不同方法測彈簧勁度系數在不同數據處理方法中的結果比較分析

（白山市第二中學 吉林長春 134300）

引言

測量彈簧的勁度系數有不同的實驗方法，例如用集成霍爾傳感器、新型焦利稱、氣軌上的簡諧振動等測定彈簧的勁度系數，但是把這些整合在一起作比較的內容很少，筆者力圖通過以測量彈簧的勁度系數為例，在胡克定律原理與測量振動周期兩種不同的實驗方法下用逐差法、線性擬合法、最小二乘法三種不同的數據處理方法，做橫向與縱向的比較分析，研究在不同的實驗方法下用不同的數據處理方法所得到的誤差何時可以最小。[1]

一、實驗測量方法及實驗數據處理方法原理

1. 實驗測量方法

（1）胡克定律法原理

胡克定律原理：彈簧在發生形變時，彈簧的彈力F和彈簧的形變量（伸長量或壓縮量）△x成正比，即F=-k·△x。其中k是勁度（倔強）系數。在此實驗中，通過測量施加給彈簧的負載重量，以及相應的形變量，在多次實驗下測量彈簧的勁度系數。[2]

因F=kx，F=mg其中m為砝碼的質量，g為重力加速度。

方法：在鐵架臺上掛一空彈簧，利用“三線對齊”（即反光鏡A上的水平刻線、玻璃管B的水平刻線和玻璃管水平刻線在反光鏡C中的像重合）的方式記錄此時的刻度x，然后每次增加一個砝碼，記錄一次它的刻度值。每次增加的砝碼的質量是一樣的，測量六次。

實驗中使用的砝碼和彈簧情況如下：砝碼：共5只，空托盤的編號記為1，其余五次編號為2、3、4、5、6。

質量分別為0、40g、60g、80g、100g、120g。

（2）約利稱法原理

以30個振動周期用秒表計時，測出每個周期的時間，用電子天平測出空托盤的質量。

實驗中使用的砝碼和彈簧情況如下:

砝碼：

共5只，空托盤的編號記為1，其余五次編號為2、3、4、5、6。質量分別為：

20.37 g、40.37g、60.37g、80.37g、100.37g、120.37g

2. 實驗數據處理方法

（1）逐差法原理

由于隨機誤差具有抵償性，多次測量求平值可以減少這種誤差，但是，當自變量與因變量成線性關系時，對于自變量等間距變化的多次測量，會使中間測量的數據由于兩兩抵消，而失去求平均值的意義。為了彌補這種缺憾，可以將測量得到的數據按自變量的大小順序排列后平分為前后兩組，先求出兩組中對應項的差值，后取平均。[3]

設已知x，y 為線性關系: y= bx+a，其中a，b 為待定常數，測量n組x、y的值，取偶數或將組數據分成兩半，分別求

（2）線性擬合法原理

線性擬合法應用的原理是利用計算機中的線性回歸處理離散點，與人工作圖的圖解法原理相同，測出的n組數據，參照數據點繪一條擬合直線。使直線盡量的接近數據點；分散在直線兩側數據點的數目要相近，兩側各點距直線的距離之和也近似相近，這樣做的依據是誤差的抵償性。[4]

（3）最小二乘法原理

一般直線y=a+bx的最小二乘法擬合，判據是使yi的殘差平方和RSS（residual sum of square）極小，即各測量點到擬合直線距離平方和最小。從和可以導出a、b的最小二乘估計值為

又相關系數r的估計值為

相關系數r表示各數據點靠近擬合直線的程度。r值在-1到+1之間，越接近1，各數據點就越接近擬合直線。

以上過程討論的要求是：

二、實驗數據及處理

1.胡克定律實驗方法下的實驗數據處理

n 1 2 3 4 5 6 m/g 0 20 40 60 80 100 F/N 0 0.196 0.392 0.588 0.784 0.98 x/cm 7 9.46 11.95 14.43 16.89 19.36△x/m 0 0.0246 0.0495 0.0743 0.0989 0.1236

（1）逐差法處理數據

圖書的形態從長形式演變成長形式與網形式的結合，使傳統的長形式圖書在保持自身特有優勢的基礎上又兼具了網形式的功能，延伸了圖書的產業鏈，圖書的商業價值與閱讀價值均得到了較好體現。

