基于Hammerstein的壓電作動器的建模與自適應逆控制

呂傳龍，簡雨沛，孫小通

（西南交通大學電氣工程學院，成都 611756)

0 引言

壓電陶瓷作動器[1-3]是一種新型的智能材料作動器，其響應速度快，能量密度大，在精密儀器制造、航空航天領域有著廣泛的應用前景。然而，其輸入輸出存在著復雜的率相關遲滯非線性特性，涉及光、熱、電、力多場耦合，其建模與控制方法是當今控制研究的難點。

遲滯特性的建模方法已經有學者進行了大量研究，一般可以分為三種：基于材料物理原理的物理模型，基于現象的唯象模型和基于計算智能的智能模型。基于物理模型的建模方法，例如Jiles-Atherton模型[4]和StonerWohlfarth[5]模型，從物理機理出發給出具有明顯意義的物理模型；基于現象的唯象模型，如Prei?sach[6]和Prandtl-Ishlinskii[7]模型無需考慮實際的物理意義，從實際輸入輸出考慮模型的建立；基于智能遲滯模型的建模方式，如神經網絡模型和支持向量機模型，則是利用智能計算的方式進行輸入輸出描述。此外，如Modified Prandtl-Ishlinskii（MPI）[8]模型則是在傳統算子模型基礎上進行改機，增加了模型的適用范圍。

經典的遲滯模型是頻率無關的，不考慮系統的輸入信號頻率變化對輸出的影響。然而，系統的輸入信號頻率變化對系統的輸出影響是不可忽視的，研究頻率相關特性需要不僅要研究經典的模型，更要研究在頻率變化的耦合模型。率相關特性的建模理論可以分為整體與分離式兩種不同的策略。整體式建模基于傳統模型改進基礎之上，增加頻率耦合算子或算式[9]，對模型建立要求更高，參數辨識愈加困難，基于此類的研究仍有大的提升空間。常見模塊化的分離式結構包括Hammerstein 模型[10]、Wiener模型[11]和三明治模型[12]。

對微位移進行控制，遲滯系統常采用逆補償方式，按照方式可以分為靜態逆補償和動態逆補償兩種方式。其中靜態逆補償可以分為直接逆補償和與其他反饋方式結合的復合控制方法。

本文采用MPI模型和ARX模型組成分離式Ham?merstein模型，用以描述壓電作動器的遲滯非線性和動態率相關特性。通過實驗數據采集和分析，所提出的模型在1-100Hz內具有良好的頻率泛化能力。采用基于Hammerstein逆模型的自適應控制算法進行實時跟蹤控制，實驗結果表明，控制結果穩定誤差小，滿足控制要求。

1 Hammerstein建模

Hammerstein模型利用模塊分割的思想用于描述一大類非線性系統的問題。此種模型將非線性系統分為靜態非線性模塊與動態線性模塊，通過兩種模塊的串聯描述非線性問題，廣泛應用于作動器系統、電力系統、生物與神經科學研究等[13]。圖1為Hammerstein模型結構圖。

本文選用改進的Prandtl-Ishlinskii（MPI）建立Hammerstein模型中的靜態模型。動態模型采用ARX模型描述。由于壓電陶瓷作動器在輸入信號低于5Hz時，遲滯環形態基本不變，故認為此時的動態線性模塊傳遞函數為1，以此建立非線性部分。動態線性模塊建立在靜態模型建立之后，通過輸入復合多頻率信號進行辨識。

1.1 MPI建模

PI模型表示的遲滯特性是一個奇對稱的凸函數，在實際的作動器遲滯特性并不滿足這一點，往往呈現出非奇非凸特性。PI模型的苛刻應用條件給模型理論研究帶來新的研究方向。一種研究思路是在PI模型之前串聯非奇非凸算子，如單邊死區算子，使原模型具有非奇非凸等特性，構建MPI模型。

