同心式永磁齒輪啟動特性建模與分析

葛研軍　袁　直　趙　鵬　周凱凱　方　飛

大連交通大學機械工程學院，大連，116028

0　引言

永磁齒輪具有非接觸、無摩擦、低噪聲、低振動及高可靠性等特點，是目前國內外研究的熱點。同心式永磁齒輪（concentric permanent magnetic gear，CPMG）是一種新型高效的永磁齒輪［1］，永磁體利用率高、轉矩密度大，被廣泛應用于特種車輛、艦船推進器、航空發動機、風能和潮汐能發電機等［2］。

CPMG主要由外磁圈、內磁圈及調磁環組成。其中，磁極數較少的為高速永磁圈，磁極數較多的為低速永磁圈；調磁環由導磁和非導磁性材料交替組成。調磁環的引入使內外磁圈形成了兩層氣隙，并可將內外磁圈永磁體產生的磁場諧波調配一致，實現從動轉子按一定傳動比進行動力傳遞。

CPMG運動時，由于氣隙磁場模型是在時間維度上進行的三維非線性數理模型求解，因此理論分析較為困難。文獻［3-4］采用分離變量法和麥克斯韋應力張量法對CPMG的靜態磁場及轉矩進行了理論分析。文獻［5-7］采用有限元方法研究了CPMG結構參數對氣隙磁場及轉矩特性的影響。文獻［8-9］根據電機齒槽轉矩原理分析了CPMG的轉矩特性。

上述文獻均僅對CPMG的最大靜態轉矩及靜態磁場特性進行了研究，而忽略了CPMG實際運行尤其是啟動時的工作特性。

本文基于轉子動力學原理及動量矩定理，對CPMG的啟動過程進行數理建模，研究了主動轉子經調制后產生的旋轉磁場與從動轉子同步轉速的運行機理，分析了CPMG傳動比、啟動角以及從動轉子輸出轉速對其啟動特性的影響，并通過電磁仿真軟件對上述特性進行了逐一分析驗證。

1　 CPMG啟動特性

CPMG的機械結構見圖1，其中，ni為低速轉子的轉速，Ii為其轉動慣量，no為高速轉子瞬時轉速，Io為其轉動慣量。CPMG的外磁圈、內磁圈及調磁環均可作為轉子或定子使用。當調磁環固定時，CPMG將形成內外轉子反向旋轉的負號機構；當外轉子固定時，則形成調磁環與內轉子同向旋轉的正號機構。

圖1　 CPMG機械結構Fig.1　CPMG mechanical structure

本文主要分析CPMG負號機構的動態性能，即將圖1中的低速永磁圈設為主動轉子（與原動機相連），高速永磁圈設為從動轉子（與工作機相連），調磁環則為定子。正號機構及減速時的分析方法與此相同。

1.1　從動轉子啟動點特性分析

CPMG旋轉時轉子間通過氣隙產生磁轉矩。由文獻［10］的數理計算及文獻［11］的測試結果可知：從動轉子瞬時輸出轉矩To與其偏離平衡位置（即主動轉子與從動轉子間磁力矩為零時的位置）的角度差α滿足如下關系：

式中，No為從動轉子磁極對數；Tm為峰值轉矩。

To與α的關系曲線見圖2。圖2中，T1為負載轉矩，點B、點E、點H表示此時機構輸出轉矩等于負載轉矩，所對應的角度差α分別為αB、αE、αH；T2為同步轉矩，在一個周期曲線內所對應的點為D與K，其角度差為αD與αK，Tm對應的角度差為αC。由于點C、D、K均在圖2所示的BE區間內，因此點D、K也可與點C重合。

圖2　To與α關系曲線Fig.2　Toandαrelation curve

由圖2可知：

（1）當主動轉子自點A開始順時針旋轉時，從動轉子在[0,αB)內所輸出轉矩為正，但始終小于負載轉矩T1，因此從動轉子將會反轉；當α增大到[αB,αE]時，To≥ T1，此時從動轉子的反轉速度開始遞減，并向正轉速方向過渡直至恢復穩定運行狀態。

（2）當主動轉子自點B開始順時針旋轉時，輸出轉矩始終大于負載轉矩，即To≥T1，從動轉子直接正轉加速直至同步轉速，此區間可正常運行至穩定狀態。

（3）當主動轉子自點E開始順時針旋轉時，To≤T1，因此也將產生反轉現象，且隨α增大反轉速度加快；只有當主動轉子相對于調制磁場再轉過一個磁極弧度到達點H后，此時To≥T1，反轉速度逐漸降低，并開始向正轉方向過渡。

綜上，從動轉子啟動點的選取對CPMG能否正常啟動至關重要。由上述分析可以看出：在從動轉子所受轉矩與負載轉矩相等且啟動轉矩持續增大的位置（圖2中的點B）處開始啟動最為理想。

