液-固界面反射縱波的虛擬橫向位移

法　林,席冰潔,張曉琳,張　琦,王毛毛,范　瑾

(西安郵電大學 電子工程學院,陜西 西安 710121)

光學中存在稱為“Goos-H?nchen效應”的一種物理現象:當光波在過臨界角區域從光密介質入射到光疏介質時，全反射將產生相干干涉，在界面上合成相對入射點具有一個橫向位移的反射波。該現象被廣泛應用于光學界面的研究和實際生活之中，如納米光子學[1]、光開關和集成光學等。

光學的某些物理現象與聲學相似，故考慮類比光學對聲學[2]進行研究，將光學中的“Goos-H?nchen效應”直接推廣到聲學的相關應用中。文獻[3-6]將其應用到聲波測井和超聲無損探測中,文獻[7-8]討論在不同介質中聲學橫向偏移模型產生的渡越時間對地震勘探數據時-深轉換的影響，但都簡單化了聲波信號在界面上由于反射而產生的渡越時間/橫向位移的實際情況。

聲波在界面上具有一些不同于光波的物理性質，在過入射臨界角區域光波產生全反射,而聲波不能產生全反射，故不能完全等效光波的做法進行研究。僅考慮單頻反射波的情況并不夠全面,包含多頻成分的實際反射信號子波的情況也不容忽略。在實際應用中，聲源輻射的不是單頻波，而是由許多具有不同幅度和不同頻率分量的子波信號組成。

本文將基于已有對時諧聲波在兩種不同介質界面上產生的渡越時間和橫向位移的研究基礎上，建立包含多頻率分量的反射聲波信號在液-固界面的虛擬橫向位移模型，根據法應力分量連續和質點位移法向應力分量連續的邊界條件，推導出縱波(primary wave,P-波)到P-波的反射系數、反射P-波在液-固界面上相對入射波產生的橫向位移和渡越時間的解析表達式，并給出反射P-波在界面上的有效傳播速度與界面兩側介質的物理特性、入射角及頻率之間的關系，進而以傅里葉變換為工具,對反射聲波信號的各個頻率分量在液-固界面產生的渡越時間和橫向位移進行計算和分析,從而得到反射聲波信號在液-固界面上產生的聲信號。

1　模型的建立

1.1　反射P-波相對于入射P-波的相移

如圖1所示，角頻率為ω的簡諧P-波在xOz平面傳播，并在液-固界面產生反射/折射。以m=0、1、2、3分別表示入射P-波、反射P-波、折射P-波和折射垂直偏振橫波(secondary vertically wave,SV-波)，θ(m)是其幾何角度，R(m)是其系數，其歸一化的質點位移可表示為[9]

其中，k(m)是波數。由液-固界面法向質點位移分量連續和法向應力分量連續的邊界條件，P-波到P-波的反射系數可寫為[10]

(1)

其中

(2)

(3)

其中,v(m)是波的相速度，f、s分別表示液體和固體，c11、c12、c44為彈性常量。

圖1　簡諧聲波在液-固界面的反射/折射

是純虛數，故方程(2)和(3)可簡化為

ΔR(1)=a1+ib1,

(4)

Δ(1)=c1+id1。

(5)

其中

(6)

因此，反射P-波相對于入射P-波產生的相移可寫為

(7)

1.2　虛擬橫向位移模型分析

如圖2所示，對于虛擬橫向位移模型，簡諧聲波的傳播路徑為T→A→RI，入射點和反射點在界面上是相同的空間位置A，在空間位置RI處觀察到反射波。

圖2　虛擬橫向位移模型

考慮到波數的z分量存在關系

通過公式(7)可以獲得在液-固界面上反射簡諧P-波相對入射簡諧P-波產生的橫向位移[11]

其中

相應的渡越時間可表示為[12]

其中

(8)

從上式可知，簡諧反射P-波在界面上的有效傳播速度與頻率無關，但與入射角θ(0)和界面兩側介質有關。

2　聲源首波信號

考慮到滑行折射P-波的傳播路徑與反射P-波不同，采用到達觀察點的時間差這一參數對首次到達觀察點的聲波信號進行研究?；姓凵銹-波的反射模型如圖3所示，其中T為聲源，R是觀察位置，ξ是幾何結構角度，a是聲源/觀察點到界面的距離，L是聲源與觀察點之間的距離。

