多等級供應模式下魚雷武器備件補給策略優化*

魏 勇 ，邵松世 ，原 龍 ，侯聚林

（1.海軍潛艇學院，山東 青島 266199；2.海軍工程大學科研部，武漢 430033；3.解放軍91352部隊，山東 威海 264200）

0 引言

在多等級保障組織體系里，備件處于不同等級的保障單位時，發揮的作用也不同。在過去幾十年中出現了大量備件預測相關模型及方法，如以METRIC 和 VARI-METRIC 為代表的采用（S-1，S）補給策略的多等級庫存系統預測模型［1］；Muckstadt［2］將備件結構層級進行分解，提出了多層級MODE-METRIC 模型；Graves［3］研究了該模型近似算法的簡單推導過程并通過試驗對其進行驗證；Slay和Sherbrooke提出了備件初始配置優化的多等級多層級理論，即VARI-METRIC模型［4］。綜觀這些模型，其理論最初瞄準的是高可靠性或貴重件的備件供應問題。因為貴重，所以有其最終修復概率等于1的假定［5］。因為高可靠性，所以故障率低、故障間隔時間長。所以從高可靠性、貴重件的備件庫存角度，采用（S-1，S）策略無疑是合理的［6］。

但是在裝備中，除了高可靠性、貴重的部件外，還有那些可靠性和價格都一般的部件。對這些部件，無論是理論上還是實際工作中，如果仍然采用“消耗一件、申請一件、補充一件”的（S-1，S）策略，則不盡合理，需要對其他備件補給策略進行研究。

因此，本文針對那些可靠性和價格都一般的部件，在多級供應模式下［7］，當站點發生一次故障、消耗一件備件后，不急于馬上申請備件，而是依靠站點當前的剩余備件數量時，提出采用（S-X，S）補給策略，在此基礎上利用Gamma等效評估法，建立備件保障效果使用可用度數學模型，對不完全修復件進行各站點備件方案的保障效果評估，為解決該類裝備的備件配置供應問題提供了通用的方法。

1 問題描述

所謂（S-X，S）策略，在本文中指：每當站點發生一次故障、消耗一件備件后，不急于馬上申請備件，而是依靠站點當前的剩余備件數量，評估在剩余任務時間內完成任務的可能性，計算其能否滿足執行任務期間的保障要求。如果不能達到保障要求，再發出備件補充申請。在（S-X，S）策略中，X指站點備件累計消耗的數量，當剩余備件數量S-X不能滿足剩余任務時間的保障要求時，才請求補充備件。X的物理含義是備件補給時機。顯然，在（S-X，S）策略下，站點會優先、充分使用自身的備件，只有當覺得無把握達到保障要求時，才會發出備件申請，“消耗”后方倉庫的備件。

無論是（S-1，S）策略還是（S-X，S）策略，其描述的是站點與上級保障機構之間關于備件補充的約定，與裝備內的層級結構無關。因此，本文中，以單層裝備、兩級保障組織結構、多站點（站點上的裝備列裝數量各不相同）為背景，進行論述，如圖1所示。

圖1 兩級保障組織體系結構圖

對于（S-1，S）策略，當站點的裝備發生故障后，將隨之發生以下事件：

1）在站點，使用備件對故障件進行換件維修以排除故障、裝備恢復工作。

2）在站點，對故障件進行修理，如果修理失敗，則故障件送往上級保障機構繼續修理。

3）當站點的故障件修理失敗后，向上級保障機構申請一件備件，用于補充站點消耗的備件。

對于（S-X，S）策略，當站點的裝備發生故障后，將隨之發生以下事件：

1）在站點，使用備件對故障件進行換件維修以排除故障、裝備恢復工作。

2）在站點，對故障件進行修理，如果修理失敗，則故障件送往上級保障機構繼續修理。

3）站點每發生一次故障，根據站點現有備件數量，計算其在剩余任務時間內的保障效果，并與保障要求Pa0相比較，如果低于保障要求則向后方倉庫申領一件備件。

比較上述故障發生后的事件處理過程，發現在更換故障件和修理故障件上，無論采用（S-1，S）或（S-X，S）策略，二者其實并無區別，并沒有因為補給策略發生變化而變化。受補給策略變化影響的，只是備件申請時機和備件補充數量。

