金融衍生品定價的文獻綜述

劉志偉

一、 對衍生品價格波動刻畫的研究綜述

1.分數(shù)Brown運動的研究綜述。法國數(shù)學家Louis Bachelier在其博士論文—投機理論（Théorie de spéculation）中首次用Brown運動來描述股票價格的變化，并給出了歐式買權的定價公式。英國著名水文學家 Hurst 是研究分數(shù) Brown 運動的先驅(qū)，他在觀察尼羅河水的規(guī)律過程中提出了分數(shù) Brown 運動。隨著金融市場的發(fā)展， 大量實證研究表明： B-S 模型的初始假定與實際情形存在差異； 規(guī)模效應， 季節(jié)效應， 尖峰厚尾等越來越多的現(xiàn)象已經(jīng)無法用標準Brown運動驅(qū)動的模型進行解釋；并且股票收益率的波動具有顯著的記憶性。 由分數(shù) Brown 運動本身具有的特性可以看出， 它能夠更好地描述金融市場資產(chǎn)價格的演變過程，由此大量學者開始利用分數(shù)Brown運動描述標的資產(chǎn)的波動行為。據(jù)此1968年Benoit Mandelbrot和Van Ness布朗運動模型引入金融市場：它具有自相似性、非平穩(wěn)性兩個重要性質(zhì)，反應了許多自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象的內(nèi)在特性，分數(shù)布朗運動有時也稱為分形布朗運動、有偏的隨機游走、分形時間序列、分形維納過程等。接著，1994年，有人實證表明用分數(shù)布朗運動來模擬股票價格的變化過程更加貼合實際。

雖然分數(shù)Brown已經(jīng)從理論和實際兩個層面都證明其對金融市場的描述更具有說服力，但是分數(shù)布朗運動不是半鞅且不具備馬氏性，故無法用標準的布朗運動隨機積分理論，即無法用傳統(tǒng)的數(shù)學工具來處理。

面對數(shù)學上工具的缺乏，于是有學者開始相關數(shù)學工具的研究。例如，1995年Lin建立了分數(shù)路徑依賴型積分，但隨后被Rogers照此積分理論建立的金融市場模型存在套利機會，似乎說明不能用分數(shù)布朗運動來描述標的資產(chǎn)的價格過程。可喜的是，Duncan，Hu Yaozhong和Ksendal一種分數(shù)布朗運動的隨機積分理論：Wick-Ito型隨機積分并推導出該積分的公式。而后，在分數(shù)Brown運動的基礎上又發(fā)展出廣義分數(shù)Brown運動。在最近的外文文獻大多就是用的混合分數(shù)Brown運動和廣義分數(shù)Brown運動。

為了彌補分數(shù)Brown運動的缺陷，Thao在2006年，針對分數(shù)Brown運動市場的特殊性質(zhì)，對分數(shù)Brown運動驅(qū)動的隨機微分方程進行了某種近似，將基于分數(shù)Brown運動的、不是鞅的資產(chǎn)價格過程用一個半鞅過程逼近。這種逼近為分數(shù)Brown運動市場研究找到了一個方向，因此半鞅過程逼近的分數(shù)Brown運動模型的金融資產(chǎn)衍生品的定價有了新的發(fā)展，Thao利用半鞅過程逼近的分數(shù)Brown運動模型討論了Hurst指數(shù)屬于（1，1/2）的分數(shù)Brown運動，且證明了此時基于分數(shù)Brown運動模型討論了Hurst指數(shù)屬于（1，1/2）的分數(shù)Brown運動，且證明了此時基于分數(shù)Brown運動市場是無存在套利機會的。

為了進一步讓混合分數(shù)Brown運動更加精確，此外，為了捕捉跳躍或不連續(xù)，且考慮標的資產(chǎn)的長期記憶性，于是，有學者將混合分數(shù)Brown運動和泊松跳過程集合起來。例如，2014年F. Shokrollahi和A. Kihcman的論文中就包含跳躍過程的混合分數(shù)Brownian運動，并寫出了在JMFBM條件下外幣期權的定價顯式公式，并進行了相關模擬。此外，模擬實驗結果表明，JMFBM模型比其他模型的模擬效果都好。在結論中，由于混合分數(shù)Brownian運動是一個合適的數(shù)學模型與隨機過程和深刻的跳躍是在金融市場不可否認的成分，跳混合分數(shù)Brown模型將定價的數(shù)量更合適的方法。

