如何確定橡皮的上升速度

王偉民

(安徽省太和縣宮集鎮中心學校　236652)

從一道題目說起.

例題如圖1所示，一塊橡皮用細線懸掛于點O，現用只鉛筆貼著細線的左側水平向右以速度v勻速移動，運動過程中保持鉛筆的高度不變，懸掛橡皮的那段細線保持豎直，則在鉛筆未碰到橡皮前，橡皮的運動情況是().A.橡皮在水平方向上向右勻速運動.

B.橡皮在豎直方向上作加速運動.

C.橡皮的運動軌跡是一條直線.

分析因為鉛筆是貼著細線左側水平向右勻速移動，而懸掛橡皮的細線保持豎直，所以，在鉛筆向右運動過程中，橡皮始終在鉛筆的正下方，故，橡皮在水平方向上向右作勻速運動.

為判斷橡皮的運動情形，我們只需確定橡皮在豎直方向上運動速度的變化情況即可.

解法一用極限思想

對變速運動而言，在不發生速度突變的情況下，如果研究范圍的時間段選擇的很小，趨于零，那么，作變速運動的物體在該時間段內的運動，可以用勻速直線運動來看待.

我們用極限思想分析橡皮在豎直方向上的運動情形.如圖2所示，設在某一時刻，鉛筆向右運動至A點，此時，繩OA與鉛直線的夾角為θ，在很短時間內，鉛筆由A運動至B，設AB=s，在OB上截取OD=OA,則BD的長度便是橡皮在這段時間內上升的高度，由于時間很短，所以∠BOA≈0°，因此∠ADO≈90°,故∠CBO≈90°-θ，所以DB≈scos∠CBO≈ssinθ.

由于在0°～90°范圍內sinθ是增函數，所以，鉛筆向右勻速運動時，θ角在不斷增大，vy也將不斷增大，故，橡皮在隨鉛筆向右勻速運動的同時，向上作加速運動.

因此，鉛筆水平向右勻速運動過程中，橡皮運動合速度的大小為

這樣看來，例題所給的四個選項中，正確選項為A和B.我們再用其它方法確定橡皮在任意時刻豎直向上的瞬時速度.

解法二利用求導方法

由運動學知識可知，如果確定了路程與時間的函數關系式，那么，將路程對時間求導確立的等式，便是運動物體速度與時間的函數關系式.

圖2中，設OC=h，時間t后，鉛筆由初始位置C勻速運動至A點，則橡皮在豎直方向上升高的距離為

即vy=vsinθ

解法三運用外力對系統做功的方法

圖2中，對于鉛筆運動軌跡——水平直線上任何一個確定的點，橡皮上升速度(該時刻橡皮的瞬時上升速度)的大小，僅取決于鉛筆在水平方向上運動速度的大小，鉛筆水平速度為零，橡皮便停止不動，上升速度為零；鉛筆水平運動速度增大，橡皮在該點豎直上升的速度也會跟著增大.因此，我們只需確定在某點橡皮的豎直上升速度與水平運動速度的比即可.圖2中，選擇鉛筆運動至A點時，對鉛筆進行靜態受力情況分析，如圖3.

不考慮鉛筆的重力和鉛筆與繩子之間的摩擦力，則靜止不動的鉛筆受兩個力的作用，分別是與鉛筆接觸的繩子(是一段圓弧)對鉛筆的壓力和手對鉛筆的作用力，鉛筆靜止時，這兩個力是一對平衡力.而繩子對鉛筆的壓力指的是與鉛筆接觸的圓弧形繩子各點對鉛筆壓力的合力，大小等于繞過鉛筆的繩子兩邊拉力的合力(選擇圓弧形繩子進行受力分析，并根據牛頓第三定律很容易證明)，而在沒有摩擦力的情況下，繞過鉛筆的繩子兩邊拉力相等，都等于橡皮的重力G，如圖3所示.此時的鉛筆相當于受三個力的作用——繩的兩端對鉛筆的拉力和手對鉛筆的作用力(圖3中手的作用力沒有畫出)，鉛筆平衡時，手對鉛筆的作用力與繩子對鉛筆的作用力相比，它們在水平方向上的分力等值且反向，當鉛筆水平向右運動時，將鉛筆和橡皮組成的系統看作一個整體，由于沒有摩擦，則，手對該系統做的功等于該系統機械能的增量，由于鉛筆只是水平運動，所以，手對鉛筆的作用力，只有水平分力在做功，而在瞬間，因為速度的變化引起橡皮動能的變化無需考慮，因此，系統機械能的增量等于橡皮重力勢能的增量，故有：

Fsinθ·v=G·vy,即Gsinθ·v=G·vy

∴vy=vsinθ

三種解法相比，用系統對外做功的方法求解，可以省去對中間運動過程的分析，只需考慮在一個短的時間短內起始和末尾物體的狀態即可，解題過程顯得簡潔明快，干凈利落.