基于三彎矩法的環曲面金剛石切削刀具路徑規劃及其仿真分析

楊軍康敏

南京農業大學工學院，南京，210031

0　引言

散光是眼睛的一種屈光不正常表現，研究發現，正常人群中大約有8%～15%的人存在散光，白內障患者中角膜散光的人群比例更大［1］，對散光眼的測量精度直接影響患者術前視覺質量的評估以及術后的視覺效果。環曲面在兩個相互垂直的方向上具有不同的曲率，可形成兩個深淺不同的屈光度，基于這一特性，環曲面被廣泛地應用于眼科醫療器械行業標準中［2］。

環曲面屬于非軸對稱非球面，加工較為困難，目前用于非球面創成的方法有自由曲面研磨、微銑削、飛刀銑削、基于快刀伺服或慢刀伺服的金剛石車削等。慢刀伺服車削因其較高的加工面形精度及加工效率，被廣泛應用于非球面光學元件的加工［3-5］。針對環曲面的慢刀伺服加工及其刀具路徑規劃已有一些研究。王興盛等［6-7］采用適于IMAC系統的Hermite插值法對包括環曲面在內的復雜光學曲面進行刀具路徑規劃，相比IMAC系統提供的B-Spline插值方法，使用Hermite插值法更利于精確控制運動軌跡，但Hermite插值法僅能保證一階導數連續，無法保證二階導數連續。牛恒泰等［8］基于Zernike多項式對離散曲面刀觸點進行局部擬合，實現對環曲面和漸進多焦點曲面的加工，但文中使用等角度法離散刀觸點，外圈離散誤差較大，導致加工精度降低。

本文以慢刀伺服加工技術為基礎，對環曲面加工的刀具路徑生成進行優化。

1　環曲面加工的刀具路徑規劃

在幾何上，環曲面是指半徑為a的基弧繞一軸線以R為半徑旋轉一周得到的曲面（R＞a），該軸線與基弧處于同一平面但不通過基弧的圓心，環曲面示意圖見圖1，圖1b為圖1a中的圓圈區域。

圖1　環曲面示意圖Fig.1　Scheme diagram of toric surface

根據車削加工原理可知，刀具軌跡的生成由主軸轉角θ和刀觸點（CC）距工件中心的距離d決定，建立圓柱坐標系來描述環曲面，見圖2。

圖2　圓柱坐標系下的環曲面Fig.2　Scheme diagram of toric surface in cylindrical coordinate

環曲面加工的刀具路徑規劃主要包括刀觸點軌跡規劃、刀具補償和刀位點（CL）插補3個步驟，相關流程見圖3。

1.1　刀觸點軌跡規劃

圖4　綜合離散示意圖Fig.4　Scheme diagram of the integrated discretization method

機床的布置方式決定了刀具軌跡呈螺旋形，當前采用的觸點離散方法主要包括等角度離散和等弧長離散。等角度離散算法簡單，易于實現，但外圈離散誤差較內圈離散誤差大。此外，當工件直徑較大時，為保證離散精度需要采用較小的離散角度，導致離散點個數增多，加工程序冗長。等弧長離散中相鄰刀觸點之間的弧長是相等的，這樣可以保證外圈離散誤差不會過大。它的缺點在于：靠近工件中心時相鄰刀觸點間的離散角度會顯著增大，導致離散誤差增大。本文綜合等角度離散與等弧長離散的優點，提出綜合離散方法，即外圈采用等弧長離散，避免相鄰離散點之間距離過大，靠近工件圓心處的內圈采用等角度離散，避免靠近圓心的內圈離散誤差過大，示意圖見圖4。在使用綜合離散法對刀觸點進行軌跡規劃時需要設定離散弧長Δl和離散角Δθ，這2個參數通過刀具步長分析后計算獲得。當相鄰刀觸點的夾角大于Δθ時，等弧長離散停止，進行離散角為Δθ的等角度離散。