編號∑?xi∑?Fi /61∑?xi 6 F/6 1∑i 6 1—3 0.0741 0.588 0.2227 1.764 3—6 0.2968 2.352

胡克定律表達式a=7.8401 b=0.00535

由y=bx+a

F=7.8401?x+0.00535

測得彈簧的勁度系數k=7.8401N/m

（2）線性擬合法處理數據

編號 形變量△x/m 彈簧彈力F/N 1 0 0截距 0.000152 2 0.0246 0.196 斜率 7.924199 3 0.0495 0.392 測定系數 0.999 4 0.0743 0.588 標準誤差 0.000 5 0.0989 0.784 6 0.1236 0.98 997 717

測的彈簧的勁度系數為k=7.9242N/m

（3）最小二乘法處理數據

測的彈簧的勁度系數為k=7.9224N/m

2.約利稱實驗方法下的實驗數據處理

n x=m/kg x=m/g 30T/s T/s y=T*T 1 2 1 0.02037 20.37 12.08 11.96 0.3987 0.159 2 0.04037 40.37 15.22 14.91 0.497 0.247 3 0.06037 60.37 17.88 17.87 0.596 0.3552 4 0.08037 80.37 20.31 20.18 0.675 0.4556 5 0.10037 100.37 22.25 22.18 0.7407 0.5486 6 0.12037 120.37 24.25 24.37 0.8103 0.6566

編號∑m 2 2 i∑Ti m/6 1∑i 6∑6 1 T/i 6 1—3 0.1211 0.7612 0.18 0.8996 3—6 0.3011 1.6608

彈簧勁度系數k=7.8992N/m

（2）線性擬合法處理數據

編號 質量m/kg 周期的平方T*T 1 0.02037 0.159 截距 0.0525 2 0.04037 0.247 斜率 4.990286 3 0.06037 0.3552 測定系數 0.999355 4 0.08037 0.4556 標準誤差 0.005305 5 0.10037 0.5486 6 0.12037 0.6566

彈簧勁度系數k=7.9110N/m

（3）最小二乘法處理數據

彈簧勁度系數k=7.9110N/m

三、計算結果的比較分析

1.相同方法測量實驗中，不同數據處理方法所得結果的比較分析

（1）胡克定律法：用逐差法，線性擬合法，最小二乘法所得結果分析

（2）約利稱法：用逐差法，線性擬合法，最小二乘法所得結果分析

2.不同方法測量實驗中，相同數據處理方法所得結果的比較分析

（1）線性擬合法：胡克定律法與約利稱法所得結果的比較分析胡克定律和約利稱方法測量下的到的相關系數分別是：

標準偏差分別是：

（2）最小二乘法：胡克定律法與約利稱法所得結果的比較分析

胡克定律方法測量下得到的相關系數分別是：

y和k的標準偏差分別是：

結語

1.在胡克定律法測量實驗中，線性擬合法是誤差最小，測量結果最接近真實值的；逐差法的誤差是相對線性擬合法和最小二乘法誤差較大的一種處理數據的方法。在逐差法中，根據結果分析，約利稱法比利用胡克定律原理測量得到的值更準確。在手寫計算時，逐差法是相對簡單、快速的方法，但在有計算機處理數據的時代，它的優點就沒有那么突出.

2.在約利稱的實驗方法下，最小二乘法比線性擬合法更接近真實值，但相關系數相差不大。

3.在1和2結論的基礎上，并不能說明線性擬合法和最小二乘法哪一種方法更好，還要考慮到實驗用的具體測量方法，因此在選擇測量方法時，要根據具體的實驗原理，選擇合適的數據處理方法，才能盡可能讓誤差最小。在本次研究中，在胡克定律的原理下用線性擬合法誤差較小，在約利稱法的實驗中，用最小二乘法誤差較小。

4.從橫向進行比較，即在相同的數據處理方法下，利用胡克定律原理下線性擬合的處理方法最為準確。胡克定律法比約利稱法更接近真實值。

原因分析：約利稱法測量過程中，誤差相對較大。誤差主要體現在秒表測周期時的讀數誤差、彈簧初始位置的不一致以及彈簧作簡諧振動時與鏡面的摩擦、負載較大時上下振動時略偏離豎直方向等造成的。而在利用胡克定律的實驗中，讀數時彈簧是靜止的，干擾因素較少，因此相比較而言，誤差較小，勁度系數更接近真實值。

5.綜上，最接近彈簧勁度系數的真實值的是k=7.9242N/m.

附錄