垂直腔面發射激光器的溫度特性研究

戚向濤，顧亞平*，張　曼，方斯喆

(1.中國科學院大學，北京 100049；2.中國科學院 聲學研究所，北京 100190)

引　言

激光信號具有遠高于電信號傳輸速率的特點，更適合于未來高速率的傳輸網絡[1-3]。激光器作為光纖通信系統的核心器件是系統仿真中考慮的一個重要因素。垂直腔面發射激光器(vertical cavity surface emitting laser,VCSEL)具有使用簡單、功耗較低等特點，目前廣泛應用于光纖通信和光信號處理領域[4-5]。VCSEL激光器輸出的光功率與器件的溫度相關，當器件溫度改變后，激光器輸出的光功率也會相應發生變化[6-8]。準確地分析激光器的溫度特性可以保證激光器在合理的外界環境溫度范圍內使用[9]。

國內外很多學者研究仿真溫度對VCSEL性能的影響，并建立了大量的模型。NAKWASKI建立了2維熱效應模型[10-11]。YU等人建立用于單模模擬的VCSEL的速率方程模型[12]。MOROZOV等人考慮多模行為的速率方程模型[13]。SU等人建立的靜態熱特性模擬的溫度相關模型[14]。

本文中通過建立光功率與工作電流關系(P-I)模型，并簡化模型參量及引入電壓電流關系(U-I)特性曲線來優化分析模型。使用Levenberg-Marquardt(LM)算法來實現模型的求解。對比分析20℃下的測量數據與擬合數據的相似度，進一步來預測不同溫度下的P-I特性曲線，并分析用戶可正常使用網絡的溫度范圍。

1　VCSEL的P-I模型及優化

1.1　P-I模型建立

VCSEL的輸出光功率P0和外部驅動電流I滿足可以用下式來表示,這里P0與I的建模關系稱為P-I建模[15]:

P0=η(T)[I-Ith(N,T)]

(1)

式中,P0表示激光器輸出的光功率；I表示注入到激光器的外部驅動電流，包含外部加載的偏置電流Ib和信號電流，在沒有信號輸入時驅動電流為偏置電流Ib；η(T)是P-I曲線的斜率，其大小與溫度T相關，從能量轉換角度看，斜率相當于轉換效率：斜率越高，相同電流I對應的輸出光功率越高，那么相同電能可轉換的光能越多;Ith(N,T)表示閾值電流，其大小主要和載流子數N及溫度T相關。

為簡化(1)式的表達，可以假設轉換效率η(T)受溫度影響較小[16]，即η(T)近似于常數η。同時假設忽略空間燒孔效應的影響。閾值電流可以表示為只與溫度相關的函數[14]，如下式所示：

Ith(N,T)=Ith,0+Ioff(T)

(2)

式中，Ith,0為常數，Ioff(T)是與溫度相關的經驗熱偏置電流，該電流隨激光器的變化而變化。Ioff(T)可以由溫度的多項式表示：

(3)

式中，an是多項式的參量，n表示階數。

此時(1)式可以表示為：

(4)

式中，η(T)表示轉換效率，是P-I曲線的斜率。本文中假設η(T)受溫度影響較小，η(T)近似于常數η，模型求解中，η同樣為待求參量。溫度T受環境溫度T0以及自身的溫度影響，自身的溫度與器件產生的瞬時功率Pi相關，瞬時功率Pi=UI，即受U-I(電壓-電流)特性影響：

(5)

式中，Rth表示VCSEL熱阻抗；τth表示熱時間常數；T0代表環境溫度；此處I為偏置電流Ib，U表示輸入電壓。

假設溫度不發生變化時，(5)式后面微分項可忽略不計。結合(2)式～(5)式可以得到P0和I的隱式關系：

P0=η{I-Ith，0-

(6)

1.2　P-I模型參量的優化

模型的參量多少決定該模型整體的運行速度。參量太多會使得模型計算量增大，并且容易產生過擬。所以適當地優化參量個數在優化網絡的同時會提高模型的計算精度。

將(4)式中的高次多項式展開可得：

P0=η(I-Ith，0-a0-

a1T-a2T2-a3T3-a4T4-…)

