數形結合思想引入高中數學解題的實踐分析

馬新藝

(山東省泰安市第一中學　271000)

高中數學是初中數學的延伸，不僅難度更高，邏輯性也越來越強，這便對我們的基礎知識以及發散性思維提出了考驗.解題過程中，因為題目難度加大，為了提高解題效率與準確性，可以使用數形結合思想，一方面降低題目難度，另一方面則能夠使題目更加直觀地加以體現，從而快速、高效地完成解題.當前學習過程中，對于數形結合思想的運用存在一些疑惑，需要通過深入分析尋求解決方法.

一、數形結合思想應用要點

1.數學課堂學習

數學知識比較乏味，如果學習期間缺乏興趣，很容易影響學習效果.尤其是針對函數這一類難度較大的知識點，學習起來更是提不起興趣.如果在數學學習中應用數形結合思想，可以將抽象的數學知識轉化為具體的圖象，方便了理解，使數學的邏輯性減弱，從而提高數學學習效率.

2.數學作業解題

我們完成數學作業時，經常會面臨一些難度較大的習題，再加上沒有老師從旁引導，可能無法順利完成求解.如果應用有效的解題方法，便可以降低難度，通過圖象的解析透徹理解題目含義，從而保證作業質量，如例2，作業中有這樣一道習題，如果只是單純的讀題，求解可能存在難度，這時可以借助數形結合思想.

例2已知點M(3,5)，在y軸和直線y=x上分別找一點P和N，使得△MNP的周長最小．

解析作點M(3,5)關于y軸和直線y=x的對稱點M1,M2，則|MP|=|M1P|,|MN|=|M2N|，所以△MNP的周長等于|M1P|+|PN|+|M2N|,當且僅當M1,M2,P三點共線時取最小值，所以點P,N應為直線M1M2和y軸與直線y=x的交點．

作點M(3,5)關于y軸和直線y=x的對稱點M1,M2，則點M1,M2的坐標分別為(-3,5),(5,3).

整理得x+4y-17=0，即為直線M1M2的方程.

二、數形結合思想在數學解題中的應用

1.在向量中應用

向量是高中數學中的知識點之一，通過學習可以了解到，教材中主要是以數、形這兩個方面進行向量的研究與建構，比如向量以幾何、平行四邊行法則等方式表示，使向量更加體現“形”的特點.因此，學習向量這一部分知識時，最為關鍵的便是具備數形結合思想.因為向量坐標主要使用代數進行表示，所以針對向量問題的處理很多時候都會關注“數”，反而忽略了形.為了全面提升我們的解題水平,需要在求解向量習題時使用數形結合思想，如例3所示.

2.在集合中應用

數形結合思想在集合這一知識點中的體現，其作用是幫助我們更加形象的理解.通常集合運算其間，都會使Venn圖、數軸或者直角坐標系的方式，將題目直觀地體現.實際學習或者解題時，一般以Venn圖來表示離散的集合元素，以數軸表示連續的集合元素，如果集合為點集，這時則可以使用直角坐標系對元素進行表示，進而完成求解，如例4所示.

例4設f(x)是定義在R上以2為周期的函數,對于k∈Z用Zk表示區間(2k-1,2k+1),已知x∈Z0時,有f(x)=x2.

(1)求f(x)在Zk上的解析式;

(2)對于自然數k,求集合Mk={a|使方程f(x)=ax在Zk上有兩個不相等的實根}.

解析(1)如上圖從圖形可以看出f(x)=(x-2k)2.

(2)如下圖由f(x)=ax,x∈Zk,得(x-2k)2=ax，

從中解得:0

3.在不等式中應用

例5已知實數a、b，滿足a+b=1.求證：(a-3)2+(b+4)2≥2.

解析本題看似是不等式證明題，但是我們通過分析，不等式左端是距離的平方的形式，由已知條件，我們可以把問題轉化為點在直線上的位置關系，進而由點到直線的距離公式求解.

綜上所述，在高中數學解題中使用數形結合思想，能夠幫助我們理解習題，降低難度，使數學習題更加具體化，從而快速完成求解，這對于我們今后數學知識的學習有非常重要的幫助.