綜上所述，笛卡兒坐標系下，使用綜合離散法的刀觸點軌跡可表示為

式中，（rw，θw，zw）為圓柱坐標系下的刀觸點坐標；af為每圈進給量；D為工件直徑；zw=f（rw，θw）為所加工曲面的柱坐標方程；rw為刀觸點距工件圓心的距離；θi為第i個刀觸點處的累計旋轉角度。

在綜合離散法中，θi可通過下式求解：

同時設定相鄰刀觸點之間的最大Z向距離Δz以減小因相鄰刀觸點間的速度波動對加工質量的影響。當相鄰刀觸點間Z向距離Δzi大于給定的最大值時，對該段刀觸點軌跡上的刀觸點進行細分處理，見圖5，圖中n的取值為［Δzi+1/Δz］+1。

圖5　細分刀觸點示意圖Fig.5　Diagram of cutting contact points subdivision

整個綜合離散法的流程圖見圖6。

1.2　刀具補償

刀具補償包括刀尖圓弧半徑補償、前角補償和后角補償等。加工時采用的車刀前角一般為零，根據文獻［9］的方法，選擇后角參數即能保證刀具后角不會與工件面形發生干涉，故本文只需要考慮刀尖圓弧半徑補償。圖7為刀尖圓弧半徑補償模型，其中刀具與工件的接觸點為P，曲面上該點法向矢量為n，在刀具切削面內引入P點的單位法矢量nP和切矢量tP。由幾何關系可知n·tP=0及nP·tP=0，進一步推導可求出nP。按單位外法線方向nP對刀具圓弧半徑Rt補償后可計算出刀位點：

從圖7中可以看出,法向補償使刀具在X向和Z向都有偏移，這會導致動態性能不好的X軸產生更大的跟蹤誤差，降低加工精度。由此，本例中選擇將所有的補償集中在Z向上完成，即選用Z向刀具補償法。具體做法為：首先求出所有刀觸點對應的法向補償點，然后對其進行插值得到刀位點曲線CL的表達式，將P點的X向坐標代入，即可求出Z向補償刀位點L′的Z向坐標值。

圖6　綜合離散流程示意圖Fig.6　Flowchart of Integrated discretization method

圖7　刀尖圓弧半徑補償模型Fig.7　Model of tool radius compensation

1.3　刀位點插補

位置、速度、時間（position velocity time，PVT）插補模式可根據位置p、速度v和時間t參數自由控制運動軌跡，生成唯一的三階位置曲線，有利于運動軌跡的緊湊和精確控制［7］，見圖8，其中，A表示加速度。PVT插補除了要指定刀位點位置外，還需要指定每個插值節點的速度值，相鄰刀位點之間的時間間隔和刀位點處的速度被稱為PVT入口參數，入口參數計算方法的好壞直接影響PVT插補的精度。常用的入口參數生成法有面積法、恒速法、三點法等［1］，下面簡單介紹面積法與三點法。

圖8　PVT插補示意圖

Fig.8Schematic diagram of PVT interpolation

（1）面積法。引入比例系數c代表插補周期中速度變化的趨勢，每個刀位點的速度可由下式算出：

式中，c∈［0，1］；Δtk=tk+1-tk，為指定的第k個刀位點和第k+1個刀位點之間的時間間隔；設初始刀位點速度v0=0。

（2）三點法。相鄰三個刀位點的位置和時間為（pk-1，tk-1）、（pk，tk）和（pk+1，tk+1），設初始點和最終點的速度為0，可由下式計算第k個刀位點的速度vk：

上述兩種算法都可以方便地計算出每個刀位點處的速度，滿足加工需要，但只能保證速度連續，并不能保證加速度也連續，故用該兩種算法計算出來的插值曲線誤差較大，且不夠光滑。

區間［xi-1，xi］上的三次插值多項式如下［10］：

式中，i為插值節點的代號，i=1，2，…，n，插值節點的總數為 n+1；mi為 xi點對應的導數值；fi為xi點的函數值。

PVT插補的實質就是區間［xi-1，xi］上的分段三次Hermite插值公式，因此當多項式（6）滿足

時，就可進行Hermite插值，保證速度連續。

當需要插值方法保證速度與加速度的連續時，多項式（6）需滿足以下條件：

通過使用待定系數法分別待定一階系數或二階系數，即可求得對應的插值函數。這里令二階系數為待定系數，即令S''(xi)=Mi，求解插值節點速度值，該方法稱為三彎矩法。

