余弦定理在n維空間和球面上的推廣

趙天宸

(華南師范大學附屬中學　510000)

余弦定理是平面幾何基本定理之一，早在公元前三世紀，歐幾里得在《幾何原本》中首先提出了余弦定理的原始形式.經過了長時間的演變，余弦定理如今發展出多種證明方法，為我們提供了多種角度去看待余弦定理，從中誕生出了更多的可能性.本文主要討論的是余弦定理在高維空間和曲面上的推廣.

一、低維余弦定理

基于普遍意義上的二維余弦定理(定理1)：a2+b2-2abcosθ=c2，推廣到三維空間(即三維余弦定理)，證明如下：

對于任意三角錐O-ABC，其四個面面積分別為S1,S2,S3,S4，θab指面積分別為Sa與Sb的面的夾角，將OA,OB,OC分別看作向量a,b,c,有

(a-c)×(b-c)=a×b-a×c-c×b.

兩邊平方，并由向量外積的幾何意義得到三維余弦定理(定理2)：

二、高維余弦定理

定義1：

其中，x(a1,a2,a3,…,an)被稱為(a1,a2,a3,…,an)的外積,a1=(a11,a12,…,a1n),a2=(a21,a22,…,a2n),…,an=(an1,an2,…,ann),e1=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,en=(0,0,…,0,1).

由以上定理和證明發現，二階行列式表示面積，三階行列式表示體積，將這個概念推廣到高維，有

其中，n∈Z*.特殊地，當n=2時，M表現為面積；當n=3時，M表現為體積.

定理4：定義1中的運算滿足分配律，即

x(a1,a2,a3,…,am+am′,…,an)=x(a1,a2,a3,…,am,…,an)+x(a1,a2,a3,…,am′,…,an).(2)

證根據外積的定義，這個定理與以下等式等價.

如果有

那么

證畢.

定理5：(余弦定理)一個n+1維體有n+2個n維物體構成，這些n維物體測度分別記為M1,M2,…,Mn+2.

證有一組向量a1,a2,a3,…,an+1，則x(a1-an+1,a2-an+1,a3-an+1,…,an-an+1)=x(a1,a2,a3,…,an)+x(a1,a2,…,an-1,-an+1)+x(a1,a2,…,an-2,-an+1,an)+…+x(-an+1,a2,a3,…,an,).

3.球面余弦定理

根據以上定義，可以得出：S=θR(其中，S為點A和點B在球面上的距離，θ為OA和OB的夾角，R為球面半徑).

證w，v，u是分別和OA，OB，OC方向相同的單位向量，為了表示∠C，我們需要求出a和b在c點的切線方向.設單位向量n1，n2分別是這兩個方向上的單位向量，不難求出

4.高維球面余弦定理

如果令R趨近于無窮大

運用洛必達法則，可以得出

觀察該式，不難發現這就是二維平面的余弦定理.這說明平面是半徑趨近于無窮大的球面,平面余弦定理其實是球面余弦定理的特殊情況.類似地，n維空間的余弦定理也應該是n維球面余弦定理的特殊情況.

余弦定理對于空間的維度和曲率有著特殊的意義，因而它可以被推廣到任意維度包括分數維以及任意曲面上，結合這兩種理論，甚至可以推導出任意維度，任意曲率的空間中的余弦定理.這個古老的定理正在孕育著新的可能性.