圖3　滑行折射P-波反射模型

對于“聲波測井滑行折射P-波模型”，聲波信號的傳輸路徑為T→M1→M2→R，計算聲波首波信號傳播時間的公式為[13]

(9)

聲源輻射的聲信號通常是由許多不同的頻率分量組成。對于虛擬橫向位移模型，由公式(8)可知反射聲波信號中的各頻率分量在界面上的傳播速度與頻率無關，因此,這些頻率分量被反射并沿著相同的路徑T→O→R到達指定的觀察點R，如圖3中虛線所示。反射聲波信號在界面上產生的渡越時間為

ΔtI=tI-tp，

其中:tI是聲波信號從T到O，然后經過在界面的空間點O的反射，再從空間點O到觀察點R的總傳輸時間；tp是聲波信號沿著同樣的路徑在水中的傳播時間。

依據公式(9)可以計算出“滑行折射P-波聲波測井模型”中的聲波信號的傳輸時間ts。依據關系ΔtIs=tI-ts可以得到上述傳播時間ts與“虛擬橫向位移模型”聲波傳播時間tI之間的差別。

對于虛擬橫向位移模型，盡管在界面上的反射點和入射點被認為是同一空間點O，聲波信號的所有頻率分量具有相同的傳播路徑，然而在聲波信號中的每個頻率分量都有其獨特的渡越時間。因此，在觀測點R處，聲波信號中的第j個(j=1,2,…,N)頻率分量的表達式可被寫為

(10)

3　計算和分析

讓聲源或觀察點到液-固界面的距離

a=0.085 m，

聲源到觀察點的距離

L=0.142 6 m，

那么

θ(0)=ξ=40°。

選擇液-固界面兩側介質的物理參數如表1。其中，ρ是介質的密度，vp是P-波在介質中的傳播速度，vs是SV-波在固體介質中的傳播速度。對于這樣的水和有機玻璃構成的液-固界面，存在一個對應折射P-波的入射臨界角。

表1　界面兩側介質的物理參數

3.1　聲源

選取中心頻率[15]為1 MHz的Ricker子波[16]作為聲源，并假設它向外全方位的輻射聲波信號，其時域和頻域的表達式分別為

Ricker子波的時域波形和頻域幅度譜如圖4所示。

圖4　Ricker子波的波形和幅度譜

3.2　反射系數

依據公式(6)和公式(7)，可以得到液-固界面P-波到P-波反射系數及相移與入射角之間的關系，如圖5所示。

圖5　P-波到P-波的反射系數

3.3　簡諧反射P-波在界面上的傳播速度

根據公式(8)可以得出，在過入射臨界角區域，反射P-波在液-固界面的有效傳播速度與入射角的關系，即速度譜隨著入射角的增加而單調減小，如圖6所示。計算結果表明：在入射臨界角附近，反射P-波在界面上的有效傳播速度趨近于P-波在固體介質中的傳播速度；而當入射角接近90°，這個傳播速度接近P-波在水中的傳播速度。

圖6　反射P-波傳播速度

3.4　時域波形、渡越時間和傳輸時間偏離

圖7　聲波信號時域波形及渡越和傳輸時間

4　結語

對于液-固界面的過入射臨界角區域，通過研究反射聲波信號的物理特性，可以得出以下結論：

(1) 基于提出虛擬橫向位移模型可知，反射簡諧P-波在液-固界面上產生的渡越時間與其頻率有關，頻率越低，產生的渡越時間越長；

(2) 反射P-波在界面上的等效傳播速度與頻率無關，但與界面兩側介質的物理參數和入射角有關；

(3) 在入射臨界角的附近區域，用傳統的聲波測井的滑行折射P-模型來計算P-波在界面固體中的傳播速度是一個很好的近似，但在其它入射角區域，用上述模型計算出的P-波在固體中的傳播速度將會產生大的誤差。

(4) 在對應折射P-波的過入射臨界角區域，折射P-波是一種沿著與界面平行方向傳播、沿著界面垂直方向按指數規律衰減的漸失波。因此可以推斷，在聲波測井中觀察到聲波信號的首至是反射P-波，而不是滑行折射P-波。