、以及課例研究的理論運用與形成等各有側重．

2 數學教學課例研究的語境名稱

數學教學課例研究在不同語境下有不同的名稱，主要是研課、課例點評、評課，這3種名稱的使用語境折射出中國數學教學課例研究的群體分布、研究目標、研究依據、深入程度、以及對中小學數學教師專業發展促進價值等．

2.1 研課

研課一般使用在科學研究的語境中，研究群體主要是高校從事數學教學研究的教師，其核心是“科學研究”，他們扎根于數學教學課例（教學視頻+教學過程文本），運用多種科學研究視角、研究工具、研究方法、研究策略等，不斷與課例中的數學教學過程對話與互動，對教學過程中的教學目標、教學手段、教學行為、教學內容等作出理性思考，發現教學規律、原理，檢驗教學假設等，建構數學教學理論或指導數學教學實踐[1-2]．

研課作為一種科學研究，研究者對數學教學課例作全面、深入、細致的分析，對教學過程綜合運用歸納與演繹思維由外到內、由內到外做通透的理解，研究成果客觀全面．研課的全面與深刻決定了研究過程必然占用大量時間，且在遵循研究倫理的要求下，發表研究成果不能公開課例執教老師的單位、姓名等信息，導致如果執教老師不主動向研究者獲取研究結果，對數學研課過程與結果就未必知情，造成研究成果無法直接促進執教老師改進數學教學和教師專業發展．

2.2 課例點評

課例點評一般使用在基礎教育類數學教育期刊欄目設置的語境中，研究群體主要是中小學數學教研員、教師等，他們綜合運用數學教學知識，結合自身教學經驗對數學教學課例（教學視頻+教學過程文本）作出經驗性的理解，其核心主要是“經驗性理解”．目前設置“課例點評”欄目的期刊主要有《中學數學教學參考》《中國數學教育》等，從這些期刊發表的文獻看，主要有兩類課例點評形式：一類是期刊先在全國征集數學教學課例，再把征集到的數學教學課例的謄錄稿或簡案刊登，且把課例的錄像通過其網站對外公開，對全國公開征集這些數學教學課例的點評稿，擇優刊發；第二類是中小學教師或教研員在教學實踐、教學比賽、教學評優、公開課等教學活動中發現一些優秀課例值得研究與推廣，自發對這些課例作出自己的理解與研究，把數學教學課例及其點評稿同時投向期刊社，只要被錄用，則被同時刊發．

課例點評作為中小學數學教師或教研員交流數學教學經驗、改進數學教學方法等的交流平臺，對數學教學的發展起到重要推動作用．在數學教育期刊的引領下，中小學數學教師與教研員積極參與數學教學課例研究，“課例點評”已經成為上述期刊的金牌欄目．從點評的內容看，其主要目的不是發現教學規律、原理，檢驗教學假設等，而是對課例中的教學過程作出全面分析與理解，對改進數學教學實踐作出自己的推動．有的研究者不但研究數學教學課例，還把課例的教學過程“搬”到自己的課堂，對其進行檢驗與實驗，在此基礎上形成新的數學教學課例點評，在這些期刊上跟蹤刊發．這些點評文章對執教老師完全公開，文章中提出各種理解與改進意見必然會對執教老師有所觸動，因此數學課例點評直接促進了執教老師的數學教學實踐及其教師專業發展．