1.2　從動轉子啟動特性曲線

圖1中CPMG正常啟動時的有限元仿真曲線見圖3，與圖2中α在區間[0,αB)內且可加速至同步磁場轉速的啟動過程曲線相對應。

圖3所標識的各點分別與圖2中一個周期內的各點相對應，即圖3中的A、A1、…、An與圖2中的A點相對應，B、C與A類同。

設CPMG逆時針方向為正，順時針方向為負；主動轉子的轉速為ni，轉動慣量為Ii，轉矩為Ti，磁極對數為Ni；從動轉子瞬時轉速為no，轉動慣量為Io，磁極對數為No；傳動比為G，且 G=-Ni/No；從動轉子輸出轉速的最終收斂值（即穩定后的轉速）為nT，且nT=Gni。

由圖3可看出，To及no的周期被不斷拉長直至穩定在T1及nT附近上下波動。當從動轉子在圖2所示的AB區間段運行時，由動量矩定理知，此時no加速反轉，且反轉速度在圖2中的αB處達到最大值。

圖3　CPMG從動轉子啟動轉矩及轉速輸出曲線Fig.3　Starting torque and speed output curve of CPMG slave rotor

圖3中的B至B1段是向平穩運行方向的加速階段，對應圖2中的BE段，此時α逐漸加大，To也逐漸加大，且在圖2點C處達到最大轉矩Tm；此時從動轉子繼續加速至同步轉速點D；此后雖然從動轉子繼續加速，但To開始逐步減小至點E，此時no達到最大值（圖3中的點B1所對應的轉速曲線值）。

由圖3還可看出：隨α增大，To＜T1，此時no開始減小；當從動轉子到達圖3所示的A1點時，no=nT，由于此時仍為To＜T1，因此no將繼續減小，而α則開始進入下一個周期（B2點所對應的αB）循環，此時To=T1，從動轉子也開始重復上述加速過程，直至To及no在T1與nT附近小范圍內波動并達到平衡狀態。

1.3　動態數理建模

當從動轉子還未啟動即no=0時，主動轉子所產生的磁場每旋轉一周，作用在從動轉子上的磁轉矩便交變No次，而從動轉子一對磁極所對應的物理角度為2π/No。

設主動轉子的旋轉磁場相對于從動轉子磁場的轉速為n′i，作用在從動轉子上轉矩的交變周期為tp，則

由式（2）可得圖4所示的tp變化曲線。由式（2）及圖4可知，當no由0逐漸增大時，tp也將逐漸增大，分別形成圖4中的曲線1到曲線n，此時作用在從動轉子的正轉矩時間也不斷延長，因此從動轉子易于啟動。

圖4　CPMG啟動時從動轉子輸出轉矩曲線Fig.4　The output torque curve of the driven rotor at the start of CPMG

圖4中，設從動轉子在t1時刻所受的負載轉矩恒定，則：當t＜t1時，To＜T1，此時從動轉子朝反方向加速旋轉；當t=t1時，To=T1，此時系統處于臨界狀態，從動轉子的加速度為0；當t1＜t＜-t1時，To＞ T1，此時從動轉子將受到逐漸增大的沖量作用而開始向正方向加速運動；當nT較大時，tp取值也較大，CPMG較易啟動，反之，則較難啟動；當no→nT時，tp→∞，此時從動轉子完成啟動。

1.4　啟動及過載保護特性

由于從動轉子與耦合磁場存在相對轉速差且在啟動過程中不斷變化，而采用有限元方法的模型求解過程中均忽略了這一因素，因此所得仿真結果僅反映CPMG啟動過程中某時刻的運行狀態。為能準確反映整個啟動過程，可通過Simulink加入圖5所示的反饋機制。

圖5 CPMG動態仿真框圖Fig.5　CPMG dynamic simulation block diagram

圖5中，設ni=200 r/min，采樣時間為600 ms，則由圖5可得系統啟動時的從動轉子轉速特性曲線，見圖6。由圖6可知：當0＜t＜50 ms時，主從動轉子之間的相對轉速差較大，從動轉子所受的磁力矩變化較快，導致其轉速波動較大；隨著從動轉子不斷加速運行，最終將逐漸與主動轉子調制后的旋轉磁場同步運行，此時主從動轉子間的相對轉速差逐漸減小，并在轉子轉動慣量和阻尼的作用下，波動逐漸變緩并于150 ms至200 ms時趨于穩定；當200 ms＜t＜350 ms時，從動轉子所帶負載轉矩超過CPMG的最大輸出轉矩，從動轉子開始“丟轉”，而主動轉子仍以原速度旋轉，此為CPMG的過載保護特性。該特性將保護傳動系統中的動力源機負載系統，且當負載轉矩減小至CPMG的最大輸出轉矩時，從動轉子將重新啟動，即圖6所示350 ms＜t＜600 ms間的曲線。

圖6　CPMG從動轉子啟動轉速特性曲線Fig.6　Starting speed characteristic curve of CPMG driven rotor

2　 CPMG動態特性有限元分析

根據文獻［12］中的CPMG結構參數（最大承載功率為5 kW），設計了3種傳動比的CPMG，其結構參數見表1。設定ni=200 r/min；永磁體均為平行充磁，材料為NdFeB35，相對磁導率為1.099 7；調磁環所用材料為D23_50；3個模型中除永磁體數目不同外，其他幾何尺寸及模型參數完全相同。