根據S''(x)在區間［xi-1，xi］上是一個線性函數的特點，令hi=xi-xi-1，可得

對式（9）積分兩次，并利用S(xi-1)=f(xi-1)和S(xi)=f(xi)，確定其中的兩個積分常數，即可得出用Mi表示的三次樣條插值函數：

利用S'(x)在節點xi(i=1,2,…,n-1)處連續的條件，即

建立方程式，對式（11）兩邊關于x求導一次，并整理可得

引入邊界條件，令

該矩陣為三對角矩陣，利用追趕法可快速求解出該n-1個方程，最終得到插值節點速度。

2　環曲面加工的仿真分析

環曲面的方程可以表示為［9］

正交弧半徑R和基弧半徑a決定其曲面面型，r和θ為極坐標下曲面上某一點的極徑和極角，z為該點的矢高。在MATLAB中對前文所述的環曲面方程、刀觸點離散方法、刀具補償與刀位點插值進行編程，然后使用表1中的參數進行仿真分析。

表1　環曲面刀具路徑仿真參數表Tab.1　Parameters used in tool path simulation of toric surface

將表1中的相關數據代入式（15），利用MATLAB軟件編程，可得環曲面的理論面型，見圖9。

圖9　仿真環曲面的理論面型示意圖Fig.9　Theoretical surface of toric surface used in simulation

對不同刀觸點離散方法的相鄰刀觸點Z向距離和離散誤差進行仿真分析，結果見圖10。對于相鄰刀觸點，等弧長離散的最大Z向距離小于等角度離散的最大Z向距離，通過設定最大允許Z向距離，相鄰點間Z向距離曲線的峰底值由等角度離散的0.1 mm減小至綜合離散后的0.04 mm，曲線變化更加平緩，有利于減小刀具Z向運動的加速度，從而降低Z向運動對加工的影響。從圖10中可以發現：在等角度離散方法中，外圈的相鄰離散點之間距離較遠，導致離散誤差較大，隨著離散點逐漸靠近工件中心，離散誤差相應減??；在等弧長離散中，相鄰刀觸點之間的弧長相等，導致外圈的離散誤差分布較為均勻，在工件中心附件，由于離散半徑變小，相同的離散弧長對應的離散角會顯著增大，離散誤差因此增大；綜合離散中外圈采用等弧長離散，內圈采用等角度離散，整體離散誤差較小，并且離散誤差分布較均勻。

圖11為環曲面最外兩圈的X軸軌跡圖，可以看出：若采用Z向補償，則所有的補償集中在Z軸上，X軸做勻速運動，其軌跡為一條斜直線；若采用法向補償，刀具在X向有微小的補償量，則X軸的軌跡有小幅度的往復偏擺運動，這種偏擺運動使X軸一直處在不停的加減速過程中，增大了跟蹤誤差，影響環曲面加工的面型精度。

圖12為不同的PVT入口算法下，最外圈Z軸速度曲線圖，可以看出：采用面積法（c=1/2）時，速度曲線的波動比較明顯，而面積法（c=2/3）、三點法和三彎矩法都能夠獲得較光滑的速度曲線，三彎矩法對應的速度曲線最大幅值較小。

圖10　不同刀觸點離散方法Z向間距與離散誤差Fig.10　Distance in Z direction and discretization error of different cutting points discretization methods

圖11　不同刀具半徑補償時的X軸運動軌跡Fig.11　The motion trajectory of X axis with using different tool radius compensation methods

圖12　不同插值算法對應的最外圈刀位點Z向速度Fig.12　The Z-direction velocity of the most outer toollocation points corresponding to different interpolation algorithms