(7)

根據(7)式可以看出，參量Ith,0(Ith,0為常數，模型求解中Ith,0為待求參量)和參量a0皆為1階常量，這里可以將這兩個參量合并為一個參量,即可以將(3)式優化為：

(8)

故而可以在模型的整體計算上減少一個參量。隨著n的增大，的值越來越小，并趨于0。這里假設n>4時，趨近為0,所以取n=1,2,3,4。

此時，P0和I的隱式關系為：

P0=η(I-Ith，0-a1T-a2T2-

a3T3-a4T4)

(9)

式中，T=T0+(UI-P0)Rth。

1.3　VCSEL的U-I特性曲線

溫度T受外界環境溫度T0和自身的溫度影響，自身的溫度與器件產生的瞬時功率Pi相關，瞬時功率Pi=UI相關，即受電壓-電流(U-I)特性影響：

T=T0+(UI-P0)Rth

(10)

電壓的變化關系和VCSEL的特性相關。為了簡化模型，可以認為電壓主要受溫度和電流的影響，即：

U=f(I,T0)

(11)

在實際應用中，電壓會隨著溫度和電流的變化而變化，所以可以用多項式來擬合電壓U的輸出[6]，如下式所示:

(12)

式中，bi和cj為多項式的擬合參量；n，m為多項式的擬合的階數，0≤i≤n，0≤j≤m。利用(12)式，根據在20℃的環境溫度下得到的實驗數據U及I，擬合其U-I特性曲線。在20℃下，當n=2，m=4時,U-I特性曲線與實測數據的對比圖如圖1所示。

Fig.1a—U-Icurve of measurement data and fit data at 20℃b—U-Icurve of different temperature

圖1中的橫坐標代表驅動電流，縱坐標代表電壓。圖1a中的實線是溫度為20℃時的實測U-I數據，虛線是經過(12)式且n=2，m=4時擬合后的曲線。從圖1a可以看出,擬合的數據可以較好地反映實際數據的分布。圖1b為根據擬合參量求得的在10℃，20℃，30℃，…，90℃溫度下的U-I特性曲線。通過圖1b可以看出：(1)在固定溫度下隨著驅動電流的增加，電壓也會隨之增加；(2)在固定的驅動電流下，隨著溫度的增加，電壓也會隨之增加。

此時，模型整體修正為式：

P0=η(I-Ith,0-a1T-a2T2-

a3T3-a4T4-…)

(13)

式中，

(14)

2　基于LM算法的模型求解

LM算法結合了Gaussian-Newton法和梯度下降法，利用標準值優化初值，是一種快速算法。具有穩定性強和快速收斂等優點，是快速有效求解目標函數的常用方法[17]。所以選擇LM算法來求解(13)式。

在LM算法中，存在如下關系式[18]：

uk+1=uk+Δu

(15)

式中，uk為第k次迭代時的輸入向量，uk+1為第k+1次迭代時的輸入向量，Δu為兩次迭代時向量的變化量。此處u=[η,Ith,0,Rth,a1,a2,a3,a4]是7維向量，是所需要求解的參量。

對于牛頓法有：

Δu=-[▽2E(u)]-1▽E(u)

(16)

(17)

式中，E(u)是誤差指數函數，▽E(u)為梯度，▽2E(u)為Hessian矩陣，e(u)為期望功率和實際功率誤差誤差向量，P0為期望輸出功率值，P為實際輸出功率值。在此處，P是已知的，由(14)式得到關于未知數η,Ith,0,Rth,a1,a2,a3,a4的隱函數關系式。

對于Hessian矩陣：

▽2E(u)=[A(u)]Te(u)+S(u)

(18)

(19)

式中，A(u)為Jacobian矩陣。當目標接近極值時，S(u)很小，可忽略不計，此時：

▽2E(u)≈[A(u)]Te(u)

(20)

對Gaussian-Newton法：

▽2E(u)≈[A(u)]TA(u)

(21)