表1　 CPMG的結構參數Tab.1　CPMG’s structural parameters

2.1　不同傳動比對啟動轉速及轉矩的影響

根據表1參數，基于ANSYS分別建立上述3種傳動比的CPMG有限元模型，并分別對其進行電磁仿真，得到從動轉子由圖4所示的t1時刻開始啟動時的轉矩與轉速曲線，見圖7及圖8。

圖7　 CPMG轉矩曲線Fig.7　CPMG torque curve

由圖7及圖8可知，對于不同傳動比的CPMG，其轉矩與轉速曲線波動幅值明顯不同。當傳動比為整數（G=6）時，轉矩與轉速的波動幅值較大，最大與最小輸出轉速約為1 850 r/min、500 r/min，兩者相差1 350 r/min，約為理論輸出轉速1 200 r/min的112.5%；同理，當傳動比為小數（G=5.5）時，其轉速與轉矩波動將大為減小，最大與最小輸出轉速約為1 200 r/min、800 r/min，兩者相差400 r/min，約為理論輸出轉速1 200 r/min的33.3%；當傳動比所含的小數位增多（G=5.75）時，其轉速與轉矩波動將更小，約為輸出轉矩峰值的10%～20%。

2.2　從動轉子轉速對轉矩周期的影響

將no分別取值為0、300 r/min及600 r/min，并將其分別代入式（2）中，可得tp的取值結果分別為13.652 ms、19.287 ms及28.545 ms。

圖8　 CPMG轉速曲線Fig.8　CPMG speed curve

圖9　轉矩輸出曲線Fig.9　Torque output curve

根據上述對傳動比的分析結果，取表1中的傳動比5.75，建立其CPMG有限元模型，并對從動轉子的轉速與轉矩進行有限元仿真。從動轉子不同轉速下的轉矩輸出曲線見圖9。由圖9可知，隨著no的不斷增大，tp也在不斷增長，并形成圖4所示的周期變化規律，有限元仿真所得的轉矩周期與式（2）計算結果基本相同，分別為圖9a所示的tp=13 ms、圖9b所示的tp=19 ms及圖9c所示的tp=30 ms。

2.3　不同啟動角對啟動性能的影響

由圖2的理論分析可知，CPMG在點A及點E處均不能正常啟動，而點B為其啟動的最佳位置。為驗證上述分析的正確性，可建立G=5.75、負載恒定（Tl=50 N·m）的CPMG有限元模型，上述三點的啟動特性曲線見圖10。

由圖10可知：CPMG在點A處無法正常啟動，其原因是點A的輸出轉矩小于負載轉矩，從動轉子不能獲得足夠的轉矩沖量，而出現反轉現象，且隨α增大，輸出轉矩始終小于負載轉矩，從動轉子不僅無法實現向正轉過渡，反而進入負轉速方向的加速階段，如此循環便出現了圖10a所示的反方向轉速曲線的發散現象。由于從動轉子轉速發散，而主動轉子的輸入轉速ni為定值，故從動轉子與同步磁場的轉速差值||n′i將不斷增大，由式（2）知其轉矩周期tp將不斷縮短，形成圖10b所示的轉矩時間曲線。

圖10c及圖10d為點B處啟動時轉速及轉矩的特性曲線。此時輸出轉矩等于負載轉矩，啟動開始時從動轉子就進行正方向的加速運動，消除了前期反轉現象，且輸出轉矩不斷增大，加速正轉直至與旋轉磁場同步運行。由式（2）可知：此時從動轉子轉速的增大將導致轉矩周期的拉長進而有利于啟動。

圖10e及圖10f為點E啟動時的轉速及轉矩特性曲線。此時輸出轉矩等于負載轉矩，但隨α的增大，輸出轉矩不斷減小，進入負轉矩周期，從動轉子受負載及負輸出轉矩的雙重作用，開始向負方向加速旋轉，出現圖10e所示的反轉現象；待進入下一個正轉矩周期，從動轉子不僅要克服負載轉矩的影響，還要克服上個周期帶來的負轉矩沖量，因此點E啟動有可能導致CPMG始終無法進入正常啟動狀態。

圖10　A點、B點及E點處的啟動特性曲線Fig.10　Starting characteristic curves at A point，B point and E point

3　結論

（1）通過對CPMG的啟動進行數理理論分析，得到從動轉子輸出轉矩與角度差之間的關系，進而得到tp與nT之間的關系。當nT較大時，tp也較大，CPMG較易啟動。

（2）含有小數的傳動比能有效減小轉矩及轉速波動幅值；當傳動比中含有0.75時，波動幅值達到最小。

（3）圖2所示點A的輸出轉矩隨α增大而增大，但在區間[0,αB)內卻始終小于負載轉矩，只有運行至點B時，其輸出轉矩才大于負載轉矩，因此需經過由反轉向正轉的過渡過程，有時甚至無法啟動。

（4）圖2所示點B處可提供的輸出轉矩始終大于負載轉矩，為最佳啟動位置；而在點E啟動時，其輸出轉矩將逐漸減小，進入負轉矩周期后將導致其始終無法啟動，為啟動位置的最不利點。