圖13　環曲面PVT插補不同入口參數Z軸插補誤差分析圖Fig.13　The error in Z-axis for the interpolation of toric surface using different interpolation methods

圖13為上文所述4種PVT入口參數生成算法的插補誤差分析圖，選取前1 000個刀位點的插補誤差進行分析。由圖9可以得到各種算法的最大插補誤差為：面積法（c=1/2）0.35μm，面積法（c=2/3）0.25μm，三點法0.048μm，三彎矩法0.001 2μm。由該仿真分析結果可知，在不同的PVT入口參數生成算法中，三彎矩法的插值誤差最小，其次是三點法，面積法的插補精度較前兩者較差。

3　試驗及分析

為驗證所提出方法的可行性，在實驗室自主研制的金剛石車削機床上進行相關試驗，金剛石車削機床示意圖見圖14。該機床機械部分包括兩個直線運動軸X軸、Z軸以及一個旋轉軸C軸，兩直線軸呈T字形分布，刀具固定在Z軸的托板上，C軸安裝在X軸的托板上。工件安裝在C軸上，通過同時控制X、Z、C三軸的運動即可加工出復雜曲面。

試驗所加工曲面即為上文構造的正交弧半徑為140 mm、基弧半徑為100 mm的環曲面，鏡片直徑D=40 mm，工件材料為聚甲基丙烯酸甲酯（polymethyl methacrylate，PMMA），刀具材料為聚晶金剛石（polycrystalline diamond，PCD），刀尖圓弧半徑 Rt=0.5 mm，前角為 0°，后角為 10°。切削時采用Z向刀具補償，PVT入口參數生成算法分別為面積法（c=1/2）、面積法（c=2/3）、三點法以及三彎矩法，切削條件為干切削。粗加工的加工工藝參數為：主軸轉速n=120 r/min，每圈進給量af=0.025 mm/r，切削深度ap=0.02 mm，離散角Δθ=5°，離散弧長Δl=1 mm。圖15為所加工環曲面面型和刀位點軌跡仿真圖，為保證視圖清晰，作圖時取af=0.5 mm/r。

圖15　環曲面面型及加工刀位點軌跡示意圖Fig.15　The machining toric surface and tool path

圖16a為采用刀觸點綜合離散法和三彎矩法作為PVT入口參數生成算法時，加工出的環曲面實物圖。利用JB-4C型接觸式表面粗糙度儀測量出表面粗糙度Ra=0.095μm，見圖16b。利用MQ686型三坐標測量儀測量實際加工面形，并與理論面形進行比較，得出面形誤差分布圖（圖16c）。結果表明：面形誤差可以控制在0.02 mm左右。

圖16　環曲面加工結果Fig.16　Machined results of toric surface

圖17為分別采用不同刀觸點離散方法和刀位點插值算法后，加工出的環曲面的表面粗糙度。分析不同離散方法時插值方法為三彎矩法，分析不同插值算法時離散方法為綜合離散法。從圖17中可以看出，使用綜合離散法或三彎矩法加工出的工件表面粗糙度均優于其他方法，說明上文的仿真分析結果是正確的，選擇綜合離散法與三彎矩法能夠提高環曲面加工質量。

圖17　不同離散方法與插值算法加工環曲面的表面質量Fig.17　The surface roughness of machined surface with different discretization methods and interpolation algorithms

4　結論

本文對環曲面金剛石切削的刀具路徑規劃進行了研究。在刀觸點離散中提出設定相鄰刀觸點Z向距離的綜合離散方法，避免了單獨使用等角度離散與等弧長離散的缺點，仿真結果表明綜合離散方法能夠減小離散誤差，并且離散誤差分布較均勻。在刀位點插值中提出一種新的PVT插補入口參數生成算法，即使用三彎矩法計算PVT插補入口參數，實現插值函數二次導數的連續，讓插值曲線更加平滑，仿真結果表明該方法能夠明顯減小插補誤差。試驗結果表明，上述仿真結果是正確的，采用包括綜合離散法和三彎矩法的刀具路徑來加工環曲面能夠提高加工質量。