迭代過程中，對E(u)的Hessian矩陣無法求逆時，需對E(u)的Hessian矩陣進行變形：

▽2E(u)≈[A(u)]TA(u)+μI(u)

(22)

式中，I為單位矩陣；μ為阻尼系數，且μ>0為常數。故有：

▽u=-(AkTAk+μI)-1AkTek

(23)

uk+1=uk-(AkTAk+μI)-1AkTek

(24)

上面(15)式～(24)式即為LM算法的表達式，ek表示e(uk)。每次迭代時重新計算誤差函數E(uk+1)，若其小于E(uk)，則保留此次迭代結果，減小阻尼系數μ來提高計算精度，并繼續進行迭代，令μ=μ/β(β>1，β為大于1的常數)；反之則增大阻尼系數μ后重新計算，令μ=μ·β，直到滿足E(uk+1)

3　實驗結果及分析

在20℃的環境溫度下得到的輸出光功率P0和外部驅動電流I的實驗數據，根據改進的P-I模型，使用LM算法來求解模型，擬合P-I模型曲線。并給出不同溫度情況下(10℃，20℃，30℃，…，90℃)P-I曲線的預測結果。

模型的初始值和最終模型求解出的參量值如表1所示。

Table 1　The initial value and the solved value of the improved P-I model

3.1　20℃時P-I曲線

圖2是溫度為20℃時的實測數據與擬合數據的P-I曲線結果對比圖。圖2中橫坐標代表驅動電流，縱坐標代表光功率，其中實線為擬合數據、虛線為實測數據。從圖2中可以看出,模型幾乎可以擬合出實測數據的趨勢，并且擬合曲線相對測試曲線更加平滑。

Fig.2　P-I curve of measurement data and fit data at 20℃

3.2　不同溫度下P-I曲線

將模型求解的參量值η,Ith,0,Rth,a1,a2,a3,a4代入(14)式,并求解溫度在10℃，20℃，30℃，…，90℃下的P-I曲線,如圖3所示。圖3a表示完全按照模型擬合出的各P-I曲線，不考慮物理情況下光功率不能小于0。圖3b顯示為光功率大于0 時的P-I曲線。

由圖3a可以看出,光功率隨著溫度和驅動電流變化的整體走勢。同樣在固定溫度下，輸出光功率隨著驅動電流的增加先增后減；在固定的驅動電流下，輸出光功率隨著溫度增加而減小。因為光功率不可能小于0，所以光功率小于0時都強制置為0。從圖3b可以看出,當溫度不大于60℃時才會有光功率輸出。所以想要有光功率輸出，則溫度不能高于60℃。

目前假定電信機房里VCSEL激光器在直流輸入且輸出的平均光功率低于2mW時，用戶的光貓無法檢測到信號。分析圖3b，當溫度為30℃時,光功率在2mW左右浮動，所以細分位于30℃附近(24℃～32℃)的P-I曲線圖，近一步精確地推測激光器正常工作的溫度。

Fig.3　P-I curve of fit dataa—10℃～90℃(power unlimited)　b—10℃～60℃(power>0mW)

圖4顯示了24℃～32℃溫度時的P-I曲線。從圖上可以看出，只有在光功率大于2mW時才能保證激光器被檢測到，保證用戶正常使用網絡;當溫度大于31℃時，任何驅動電流下都不會有光功率大于2mW。所以要保證用戶正常上網，電機房里VCSEL激光器工作的環境溫度最多不能高于31℃。

Fig.4　P-I curve of fit data at 24℃～32℃

4　結　論

主要研究了VCSEL的P-I模型的溫度特性。首先通過對P-I模型進行建模，并通過簡化參量及引入U-I特性曲線來優化分析模型。模型使用LM算法計算模型參量。根據在20℃下的實測數據，計算出模型的擬合參量,最終在20℃下采用P-I模型擬合P-I曲線效果非常好，與實測的P-I曲線非常吻合。同時根據建立的模型對不同溫度下的P-I曲線進行了分析，指出了用戶可正常使用網絡的溫度范圍。