MPI（Modified Prandtl-Ishlinskii）模型為率無關的遲滯非線性建模的經典模型之一，其利用算子模型思想建立基本遲滯單元即Play算子構成內層算子和Deadzone算子構成外層算子，算子向量與閾值向量加權疊加表示系統的遲滯非線性特性。

圖3為Deadzone死區算子輸入輸出關系圖，ws為死區算子的權系數，rs∈R為死區算子閾值，上式中閾值向量為為死區算子向量，其表達式如下：

圖2 Play算子輸入輸出關系

圖3 Deadzone算子輸入輸出關系

因此，最終得到的MPI模型為Play算子與死區算子串聯疊加，MPI模型表達式為：

1.2 ARX建模

ARX模型是一種有理傳遞函數模型，在Hammstein模型中表示動態線性部分，表示壓電陶瓷的率相關特性，其表達式如下：

因此，Hammerstein模型的表達式如下所示：

2 模型辨識與驗證

圖4為西南交通大學電氣工程學院智能材料與結構平臺實驗系統連接圖，壓電陶瓷作動器與實驗器材連接圖，實驗部分包括作動器部分、傳感器與放大器部分、處理器部分和上位機部分。

其中，壓電作動器型號為哈爾濱芯明天有限公司生產的PSt/150/7/60VS12，電渦流傳感器精度為8mv/μm,壓電作動器采用伺服功率放大器進行驅動，dSPACE系統使用DS2002和DS2103板卡實現A/D和D/A轉換。上位機采用dSPACE公司提供的Controldesk圖形檢測與控制軟件。圖5為實驗設備連接圖。

圖4 實驗設備圖

圖5 實驗設備連接圖

2.1 模型辨識

系統模型辨識分為以下步驟：（1）將此正弦掃描信號數據加載到輸入端作為輸入數據x(t)，記錄此時的壓電陶瓷作動器的輸出數據y(t)；（2）將此正弦掃描信號作為輸入x(t)加載到MPI模塊的輸入端，記錄此時Simulink中的模型輸出數據作為輸出數據u(t)；（3）視MPI模型輸出數據u(t)作為ARX模型的輸入，視壓電陶瓷作動器的輸出作為ARX模型的輸出，辨識工具采用MATLAB中的辨識工具箱ARX命令給出ARX有理參數模型參數。圖6為Hammerstein模型辨識過程示意圖。

圖6 Hammerstein模型辨識示意圖

動態非線性模塊辨識結果有理函數表達式如下所示：

2.2 建模驗證

給定相同輸入數據下，比較壓電作動器實際輸出與Hammerstein模型輸出結果，驗證模型的有效性。輸入數據選擇為單一頻率正弦信號或多頻率混合正弦信號，其輸入幅值為35μm，頻率范圍為1-100Hz。為了量化分析不同頻率下，檢測所建模型與實際模型的相符程度，引入相對誤差RE（Relative Error）和均方根誤差RMSE（Root Mean Square Error）來描述近似程度。

圖7 建模效果圖

（紅色實線為實際輸出，藍色點線為模型輸出）

表1 模型誤差驗證

實驗部分采用對照實驗的方法，驗證了1-100Hz下單一頻率與復合頻率下的模型輸出與實際輸出的關系相對誤差均小于5%，驗證了所提模型方法的有效性，對不同頻率的輸入具有一定的泛化能力。

3 控制器設計

Hammerstein逆模型包括MPI逆模型和ARX逆模型兩部分。作動器跟蹤控制的一般思路是的控制方式為建立Hammerstein逆模型方式對壓電作動器遲滯逆補償，從而減少遲滯帶來的影響。但是由于建模存在誤差，以及外界不可避免的干擾，使靜態逆補償方式，難以實現高精度的定位跟蹤控制。因此，本文采用基于LMS自適應調節的方式動態調節Hammerstein逆模型的參數，使之逼近真實逆模型，跟蹤控制信號。