因此，采用（S-X，S）策略的保障過程仿真模型，其流程其實與采用（S-1，S）策略的仿真模型大體一樣，只需在（S-X，S）策略的仿真模型基礎上，改變站點的備件申請和后方倉庫的申請響應部分，就可以實現（S-X，S）策略下的保障過程仿真。

2 使用可用度數學模型

2.1 問題假設

記保障任務時間為Tw，假定：1）保障組織體系為兩級兩站點，后方倉庫備件數量記為S1，站點1自身配備的備件數量記為S21，站點2自身配備的備件數量記為S22。2）站點1配有n1個產品單元，站點2配有n2個產品單元；產品單元為不修復件，壽命服從指數分布exp（μ）；站點內各單元之間為串聯關系；各個站點的產品為連續工作，每天的工作時間相同。3）站點向后方倉庫提出備件申請的耗時為零。4）備件從后方倉庫到站點存在運輸時間Ty12，Ty12為常數，其物理含義為平均運輸時間。5）在站點，該產品單元（不修復件）發生故障后即報廢，通過用備件更換故障件的方式使產品單元恢復工作，換件維修耗時為零。6）站點采用（S-1，S）備件補給策略時：站點每發生一次故障，向后方倉庫申領一件備件。7）站點采用（S-X，S）備件補給策略時：站點每發生一次故障，根據站點現有備件數量，計算其在剩余任務時間內的保障效果，并與保障要求Pa0相比較，如果低于保障要求則向后方倉庫申領一件備件。

分別采用（S-1，S）和（S-X，S）備件補給策略，建立仿真模型，模擬備件方案的保障效果，統計各個站點備件方案的使用可用度。

2.2 （S-1，S）策略使用可用度統計模型

2.2.1 備件數量比例模型

以兩級兩站點為例，某型產品單元在站點1的列裝數量為n1，在站點2的列裝數量為n2，假定該產品在兩個站點的每天工作時間相同，則對于壽命服從指數分布exp（μ）的單元，由于指數分布的無記憶性，其在某時間區間段內發生故障的次數與區間的時間起點/終點無關，只與區間的長度t有關，且該時間內的平均故障次數為：

因此，站點1競爭到的上級備件數量占上級總備件數量的比例Pg1為：

站點2競爭到的上級備件數量占上級總備件數量的比例Pg2為：

2.2.2 使用可用度模型

1）產品單元的故障間隔時間服從指數分布exp（μ），則等效后的不修復件壽命服從指數分布exp（μ2）。

2）站點1、站點2獲得后方倉庫備件數量S11、S12為：

3）根據Gamma分布的卷積特性，S1在批次備件支持下，站點1該部件的累積工作時間服從Gamma分布Ga（1+S11+S21，μ2/n1），站點2該部件的累積工作時間服從Gamma分布Ga（1+S12+S22，μ2/n2）。

則備件保障概率P1就是Ga（1+S11+S21，μ2/n1）分布的可靠度R1（Tw），因此：

備件保障概率P2就是Ga（1+S12+S22，μ2/n2）分布的可靠度R2（Tw），因此：

在Matlab中，利用計算Gamma分布的失效度函數gamcdf（），上述兩式可表達為

由于使用可用度是平均保障概率，因此，兩產品在保障任務期間的使用可用度AO為：

2.3 （S-X，S）策略使用可用度統計模型

該統計模型基于離散事件仿真原理實現，模型中的關鍵事件為發生故障。在現實中，故障發生后的業務主要有2項：

1）備件申請/響應。根據（S-X，S）備件補給策略，站點向后方倉庫請求補給一批備件。如果后方倉庫視備件庫存情況，盡快向站點下撥備件，該備件發出后，經運輸時間Ty后到達站點。

2）換件維修。在裝備現場，如果站點有備件，則立刻開展換件維修；如果站點沒有備件則視1）備件申請結果而決定—如果后方倉庫有備件，則在Ty后備件到達時，完成換件維修，裝備繼續工作；如果后方倉庫始終沒有備件，則裝備永久停機，保障任務失敗。