2.3 評課

評課一般使用在中小學數學教研活動語境下，中小學數學教研活動主要有校級、區級（縣級）、市級、省級或全國性的，從而形成各類數學教研活動的群體，評課老師的群體主要由高校從事數學教學研究的教師、數學教材編寫者、中小學數學教研員、名特優教師等組成．中小學數學教研活動一般過程為執教教師向觀摩課現場的教師和評委展示其教學過程，并在結束后對其教學過程作出說明，評委或評課老師對剛剛完成的教學過程作出評價．因為教研活動的現場性，無法對教學過程做謄錄稿，人短時記憶存儲的教學過程有限且有部分遺忘，導致評委老師不能對教學過程作出細致全面的分析，只能依據其研究和教學經驗進行概要的點評，點評的主要目的是揭示其教學過程的靚點及如何更好教好這節課，其核心是“概要性評價”．教研活動的現場性對評課老師的評課有限制作用，但是其現場性具有的優點也是數學研課和數學課例點評無法企及的，例如，評課老師現場感受真實的教學過程，能對教學過程的諸多細節敏銳捕捉，且執教教師直接面對評課老師的點評，對點評的所有內容全部知情，直接推動了執教教師教學實踐的優化．

從上述討論可以看出，3類語境下的數學教學課例研究對數學教育教學理論發展、教學實踐改進、教師專業發展的促進作用和價值各不相同，但又從多個角度相互彌補不足．用矩陣表1可以直觀表征研課、課例點評和評課3類語境下的數學教學課例研究的內涵．

3 數學教學課例研究的課例來源

3.1 命題式數學教學課例研究

命題式數學教學課例研究是指主辦方要求研究者或課例點評者面對指定的數學教學課例作出相應的研究或點評．例如，各級教學比賽、優質課、公開課等，以及數學教育期刊的課例點評征稿等．如果是在各級教學比賽、優質課、公開課等語境下進行的數學課例研究則是數學評課．如果是在數學教育期刊的課例點評征稿等語境下進行的數學課例研究則是數學課例點評，例如，《中學數學教學參考》（中旬）期刊發布的相關課例點評征文[3]，課例點評者對該期刊發布的相關教學課例進行研究分析，并把研究成果投向該刊物．

3.2 自覺式數學教學課例研究

“自覺”指自己有所認識而主動去做；自己感覺到；自己有所察覺．自覺即內在自我發現、外在創新的自我解放意識．自覺式數學教學課例研究指研究者或課例點評者基于一定的社會使命感或根據自己的興趣愛好有目的的選擇課例開展研究．有的直接去中小學數學課堂錄像，有的把教學比賽、優質課、公開課、期刊課例作為研究對象開展研究．例如《中學數學教學案例研究》[4]中的教學案例都是研究者根據需要到中學錄像而獲得．自覺式研究的課例獲得會受到各種條件的限制，并不一定能夠在自己需要的時候易于獲得這些課例，需要研究者根據實際情況有目的、有計劃地獲取相關數學教學課例．

在課例研究過程中，興趣和認識深刻性這兩個因素對命題式和自覺式數學教學課例研究具有重要影響，它們從不同維度影響課例研究者的觀點形成．研究表明，人們很難對自己不感興趣的研究對象有深刻的認識[5]，用矩陣表2從感興趣且認識深刻、感興趣且認識不深刻和不感興趣且認識不深刻3個維度對命題式和自覺式數學教學課例研究的影響作出揭示．

表1 3類語境下的數學教學課例研究

表2 興趣和認識深刻性對課例研究者的影響

通過多維度組合，可以發現，不管是命題式還是自覺式數學教學課例研究，只有對課例感興趣且認識深刻，才能對執教者、讀者和數學教育理論的發展均有益處．從發展的視角，研究者應該對感興趣且認識不深刻、不感興趣且認識不深刻的數學教學課例開展深入研究．相關研究表明[6]，面對一個研究對象，有的是在研究之前對研究對象感興趣，有的是在研究過程中對研究對象感興趣，而時間投入直接影響研究者對研究對象的興趣程度．因此，只要研究者對認識不深刻的數學教學課例投入一定的時間，結合自己的研究經驗、相關文獻，在研究過程中對研究對象逐漸產生濃厚的興趣，促進研究者對相關數學教學課例的深刻認識．

