一個全平面非齊次核的Hilbert積分不等式

楊必成, 王愛珍

(廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 廣州 510303)

0 引 言

則

(1)

目前， 關(guān)于Hilbert積分不等式的研究已有很多成果[2-21]. 若

則有如下一般的非齊次核積分不等式[2]:

(2)

(3)

(4)

本文在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上, 通過引入獨(dú)立參量及中間變量, 應(yīng)用權(quán)函數(shù)及實(shí)分析技巧, 建立如下一個具有最佳常數(shù)因子的非齊次核的全平面Hilbert積分不等式:

并討論其更一般的等價形式及特殊形式.

1 權(quán)函數(shù)的定義及初始不等式的建立

定義1設(shè)-1<α,β<1, 0<σ<λ. 定義權(quán)函數(shù)如下:

(6)

(7)

由定義1， 有

固定y(≠0), 對式(8)第一個積分做變換

u=(1-α)(|y|+βy)x,

則有

對式(8)第二個積分做變換

u=(1+α)(|y|+βy)x,

則有

由式(6)及上述結(jié)果, 可得

(9)

同理可得

(10)

(11)

則有不等式:

證明: 配方并由帶權(quán)的H?lder不等式[22]及式(6), 當(dāng)y≠0時, 有

式(13)中“≤”必取嚴(yán)格不等號. 若不然, 則有不全為0的常數(shù)A,B[22], 使得

若A=0, 則B=0, 與A,B不全為0的條件不符. 下設(shè)A≠0, 即有

(14)

矛盾. 由式(9)及交換積分次序的Fubini定理[23], 有

再由式(10),(11), 有式(12). 證畢.

2 具有最佳常數(shù)因子的等價不等式

則有與式(12)等價的不等式:

這里, 式(16)與式(12)的常數(shù)因子K(σ)都是最佳值.

特別當(dāng)α=β=0時, 有具有最佳常數(shù)因子2B(σ,λ-σ)的式(5)及等價不等式:

(17)

證明: 配方并由H?lder不等式, 有

再由式(12), 有式(16). 反之, 設(shè)式(16)成立, 定義如下函數(shù)：

(19)

則由式(15)、式(10)及條件知J<∞. 若J=0, 則式(12)自然成立; 若J>0, 則由式(16)有

故得式(12), 且其與式(16)等價.

則計算可得

代入上述計算結(jié)果有

令n→∞, 可得

故k=K(σ)必為式(16)的最佳值, 從而式(12)的常數(shù)因子K(σ)必為最佳值, 否則, 由式(18)必導(dǎo)出式(16)的常數(shù)因子不為最佳值的矛盾. 證畢.

注1當(dāng)f(-x)=f(x), g(-y)=g(y)(x,y∈(0,∞))時, 式(5)變?yōu)槿缦戮哂凶罴殉?shù)因子的非齊次核Hilbert積分不等式:

(20)