2016年Wenting Chen，Bowen Yan，Guanghua Lian 和Ying Zhang研究生GMFBM（廣義混合分數(shù)Brown運動generalized mixed fractional Brown motion）下美式期權的定價。通過組合分析和Wick—It? 公式的應用， 他們得到了在GMFBM驅(qū)動下關于美式期權價格的偏微分方程（PDE）。

2.跳過程的研究綜述。值得一提的是，上述刻畫方法都沒有涉及跳過程，而實際中，金融衍生品領域是存在許多突發(fā)沖擊的?，F(xiàn)代金融理論的幾乎每一個方面，從估值和投資組合選擇到期權定價和公司金融，以及數(shù)學金融領域的不斷擴大，嚴重依賴于概率的形式描述證券價格或其他潛在價值驅(qū)動因素的動態(tài)分布。雖然幾何布朗運動（GBM）曾作為一個方便的范例，在一段時間作為對GBM的經(jīng)驗證據(jù)積累，但1976年由Merton提出跳躍-擴散（AJD）模型，獲得了比GBM廣泛的認可主要是因為它被證明是一致的資產(chǎn)回報率的經(jīng)驗特征（高模式和過剩、峰度和偏度）。此外，大量的實證證據(jù)表明，期權定價公式為基礎的在和表示具有更好的定價精度。那就是，AJD模型更好的解釋的波動“微笑”和“斜”。鑒于這一轉(zhuǎn)變，AJD模型現(xiàn)在作為大多數(shù)動態(tài)資產(chǎn)組合選擇和資產(chǎn)估值模型（2003年Duffie等人提出）的首選。

仿射跳躍-擴散（AJD）的普及是由于它的結構上的靈活性，故能捕捉金融風險過程的重要特征，在計算標準和技術性期權與債券定價的擴展中，能變換與計量經(jīng)濟估計。此外，經(jīng)驗證據(jù)表明這些模型提供了優(yōu)越的數(shù)據(jù)擬合。仿射跳躍-擴散過程由3個元素組成：漂移，Brownian運動代表—正常的價格變化，和跳躍過程—描述極端的價格變動。

二、美式期權各數(shù)值方法研究綜述

1.資產(chǎn)價值刻畫的研究綜述。2002年劉韶躍，楊向群在標的資產(chǎn)或基礎股票的價格服從幾何分數(shù)布朗運動模型假設下，分別在無風險利率r和股價波動率e為常數(shù)和為時間t的非隨機函數(shù)的情況下，求出了有紅利支付的歐式期權的定價公式。之后，劉韶躍，楊向群在標的資產(chǎn)價格服從幾何分數(shù)布朗運動模型假設下，推導了幾種奇異期權的定價公式。

2007年侯迎春更注重我國實際的市場情況。基于分數(shù)Brown假設，根據(jù)我國權證市場的特點提出定價誤差的消除技術，構造了修正模型誤差的回歸模型，選取適當?shù)淖兞?，合理預測權證定價的模型誤差，提高權證的定價水平。 另外，將物質(zhì)商品的價格由市場的供需決定理論引入權證定價理論，認為權證價格也應當由市場的供需決定。換手率是市場供需的最好信號，同時也反映了市場炒作的熱度，將該因素引入定價誤差修正值的計算中是一個突破。

隨后，學者由分數(shù)Brown運動的研究轉(zhuǎn)向混合分數(shù)Brown的研究。2008年余征和閆理坦基于混合分數(shù)布朗運動為金融市場驅(qū)動模型的情況下，應用擬條件期望給出了完備的混合型 Black-Scholes 市場下歐式看漲期權的定價公式。

2009年杜文歌和劉小茂將跳引入分數(shù)Brown運動。假設股本權證標的資產(chǎn)價格服從分數(shù)布朗運動過程；并考慮到市場存在不確定因素而引起的價格巨大的波動，在模型中又引入了一個跳過程。首先得出權證定價的一般公式，最后在考慮股本權證行權后產(chǎn)生的稀釋效應，得出稀釋調(diào)整后的股本權證定價公式，并將其延伸到支付紅利情況下。