4 數學教學課例研究的數量規模

依據數學教學課例的數量規模，可以分為數學教學多課例研究和數學教學單課例研究兩種．

4.1 數學教學多課例研究

把多個數學教學課例作為研究對象稱為數學教學多課例研究．數學教學多課例研究可以從更大的研究視野，對課例中的教學過程作橫向、縱向或交叉研究．由于課例多，研究可以獲得更一般的結論，具有更強的推廣性．例如，沈威對14個初中數學復習課例進行了歸納研究，得到這些課例的教學過程均包括4個基本過程：復習相關概念、樣例教學、階段總結和分層作業，以及復習相關概念主要有3種策略：一是直接展示或提問相關內容的定義、性質與定理等；二是通過概念性的問題間接考查學生對相關概念本質的理解程度；三是通過改變概念非本質屬性，保留概念本質屬性的變式題考查學生對概念本質的把握[7]．葉立軍對6節數學課中新老教師教學語言使用的異同進行了比較研究，研究發現教師課堂教學語言有以下特點：（1）新老教師都較注重教學語言的使用，總體上以詢問語言、肯定式語言和表情式語言為主；（2）新教師使用較多教學語言，但不敢對學生放手，老教師善于使用教學語言引導學生思考；（3）新老教師在新授課和應用課各教學環節中教學語言的使用分布存在差異[8]．Rossella Santagata對30個意大利和30個美國八年級數學課堂教學的教師糾錯行為進行研究，研究發現，意大利和美國學生在某些方面具有類似的錯誤經驗，這些差異被解釋為復雜的信仰和習俗系統的表現[9]．

4.2 數學教學單課例研究

把一個教學課例作為研究對象稱為數學教學單課例研究．數學教學單課例研究能夠使研究者從微觀層面對教學過程作出深入、細致的理解，追蹤教學的變化過程，揭示相應的教學規律、教學理念、數學思想等．例如，徐伯華以“數學歸納法”一課為例，展示了教師個體研課的模式，從學科知識、教學目標、教學路線、課題引入、師生交互、例題選用等6個方面對“數學歸納法”一課進行研究[10]．《中學數學教學參考》刊出的課例點評文章主要以單課例研究為主．

5 數學教學課例研究的完整性

依據數學教學課例的完整性，可以分為數學教學整案例研究與數學教學片段式研究．從絕對意義上說，所有的課例研究都是片段式的．但是對課例研究的完整性作出分類依然是有意義的．這能夠啟發或提示研究者從更多視角、更多部分、更多細節、更多理論基礎等把數學教學課例視為完整的教學系統，對數學教學課例作出全面的研究．

5.1 數學教學整案例研究

對整個數學教學課例以系統性的視角多層次、多方面、多形式、多序列等全面研究課例的各個部分以獲得深刻認識的過程稱為數學教學整案例課例研究．整案例研究是相對的，不管研究者如何窮盡教學課例的教學過程，也必然因為研究視角、研究基礎、研究方法、研究思路、研究興趣等局限，使得客觀上并沒有窮盡教學課例的所有教學過程．數學教學整案例式研究能促進研究者對數學教學的系統性思考，把各個參與對象都納入到教學系統中，任何對象發生擾動性的變化，都會對教學過程產生很大影響，甚至根本性的影響．例如，徐伯華對“數學歸納法”教學的研究，即是從整案例的視角對數學歸納法的歷史、學生對數學歸納法的認知、課堂教學路線圖、課堂教學局部特征等5個方面審視之[10]；涂榮豹主編的《中學數學教學案例研究》[4]，《中學數學教學參考》刊出的課例研究論文亦都是從整案例的視角對課堂教學作出分析．

