含交易費用的穩(wěn)健最優(yōu)投資組合

程亞平,師 恪

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆烏魯木齊 830046)

0 引 言

在傳統(tǒng)的Markowitz[1]均值—方差最優(yōu)化模型中,其參數(shù)——資產(chǎn)收益的期望值和協(xié)方差矩陣都是確定的,顯然這與實際不符的.F.Black等[2]指出,投資組合的選擇對于均值和協(xié)方差矩陣都很敏感,尤其是均值,它的微小變化都會引起投資組合頭寸的巨大改變.因此,最近研究者更多地關(guān)注于投資組合穩(wěn)健性的研究.例如,D.G oldfarb等[3]研究了均值—方差模型下的穩(wěn)健投資組合問題,李選舉等[4]研究了帶交易費用和CVaR風(fēng)險測度下的穩(wěn)健投資組合問題,王元英等[5]研究了不確定市場條件下的穩(wěn)健最優(yōu)投資組合問題,李宏杰[6]研究了帶交易費用的均值—方差模型.本文主要考慮含交易費用和稅收的不確定市場條件下的穩(wěn)健投資組合問題.

1 模 型

假設(shè)1 風(fēng)險資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣∑是確定的,且正定.

假設(shè)3 市場存在交易費用和稅收,所有資產(chǎn)是無限可分的,且不存在賣空限制.

設(shè)每筆交易無論買入還是賣出都有α倍的交易成本,且無風(fēng)險資產(chǎn)的利息稅為β,記ai為風(fēng)險資產(chǎn)的第i個可能期望向量,則有,ai=(a1i,…,aN

i)′.于是,含交易費用的風(fēng)險資產(chǎn)的第 i個可能期望收益向量為,

于是,由假設(shè)3有,帶交易費用和稅收均值收益向量Ψ不是完全確定的,而是屬于某些已知向量的凸組合.記,

其中,μ及rf如前面所定義.特別地,由假設(shè)1,可知此時投資者總收益的方差為,

設(shè)vi表示當(dāng)資產(chǎn)的期望收益是Ψi時投資者的期望目標(biāo)向量,即滿足:

這樣,期望目標(biāo)值τ(v,Ψ)就由含交易費用的風(fēng)險資產(chǎn)和含稅收的無風(fēng)險資產(chǎn)的期望收益值Ψ決定的.顯然,τ(v,Ψ)=vi.

定義1 對固定的v,稱投資組合w關(guān)于期望目標(biāo)向量 v是穩(wěn)健的,如果,pΨ(w)≥τ(v,Ψ),對任意Ψ∈Θ成立,其中,ρΨ(w)和τ(v,Ψ)分別如式(3)及式(5)定義.

定義2 對固定的期望目標(biāo)向量 v∈Rn,稱投資組合wv為穩(wěn)健最優(yōu)投資組合,如果它滿足:

(i)wv關(guān)于期望目標(biāo)向量v是穩(wěn)健的;

(ii)對于任何關(guān)于期望目標(biāo)向量v是穩(wěn)健的投資組合W,都有σ2～(wv)≤σ2～(w).

定理1 以下兩個命題等價.

(i)投資組合w關(guān)于期望目標(biāo)向量v是穩(wěn)健的.

證明 (i)?(ii),如果 w關(guān)于期望目標(biāo)向量v是穩(wěn)健的,則由定義1知,

對任意的Ψ ∈Θ成立,特別地,由式(5)有,

由于上式對任意的Ψ∈Θ成立,所以(i)成立.

2 模型的求解

由定理1可知,穩(wěn)健最優(yōu)投資組合問題等價于下述最優(yōu)化問題:

上述模型中,ai,(rf)i,vi,α,β,i=1,2,…,n,都是已知的.

模型用拉格朗日乘子法求解:

令,

令,

代入式(8)得,

若記,

其中,η = (v1- (1 -β)(rf)1,…,vn- (1 -β)(rf)n)′,式(10)可表示為:

先討論B滿秩的情形,此時方程組有唯一解:

代入式(9)可得,

此時,穩(wěn)健最優(yōu)投資組合總收益的方差為:

因為 B正定,故 B-1也正定,且在(v1,…,vn, σ2～)空間中是拋物面的一部分.

當(dāng)矩陣B不滿秩時,則矩陣A不滿秩,那么含交易費用和稅收的風(fēng)險資產(chǎn)及無風(fēng)險資產(chǎn)的超額收益向量存在相關(guān)性,于是將其中線性相關(guān)的列去掉,再按上述過程討論即可.當(dāng)假設(shè)2中的n=1時,即為帶交易費用和稅收,且存在無風(fēng)險資產(chǎn)的Markowitz均值—方差最優(yōu)投資組合問題.

3 結(jié) 論

本文假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)的收益是不完全確定的,它們屬于某些已知量的凸組合.同時,在市場存在交易費用和稅收的情況下討論了穩(wěn)健最優(yōu)投資組合問題,給出了問題的解析解,并證明了該問題等價于二次凸規(guī)劃問題.

[1]Markowitz H M.Protfolio Selection[J].New Y ork:John Wiley& Sons,1952:77-91.

[2]Black F,Litterman R.Litterman,Golbal Protfolio Optimization [J].Financial Analysts Journal,1992,48(5):28-43.

[3]G oldfarb D,Iyengar G.Roburst Protfolio Selection Problems[J]. Mathematics of Operations Research,2003,28(1):1-38.

[4]李選舉,高全勝.交易費用CvaR風(fēng)險測度下的穩(wěn)健投資組合[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究,2004,21(8):85-90.

[5]王元英,葉中行.不確定市場條件下的穩(wěn)健投資組合[J].運籌學(xué)與控制論,2007,30(12):102-108.

[6]李宏杰.含有資本結(jié)構(gòu)因子、交易費用和風(fēng)險偏好的模糊最優(yōu)化投資模型[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2008,38(11):36 -43.