由于換件維修的結果有賴于申請備件事件的結果，為了更好地仿真實現上述故障處理業務，對站點中的第i件備件建立一個包含2項數值的行數組來表達，行數組的結構如下：

sTi為該備件最早在站點能被用于換件維修的時間。

sFi為該備件是否已被消耗，未消耗時：

令sFi=1，已消耗令sFi=0。

仿真流程如下：

1）仿真初始化。仿真時間simT=0，站點1和站點2的備件倉庫可用如下矩陣wareS21、wareS22表示：

2）模擬故障。根據產品單元的故障間隔時間統計規律產生隨機數Trnd，令simT=simT+Trnd，simT為模擬的故障發生時刻。

3）模擬備件申請/響應。在故障發生時刻simT，首先模擬后方倉庫對站點的備件申請響應如下：

判斷S1是否大于X。

是，則在站點備件矩陣的最后增加一條行數據。

且sTj=simT+Ty、sFj=X，更新后方倉庫的庫存狀態：S1=S1-X。

4）模擬站點的換件維修。先在wareS21、wareS22中找出所有未被消耗的可用備件，再在可用備件中找出能被最先使用（sTj中最小）的備件，其序號記為k，更新站點備件庫存信息：令sFk=0。則sFk和simT中的最大值為換件維修完畢、故障排除裝備開始繼續工作的時刻，推進仿真時間到該時刻：simT=max（sTk，simT）。

5）判斷仿真是否終止。

如果不滿足終止條件，則轉式（2）。

仿真終止條件為滿足以下兩個條件中的任意一個：

條件1：simT大于等于Tw；

條件2：站點備件倉庫wareS21、wareS22中找不到可用備件。

在仿真終止后，統計各站點產品的累積工作時間simTw，利用累積工作時間可計算各站點使用可用度：

3 算例分析

算例參數：假定某魚雷武器保障任務時間Tw的取值范圍為3 000～10 000，備件倉庫備件數量S1=6；站點1的列裝數n1=1，備件數量S21=2；站點2的列裝數n2=3，備件數量S22=10；產品單元平均壽命μ=1 000，備件運輸時間Ty12=100，保障要求Pa0=0.9。

對上述參數進行分析，發現：如果不考慮后方倉庫的備件，站點1的初始備件方案是一個即便保障任務時間Tw=2 000，備件數量仍顯不足的“壞”方案（其使用可用度為0.730）；站點2的初始備件方案是一個保障任務時間長達Tw=4 000，其使用可用度仍可高達0.915的備件數量較為充足的“好”方案。

圖2顯示了不同備件補給策略對站點方案保障效果的影響。

圖2 兩種備件補給策略對不同站點使用可用度的影響結果

從圖2可以看出：

1）采用（S-1，S）備件補給策略時，由于站點2的列裝數量大于站點1，因此，后方倉庫的備件大部分會分配給站點2，站點1和站點2由于初始方案導致的“壞、好”差異雖然由于后方倉庫備件的原因有所改善，但站點1和站點2同時滿足使用可用度不低于0.9保障要求的保障任務時間小于4 000。

2）采用（S-X，S）備件補給策略時，由于站點 1備件方案的“先天不足”和站點2備件數量較為充分，站點1會優先提出備件申請，因此，站點1的保障效果得到明顯改善，站點1和站點2同時滿足使用可用度不低于0.9保障要求的保障任務時間可以達到4 500。

圖3顯示了各站點備件方案受不同備件補給策略的保障效果影響情況。

圖3 各站點使用可用度受兩種備件補給策略的影響結果

從圖3可以看出：

1）站點 1受益于（S-X，S）備件補給策略，能有效改善保障效果。

2）在保障任務時間較短或較長的情況下，站點2在（S-1，S）和（S-X，S）備件補給策略下的保障結果差別不大。只有在使用可用度為中等數值情況下，站點2在（S-X，S）備件補給策略下的保障結果會稍遜于（S-1，S）備件補給策略，其原因在于該算例中后方倉庫的初始備件數量有限，站點1的備件申請更為“急迫”、先期被滿足，后期可分配的后方倉庫備件數量相對減少，導致使用可用度有所減少。

4 結論

顯然，在（S-X，S）策略下，站點會優先、充分使用自身的備件，只有當覺得無把握達到保障要求時，才會發出備件申請，“消耗”后方倉庫的備件。此時，后方倉庫備件的作用可以稱之為“雪中送炭”。相比（S-1，S）策略，（S-X，S）策略有可能更為顯著地發揮上級保障單位“扶危濟困”的作用。