5.2 數學教學片段式研究

對數學教學課例的局部或者某一主題作出考查，深入洞察局部教學過程發生的各種細節，揭示局部教學過程蘊含的教學規律、教學思想、數學思想等的過程稱為數學教學片段式課例研究．一般來說，這種研究更多運用于橫向比較研究，從中獲得局部教學過程的一般規律．例如Rossella Santagata僅對30個意大利和30個美國八年級數學課堂教學的教師糾錯行為的教學片段進行研究[9]．葉立軍對課堂教學研究主要研究方式是片段式研究，他分別對教師提問策略、教師的課堂教學語言、優秀數學教師課堂提問能力等進行了專題的編碼定量分析[8，11-12]．陸珺對兩節課的教學結束階段概括總結進行了專題定量研究[13]．斯海霞等對初中數學課堂學生參與度進行了定量統計研究[14]．把數學教學課例研究的數量規模和完整性相結合，可得到如下4種數學教學課例研究范式，如矩陣表3．

表3 不同數量規模與完整性視角下數學教學課例研究范式

6 數學教學課例的研究方法

數學教學課例研究有的是在豐富、復雜、流動的自然情境下展開，研究者和教學課例中的教學過程互動，深入洞察教學發生過程，根據自己的親身感悟、理解等進行研究；有的是對數學教學過程的相關變量進行控制，設定控制組與對照組，檢驗相關研究假設的教學實驗研究．

6.1 質的研究方法

陳向明把質的研究方法定義為“質的研究是以研究者本人作為研究工具，在自然情境下采用多種資料收集方法對社會現象進行整體性探究，使用歸納法分析資料和形成理論，通過與研究對象互動，對其行為和意義建構獲得解釋性理解的一種活動”[15]．以此為基礎，數學教學案例質的研究方法可出初步定義為“研究者以本人作為研究工具，把自然情境下的數學教學課例‘掰開’，不斷與課例中的教學過程互動，交替使用歸納與演繹思維，以描述的方式深入揭示數學教學過程蘊含的教學理念、教學理論、數學思想等，對教學過程作出自己解釋性理解的一種活動”．

從已有文獻看，數學教學課例研究主要采用質的研究方法，主要包含兩個研究方向，一是運用數學教學理論對數學教學過程進行“就事論事”的分析，挖掘教學過程的優點和缺點，對數學教學課例的執教者和讀者有直接的促進價值，課例點評和評課語境下的數學教學案例研究即是如此；二是以數學教學案例為基礎，建構數學教育教學理論，數學研課就是這種形式[16-17]．雖然數學教學課例研究主要采用質的研究方法，但尚未形成一套具有可操作性強的質性研究程序，還需要進一步發展與深化這種研究方法．例如，研究者如何開啟他面對一個數學教學課例的分析歷程，如何描述數學教學課例的歷程，如何對數學教學過程進行質性編碼，如何建立編碼之間的關系形成概念框架，如何解釋所建構的概念框架等都還沒有可以直接借鑒的研究成果．

此處討論的數學教學課例質的研究方法不包括哲學思辨的研究方法，但在質的研究過程中卻需要這種哲學思辨的思維模式，而且這種思維模式對質的研究起到至關重要的作用．之所以質的研究不包括哲學思辨研究的方法，因為教學課例的質的研究方法屬于實證研究，是行動研究，而哲學思辨的研究方法不是行動研究．

如果把質的研究方法與數學教學課例的數量規模、完整性相結合，可得到如下4種數學教學課例研究范式，如矩陣表4．

表4 質的研究方法視角下數學教學課例研究范式

6.2 量的研究方法

量的研究是一種對事物可以量化的部分進行測量和分析，以檢驗研究者自己對于某些理論假設的研究方法．數學教學課例量的研究方法可以初步定義為“研究者基于某種理論假設，或者不進行理論假設，根據是否需要教學實驗，依靠某些研究工具，比如量表、統計表等，對數學教學課例中的教學過程做出數據統計與分析，以此作出自己解釋性理解的一種活動”．例如，肖春梅、喻平提出中學生CPFS結構生長的4種教學策略：生長策略、變式策略、反思策略和結構策略，在此基礎上，通過等組實驗的方法，開展一學年的教學實驗后，采用兩個函數問題對學生進行測試，并對學生答題情況進行統計學的計分與分析，結論為實驗班學生的總體成績呈上升趨勢，檢驗了4種CPFS結構生長的教學策略有效性[2]．葉立軍等對初中統計課堂教學提問進行了統計分析，主要獲得了如下結論：（1）教師提問的數量相對比較少，提示類和理解類的提問類型所占比例較高；（2）學生無答的情況較少，但在問題回答中，學生機械性回答占了較大的比例，教師創新性問題較少；（3）教師提問難度與學生回答水平有直接的關系[18]．

