角接觸球軸承非線性動態特性分析

姚建濤，于清煥，孫曉宇，李雙鳳，王振

（1.燕山大學 河北省并聯機器人與機電系統實驗室，河北 秦皇島 066004；2.東北大學 機械可靠性與動力學研究中心，沈陽 110819；3.瓦房店軸承集團 精密轉盤軸承有限責任公司，遼寧 大連 116300）

空間軸承作為航天機構中旋轉關節的最基本組成部分，合適的預緊力可以提高支承剛度和旋轉精度[1]。預緊力較小時，系統工作精度無法保證，在高速或重載下軸承易出現振動現象；預緊力較大時，摩擦力矩變大，易出現卡滯現象，摩擦熱導致軸承溫度升高，降低使用壽命。在航天機構及精密機械中，軸承安裝時預緊力必須合適，且需精確確定[2]。

輸出軸系作為航天機構的重要組成部分，軸系中軸承安裝配合過盈量和預緊力的選擇成為研究的重點和亟須解決的問題。文獻[3]在考慮軸系材料屬性、軸承排列方式和預緊方式的基礎上，利用材料熱變形和位移變形協調關系，建立軸承徑向游隙與預緊力隨交變溫度變化的數學模型。文獻[4]提出一種涉及軸承游隙與柔性特征影響的多體系統建模方法，采用力約束替代運動約束，構建多體系統環境下的軸承精細化模型。文獻[5]提出材料熱特性軸承預緊力自動調節方法，該方法是根據溫度變化時金屬材料受熱伸長的特性，通過分析機床主軸轉速上升時摩擦功率損耗產生的熱量，建立主軸溫度場模型。文獻[6]用計算機輔助設計軟件繪制出軸承安全區域圖，并繪制出徑向游隙與軸向位移之間的變化關系圖，確定出相對位置，求出軸系的各待定參數，完成軸系分析與設計。文獻[7]基于Hertz接觸理論和接觸變形協調關系，分析了徑向游隙、表面粗糙度、載荷和球數對軸承非線性動力學性能的影響。

上述研究主要集中在安裝配合過盈量對軸承動力學性能和穩定性影響2個方面，關于預緊力對軸承的非線性動態特性的影響的研究較少。根據集中質量法，建立考慮球數、軸向預緊量和動載荷的角接觸球軸承力學模型，推導出軸承非線性動力學微分方程組，并對方程組進行坐標變換，然后進行量綱一化處理，利用數值分析軟件求解非線性微分方程組得到軸承的相圖和Poincane圖，并分析軸向預緊量、接觸角對軸承非線性動態特性的影響。

1 建立動力學模型

軸承安裝配合示意圖如圖1所示，由2套角接觸球軸承背對背安裝，軸承中間安裝有隔套，由鎖緊螺母實現軸承軸向定位預緊。軸承運行過程中主要承受軸向和徑向載荷，外圈固定，內圈旋轉，建立單套軸承非線性動力學模型如圖2所示。Oxy為絕對坐標系，x，y方向分別為軸承內圈平移方向；Ojxjyj為相對坐標系，xj，yj方向分別為球平移方向（j代表第j個球）；φj為第j個球中心與坐標原點O的連線與x軸的夾角。

圖1 安裝配合示意圖Fig.1 Diagram of installation and match

圖2 動力學模型圖Fig.2 Diagram of dynamic model

由圖2中各零件之間的相對位置關系可知，軸向預緊量δz與接觸點變形δ之間的關系為

軸旋轉時，第j個球與內圈在接觸點處的相對位移為

式中：ω為球公轉速度；t為時間；Z為球數；α為接觸角。

第j個球與外圈在接觸點處的相對位移為

由球與內、外圈之間的相對位移關系，并根據牛頓第二定律，建立軸承系統的非線性動力學微分方程組為

2 參數影響分析

2.1 軸承參數

所分析軸承基本參數見表1，軸承轉速為1.1 rad／s，徑向無載荷，軸向載荷根據預緊量確定，采用MATLAB中ode45命令對（7）式進行求解。

表1 結構參數Tab.1 Structural Parameters

2.2 軸向預緊量影響分析

軸向預緊量δz＝0.4μm時，軸承相圖如圖3a所示，Poincane圖如圖3b所示。圖中，dμ1n為量綱一的速度，μ1n為量綱一的位移。軸承相圖軌跡混亂、無序，且是不隨時間呈周期性變化的封閉曲線，Poincane圖中包含較多無規律離散點，散亂分布且不重復，軸承處于典型的混沌運動狀態。

