線性規(guī)劃在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

何正文

(廣東省肇慶市百花中學(xué)　526000)

復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化到相對(duì)較簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題上來解決，就可以把難度大大降低了.本文就線性規(guī)劃的應(yīng)用作一些探究和導(dǎo)析，旨在揭示解題的規(guī)律，提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

一、用線性規(guī)劃解決數(shù)列問題的應(yīng)用

例1設(shè)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

點(diǎn)評(píng)有時(shí)我們做題前，并不知道要用到什么方法，但當(dāng)你往下做時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)意想不到的思路，甚至有些數(shù)據(jù)也是我們解題的突破口，所以樹立信心意識(shí)非常重要.

二、線性規(guī)劃解決三角問題的應(yīng)用

例2若2sinα-cosβ≤2，求sinα+2cosβ的取值范圍為多少.

點(diǎn)評(píng)本題主要是用到了變量代換的方法，把一個(gè)難以下手的問題化歸到簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃上來解決，就“藥到病除”了.

三、線性規(guī)劃解決三角形問題的應(yīng)用

例4三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為11的三角形個(gè)數(shù)有____個(gè).

點(diǎn)評(píng)常用計(jì)數(shù)原理求解，但若引入變量轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃來求可行域整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則獨(dú)具匠心，創(chuàng)意新穎.

四、線性規(guī)劃解決函數(shù)問題的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)把代數(shù)問題幾何化，體現(xiàn)了“以形助數(shù)，以數(shù)賦形”的思想，使抽象問題直觀、具體又不乏生動(dòng).

例6已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d在區(qū)間[-1,2]上是減函數(shù)，求b+c的最大值.

點(diǎn)評(píng)本題用到了導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、線性規(guī)劃等知識(shí)內(nèi)容，層層遞進(jìn)，恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，思路清新自然.很好地考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法，邏輯推理的能力和綜合應(yīng)用的能力.

五、線性規(guī)劃解決解析幾何問題的應(yīng)用

例7已知點(diǎn)P(-1,1),Q(2,2)，若直線l:x+ky+k=0與線段PQ有交點(diǎn)，求k的取值范圍.

分析由線性規(guī)劃知:若點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)在直線l的兩側(cè)，則有(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)<0.

而此題的P,Q點(diǎn)在直線l的兩側(cè)或在直線l上,

點(diǎn)評(píng)數(shù)學(xué)變換與轉(zhuǎn)化就是“由一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式”的數(shù)學(xué)變換,數(shù)學(xué)解題的過程實(shí)質(zhì)是一種從未知到已知的轉(zhuǎn)換過程;變換轉(zhuǎn)化意識(shí)又是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的解題意識(shí),充分注意這種意識(shí)的培養(yǎng),可提高思維素質(zhì),培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

分析(1)約束條件的區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)A(-1,-2)連線的斜率問題來解決.

(2) 約束條件的區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)A(-1,-2)連線的距離平方問題來解決.

點(diǎn)評(píng)雖然目標(biāo)函數(shù)不是線性的，但它們的幾何意義比較明顯.這時(shí)我們解題應(yīng)有“洞察”能力.解題中要運(yùn)用“執(zhí)果索因和由因?qū)Ч钡乃枷?

六、線性規(guī)劃解決向量問題的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)本題明為向量問題，實(shí)為線性規(guī)劃問題，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式把已知條件轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的約束條件，解題思路就一目了然了.

七、線性規(guī)劃解決概率問題的應(yīng)用

例10、已知x,y∈(0,2)，求x-y<1的概率.

分析由幾何概型知x-y<1的概率

點(diǎn)評(píng)用面積思想解決幾何概型比較簡(jiǎn)潔、直觀.類似問題：兩人確定出發(fā)時(shí)間區(qū)域，到能見到面的概率都可用此法.

點(diǎn)評(píng)突出了在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處命題的方向，揭示了各章節(jié)間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了對(duì)綜合能力培養(yǎng)的重要性.

通過上面的例題剖析，我們不難看到，線性規(guī)劃最值題型的求解方法是多元的.只要我們能結(jié)合題意，善于抓住目標(biāo)函數(shù)的代數(shù)式，仔細(xì)挖掘約束條件，靈活變通解題方法，選擇適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化方式，有關(guān)線性規(guī)劃的最值問題就能迎刃而解.