如果把量的研究方法與數學教學課例的數量規模、完整性相結合，得到如下4種數學教學課例研究范式，如矩陣表5．

表5 量的研究方法視角下數學教學課例研究范式

7 數學教學課例研究的理論運用與形成

根據理論形成與應用的方向，可以把數學教學課例研究分為自上而下的理論應用研究，和自下而上的理論建構研究．

7.1 自上而下的理論應用式研究

所謂的自上而下理論應用式研究，是指研究者運用已有的教學理論對教學作出自己理解性的研究，這種研究既可以是質的研究，也可以是量的研究．如果是質的研究，即是研究者以分析性、解釋性的方式對教學過程進行研究，重點考查教學過程是否符合某些教學理論、教學規律、教學思想、數學思想、學生心里發展規律等．如果是量的研究，即是研究者運用已有的理論作出研究假設，制定研究量表或測量工具，通過數據的形式刻畫教學過程中的細節，檢驗教學過程是否符合研究假設．例如，黃毅英、許世紅先建構了MPCK理論框架，而后運用MPCK理論對相關教學案例進行分析[19]；鮑紅梅、喻平對完善中學生CPFS結構生長策略提出理論假設，通過實驗班和對照班教學實驗的結果進行統計分析，以此對研究假設進行檢驗[2]．

7.2 自下而上理論建構式研究

所謂的自下而上理論建構式研究，是指研究者在研究之前不帶有研究假設，扎根于數學教學課例的教學過程，通過對教學過程的分析、編碼、概括、總結等思維操作，歸納出一定數學教學理論的研究過程．例如，涂榮豹基于數學課堂教學研究提出數學教學原理：“教學生學會思考”的原理；“運用研究問題一般方法教學”的原理；“問題結構推進教學”的原理；“創設情境，提出問題”的原理；“從無到有探究”的原理；“用啟發性提示語引導”的原理；“學生積極參與數學活動”的原理；“反思性教學”的原理；“歸納先導，演繹跟進”的原理；“以尋找思路為核心”的原理．

8 結語

開展數學教學課例研究，常出現一項研究包含兩種或兩種以上的形態，例如，徐伯華對“數學歸納法”一課的研究表現出自上而下的研課框架理論運用、單案例、整案例研究的特點，Rossella Santagata對30個意大利和30個美國八年級數學課堂教學的教師糾錯行為研究表現出多案例、片段式、自下而上理論建構式的特點，這些均由研究需要而決定．

雖然數學教學課例研究文獻頗多，研究者對研究數學教學課例亦頗感興趣，但如何開展相關研究的方法論研究卻少之又少．為使數學教學課例研究便于入手，使得研究過程可視化或可操作化，有必要對數學教學課例研究的方法論或與之相關的研究策略、研究路徑等作深入分析，促進數學教學課例研究方法論的深入發展．

從事數學教學課例研究，也不宜過分強調形式化的研究方法，而應該緊緊抓住所研究課例中的數學思想、大觀點、大概念及其蘊含的數學價值、科學價值等，從學生可持續發展的角度，考查數學教學在多大程度上引導學生學會發現問題、分析問題，培養數學直覺與思辨能力，促進學生數學思維能力的發展等，進而檢驗理論假設或建構數學教學理論．既要智慧地運用與發展數學教學課例研究方法，更要牢牢把握課例中的數學本質及其教育功能，否則，研究數學教學課例獲得的結論對促進與改善數學教學實踐便意義不大．