圖3 δz＝0.4μm時軸承振動特性Fig.3 Vibration characteristics of bearing when δz＝0.4μm

軸向預緊量δz＝1.9μm時，軸承相圖如圖4a所示，Poincane圖如圖4b所示，相圖軌跡為不規則形狀封閉曲線，Poincane映射圖為一條閉軌跡環，表明軸承處于典型準周期運動狀態。軸向預緊量δz＝4.4，7.2，16.0，24.0μm時，軸承相圖、Poincane圖分別如圖5—圖8所示。相圖為一條封閉曲線，周期軌跡在穿越Poincane截面時為有限個不動點，表明軸承處于周期運動狀態。軸向預緊量變化時，μ1n始終大于0，表明球與內圈接觸，不存在碰撞的情況。

圖4 δz＝1.9μm時軸承振動特性Fig.4 Vibration characteristics of bearing when δz＝1.9μm

圖5 δz＝4.4μm時軸承振動特性Fig.5 Vibration characteristics of bearing when δz＝4.4μm

圖7 δz＝16.0μm時軸承振動特性Fig.7 Vibration characteristics of bearing when δz＝16.0μm

圖8 δz＝24.0μm時軸承振動特性Fig.8 Vibration characteristics of bearing when δz＝24.0μm

軸向預緊量逐漸減小時，軸承由穩定的單周期運動狀態經倍周期分叉進入多周期運動狀態，然后進入準周期運動狀態，最后進入混沌運動狀態。軸向預緊量較小時，球與內圈竄動量大，會使軸承處于不穩定狀態。因此，增加軸向預緊力能增加軸承的運動穩定性。但過大的軸向預緊力會降低軸承的傳動效率，增加軸承的磨損，應在滿足軸承運動穩定性的條件下，選擇較小的軸向預緊力。

2.3 接觸角影響分析

δz＝15.0μm時，改變接觸角α，得到處于不同運動狀態的軸承相圖和Poincane圖。接觸角α分別為 15°，20°，25°時，得到相圖 Poincane圖分別如圖9—圖11所示。相圖均為一條封閉曲線，周期軌跡在穿越Poincane截面時為有限個不動點，表明軸承處于周期運動狀態。接觸角增加時，球與內圈接觸，無碰撞發生。接觸角α＝30°時，軸承振動特性如圖12所示，相軌跡為不規則形狀封閉曲線，Poincane映射圖呈現一定的規律，表明軸承處于典型準周期運動狀態。接觸角α＝35°時，由軸承振動特性圖（圖13）可知，軸承處于典型混沌運動狀態。

圖9 α＝15°時軸承振動特性Fig.9 Vibration characteristics of bearing when α＝15°

圖10 α＝20°時軸承振動特性Fig.10 Vibration characteristics of bearing when α＝20°

圖11 α＝25°時軸承振動特性Fig.11 Vibration characteristics of bearing when α＝25°

圖12 α＝30°時軸承振動特性Fig.12 Vibration characteristics of bearing when α＝30°

圖13 α＝35°時軸承振動特性Fig.13 Vibration characteristics of bearing when α＝35°

接觸角增加時，軸承由穩定的單周期運動狀態經倍周期分叉進入多周期運動狀態，然后經過Naimark-sacker分叉，經過不穩定吸引子最終進入混沌運動狀態。接觸角較大時，球與軸承內圈發生相互碰撞，軸承處于不穩定狀態。較大的接觸角會降低軸承徑向承載能力，并影響軸承的傳動平穩性，故應選擇較小的接觸角。

3 結論

根據角接觸球軸承動力學模型，建立軸承的非線性動力學微分方程組，并對其非線性動力學特性進行分析，得到如下結論：

1）增加軸向預緊量，能夠減小軸承的振動響應幅值，提高軸承的運動穩定性。隨軸向預緊量減小，軸承響應幅值逐漸變大，并由單周期運動經倍周期分叉進入多周期運動，然后經準周期運動進入混沌運動。在滿足軸承運動穩定性的條件下，為保證軸承的使用壽命和軸承的傳遞效率，應選擇較小的軸向預緊力。

2）增加接觸角，軸承的振動響應幅值增加，軸承的運動穩定性降低。隨接觸角增加，軸承響應幅值逐漸變大，并由單周期運動經倍周期分叉進入多周期運動，然后經過不穩定吸引子最終進入混沌運動狀態。為保證軸承的傳動平穩性，應選擇較小接觸角。