3.1 MPI逆模型

MPI逆模型為Play算子和Deadzone死區算子分別作為外層算子和內層算子分別加權疊加。MPI逆模型表達式為：

根據文獻[14]可計算逆模型參數Play算子系數，Play算子閾值系數，死區算子系數和死區算子閾值系數。

3.2 ARX逆模型

在本課題實驗中，采樣頻率為10kHz，可以利用近似逆的方式代替原模型的逆模型。

3.3 LMS自適應算法

自適應逆控制的實現需要解決對控對象的逆模型建立和自適應算法的選擇兩個問題。對于逆模型建立，引入自適應線性組合器的方法，將模塊化Hammer?stein模型表達為自適應濾波器結構；對于自適應算法部分，引入權值更新算法動態調節Hammerstein逆模型中的可調節參數，最終實現系統的控制要求。

自適應線性組合器結構如圖8所示。

圖8 自適應線性組合器圖

其中，μ為權值更新的步長。文獻[15]證明為矩陣R的跡，當步長μ滿足0＜μ＜tr(R)-1時，權向量在平均意義上是收斂的。

對于圖9自適應逆結構，自適應算法動態調節MPI逆模型的參數。Play算子的權值向量相對于死區算子權值向量對頻率變化更為敏感[16]，因此在自適應算法調節中，可以對Play算子的權值進行調節從而獲得更為精確的逆模模型。

圖9 自適應線性組合器圖

將MPI逆模型中的閾值向量為Play算子的權值向量，這里可以看成線性組合器的權值向量，將其余部分表達式看為自適應線性組合器部分。因此，公式（10）可以改寫為：

以離線構建的Hammerstein逆模型作為初始控制器，自適應逆控制過程利用LMS算法不斷調節向量，從而使逆模型不斷逼近真實逆模型，使主通道傳遞函數接近1，從而抵消遲滯特性對系統的影響，實現自適應控制效果。

4 壓電作動器的跟蹤控制

通過比較作動器輸入和輸出關系，驗證控制算法實時跟蹤能力，設計了六組控制對比實驗：單一頻率正弦信號：10Hz、50Hz、100Hz；復合頻率正弦信號：10/20/40Hz、30/60/90Hz和10/30/50/70/90Hz。輸入信號幅值為40μm，采樣頻率為10kHz。實線表示理想輸出信號，點線表示作動器實際輸出，中間位置波動信號為誤差信號。

4.1 跟蹤控制結果

通過圖10為壓電作動器實時控制實驗結果。

4.2 跟蹤控制結果

為了進一步比較不同頻率下，自適應逆控制效果，表2給出不同頻率下自適應逆控制的統計數據，以RE和RMSE進行表示輸入與輸出的近似程度和離散程度。

從圖10和表2可知，自適應控制實現了良好的跟蹤控制效果，減弱了遲滯非線性對壓電作動器的影響，提高了控制精度。因此，本文提出的基于Hammerstein模型的自適應控制方法有效。

圖10 作動器實時控制結果圖

表2 壓電作動器實時控制效果分析

5 結語

針對壓電作動器率相關遲滯非線性特性，本文提出了基于Hammerstein模型的建模方法，利用MPI模型和ARX表征系統的靜態非線性和動態線性環節。利用LMS自適應調節算法動態調節Hammerstein逆模型中的MPI模型參數，使之逼近真實逆模型，抵消遲滯對系統的影響，并通過實驗驗證算法的有效性。

對于控制算法而言，傳統的PID控制效果難以滿意[17]；前饋+PID的控制方法的控制精度依賴于非常精確的建模精度，帶有PID反饋控制器決定了系統魯棒性差，難以自適應調節；而采用自適應逆控制方法可以在線調參，魯棒性和適用性強，而且不依賴建模，可以在模型不精確情況下實現較好的控制效果。因此，本文所提出的算法有具有較好的適用范圍和適用性。