[1] 涂榮豹．“教與數學對應”原理的實踐——對“函數單調性”教學設計的思考[J]．數學教育學報，2004，13（4）：5-8．

[2] 鮑紅梅，喻平．完善中學生CPFS結構的生長教學策略研究[J]．數學教育學報，2006，15（1）：45-49．

[3] 荀峰．微課課例展示與評析[J]．中學數學教學參考（中旬），2015（1）：42-54．

[4] 涂榮豹．中學數學教學案例研究．北京：北京師范大學出版社，2011：9．

[5] 方世南．論興趣在認識中的作用[J]．江漢論壇，1989（5）：39-42．

[6] 何旭明，陳向明．學生的學習投入對學習興趣的影響研究[J]．全球教育展望，2008，37（3）：46-51．

[7] 沈威．透視設計過程 研討復習規律[J]．中學數學教學參考（中旬），2012（6）：25-28．

[8] 葉立軍，李燕，斯海霞．初中數學新老教師課堂教學語言比較研究[J]．數學教育學報，2015，24（4）：40-43．

[9] SANTAGATA R. Practices and beliefs in mistake-handling activities: a video study of Italian and US mathematics lessons [J]. Teaching and Teacher Education, 2005 (21): 491-508.

[10] 徐伯華．教師個體的研課模式：以“數學歸納法”一課為例[J]．數學教育學報，2010，19（4）：1-4．

[11] 葉立軍，周芳麗．基于錄像分析背景下的教師提問方式研究[J]．教育理論與實踐，2012，32（5）：52-54．

[12] 葉立軍，周芳麗．基于錄像分析背景下的優秀數學教師課堂提問能力的研究[J]．數學教育學報，2014，23（3）：53-56．

[13] 陸珺，涂榮豹．課堂教學結束階段概括總結的研析——從兩個教學案例出發[J]．中學數學教學參考，2009（1）：6-8．

[14] 斯海霞，葉立軍．基于視頻案例下初中數學課堂學生參與度分析[J]．數學教育學報，2011，20（4）：10-12．

[15] 陳向明．質的研究方法與社會科學研究[M]．北京：教育科學出版社，2000：12．

[16] 涂榮豹．談提高對數學教學的認識[J]．中學數學教學參考，2016（1）：4-8．

[17] 徐伯華．數學研課的內容框架研究[D]．南京：南京師范大學，2012：5．

[18] 葉立軍，李燕．基于錄像分析背景下的初中統計課堂教學提問研究[J]．數學教育學報，2011，20（5）：52-54．

[19] 黃毅英，許世紅．數學教學內容知識[J]．數學教育學報，2009，18（1）：5-9．

Mathematics Lesson Case Studies of Several Forms

SHEN Wei1, LU Jun2

(1. College of Mathematics and Big-Data Science, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China; 2. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

Based on different research purposes, a variety of mathematical teaching case studies had formed. According to the context of use, respectively, lesson study, lesson remarks, and lesson evaluation; according to the source of the lesson, it was divided into propositional mathematics teaching case study, the study of subjective mathematics teaching; according to the number of lesson scale, it was divided into multiple lessons research, mathematics single lesson research; based on the integrity of the study case, it was divided into mathematics teaching case study, mathematics teaching piecemeal research; according to research methods, it was divided into qualitative research methods and quantitative research methods; according to the theoretical application and formation, it was divided into top-down theoretical application research and bottom-up theoretical construction research.

mathematics lesson; lesson studies; methodology

2018–01–05

廣東省高等教育教學改革項目——卓越視野下職前數學教師教學能力培養模式研究；惠州學院優秀青年培育項目——數學教師核心素養研究（hzu201713）

沈威（1982—），男，安徽靈璧人，副教授，博士，主要從事數學課程與教學論研究．

G420

A

1004–9894（2018）03–0076–05

沈威，陸珺．數學教學課例研究的若干形態[J]．數學教育學報，2018，27（3）：76-80．

[責任編校：周學智]