2010年肖煒麟更深一步將混合分數(shù)Brown運動的研究深入到了對其模型參數(shù)的估計。面對分數(shù)布朗運動和混合分數(shù)布朗運動刻畫權證標的資產(chǎn)價格變化的行為模式，采用經(jīng)典的極大似然法，在大樣本條件下（觀察間隔固定且觀察點足夠多），分別對混合布朗運動、幾何分數(shù)布朗運動、幾何混合分數(shù)布朗運動和分數(shù) Ornstein-Uhlenbeck 的參數(shù)進行了有效估計。

學者們逐漸將分數(shù)Brown的研究從簡單的歐式期權轉(zhuǎn)向其他奇異期權和美式期權。例如，2013年成佩基于分數(shù)布朗運動建立了匯率滿足的隨機微分方程，利用分形積分理論，在風險中性定價原理下得到了新模型下的外匯期權定價公式。建立的新模型中假設本國和外國的無風險利率均是時間的函數(shù)，使得新模型更貼近現(xiàn)實。另外，還利用修正的分析方法對我國外匯市場做了研究，結果表明我國外匯市場存在很明顯的分形結構。最后，通過實證對新模型和傳統(tǒng)的外匯期權模型做了比較，得到了分數(shù)布朗運動下的外匯期權定價。2014年夏雪麗也是研究了奇異期權的定價問題，具體對在分數(shù)Brown運動條件下對亞式期權定價進行了研究，并采用無套利利率模型，即在假設利率滿足Hull-White（單因子）利率模型的條件下，對具有固定執(zhí)行價格和浮動執(zhí)行價格的兩類幾何平均亞式期權進行了定價研究，推導出了相應的定價公式和看跌看漲平價關系式。

在大多模型中認為利率是恒定的，這與事實不符合，為此2016年金宇寰假設股價服從由分數(shù) Brown 運動及跳過程驅(qū)動的隨機微分方程，利率服從 Vasicek 模型，建立了雙分數(shù)跳-擴散環(huán)境下的金融市場數(shù)學模型，用保險精算方法和雙分數(shù) Brown 運動下的隨機分析知識，得到了可轉(zhuǎn)換債券定價公式。其模型中，不僅標的資產(chǎn)由分數(shù)Brown運動驅(qū)動，利率也由分數(shù)Brown運動驅(qū)動。

2.衍生品數(shù)值計算研究綜述。近幾年，國內(nèi)對有關各類期權的數(shù)值計算的研究特別重視。從各個方面提高了計算精度和計算速度。

2013年宋海明系統(tǒng)地分析了數(shù)值求解美式期權價格和回望期權價格的本質(zhì)困難，并針對求解難點，利用front-fixing變換，將求解區(qū)域由一個曲邊區(qū)域轉(zhuǎn)化為半無窮規(guī)則區(qū)域。然后利用完全匹配層（PML）技巧進行截斷，最后利用有限體積法對簡化后的問題進行離散，采用Newton迭代法交替迭代同時得到相關期權的價格和最優(yōu)實施邊界。整個顯著地降低了計算量及減小了數(shù)值反射，提高了計算精度。

2014年熊炳忠在介紹對偶變量法、控制變量法、重要抽樣技術以及分層抽樣法的基本原理基礎上，將這四種精度提高技術應用于標準歐式期權的模擬定價，基于R軟件平臺給出它們的實現(xiàn)程序，對比這些方法與普通蒙特卡洛模擬方法所給出期權定價的精度提高效果，結果表明它們都有較好的提高精度效果，尤其是分層抽樣法，精度可以達到一般蒙特卡洛模擬精度的5倍之多。

2016年甘小艇，陽鶯和劉勝考慮有限元方法結合模方法定價美式期權。基于線性有限元空間，構造了B-S方程的向后歐拉和Crank-Nicolson兩種全離散有限元格式。采用模超松弛迭代方法求解有限元離散得到的線性互補問題，并建立H+-離散矩陣下模超松弛迭代（MSOR）方法的收斂定理。數(shù)值實驗驗證了方法的有效性，也說明 MSOR方法的計算效率優(yōu)于投影超松弛迭代（PSOR）方法。

（作者單位：新疆財經(jīng)大學）