談談對數學思維斷層現象的分析及思考

劉雅蘭

數學教育是數學活動的教育，也是思維活動的教育，保持思維活動的連續性、層進性對于學生清晰地理解問題，把握知識的核心和本質，并且為后續學習掃清障礙，提供支撐都是非常有價值的。本文從三個課例談對思維斷層性分析及策略的思考。

課例一：“乘法的初步認識”。

環節一：出示小飛機圖（圖一），小飛機里共有多少人？

生（1）：15人。

生（2）：3+3+3+3+3=15。

生（3）：還可以用三五十五。

師：這是什么意思？

生：用乘法來計算。

師：乘法？什么情況下用乘法？怎樣用乘法呢？

環節二：展開圖二（右圖），圖三（下頁左圖）的教學，用這樣的思維形式引領學生的思考。

生：3+3+3+3+3，一共有5個3，就用5×3來表示。（教師給予及時鼓勵。）

課例二：“5的乘法口訣”。

師：現在已經秋季了，小松鼠開始準備過冬的食物了，看看這一地的松果，你能幫小松鼠數數有多少松果嗎？

生說可以5個5個數，邊敘述邊圈畫數松果的過程。

師：為了看得清楚，一目了然，老師把這些松果在圈的基礎上擺一擺（擺出主題圖），這樣清楚了嗎？

課例三：“乘加、乘減的教學”。

教師讓學生觀察并解決實際問題，要知道圖中圓圈的個數，我們怎么辦？

方法一：10+9。

方法二：4×4+3。

方法三：9×2+1。

方法四：10×2-1。

學生找到好多方法來表達自己的思考，課堂比較活躍。然后老師出示一個新的與例題相似模式的圖片，讓學生在獨立解決問題的過程中夯實新知。

課例分析：

一、 關于乘法意義的認識的思維斷層型分析

我們在課例一中看到，教材中和教師課堂教學中所倡導的均是這樣的一個思維層次，相同加數的加法——幾個幾——乘法算式。這樣的教學中的思維是否是連貫的，是否是清晰的？筆者認為不然。

我們思考原來對于此部分教學，非常強調每份數與份數，而且一定把每份數寫在乘法算式中前面的位置，等到學習乘法交換律的時候，再強調兩個乘數的位置可以互換。后來教材發生了變化，根據一個加法算式可以寫出兩個乘法算式，不強調乘數的位置?，F在教材這樣處理，我們認為它是把這樣兩個教學進行合理性整合，沒有先過分地強調位置，然后再強調位置可互換。這樣的處理方式，簡化了教學過程，減輕了學生的學習負擔。但這樣教學是否會缺失一些思考呢？筆者認為我們的乘法學習不僅要讓學生了解相同的加數可以用乘法來計算，還應該對乘法的結構及意義進行深入的思考。如在教學中，應該滲透這里的相同的加數是3，有5個這樣的加數，這樣就形成一種新的思維路徑。

這樣增加一個思維點的價值是：

1. 實現加法算式與乘法算式的溝通。

雖然如上面例子中的加法算式可以寫成兩個乘法算式，但學生要明白這里相同的加數是“誰”，相同加數的個數是“誰”。這樣學生說到“5個3”的時候，知道這里的每一份是3，有這樣的5個3。也就是雖然我們不強調應該把相同的加數放在乘法算式前面的位置，但是我們要知道誰是相同加數，這樣相同加數的個數有幾個。其實這樣一個過程就是把以乘法為背景的情境進行抽象，讓學生借助乘法的背景更好地理解乘法的意義，從而為將來學生用乘法的意義解決實際問題提供了支撐。

2. 乘法模型的構建為結構化的認知提供支撐。

乘法學習的價值在于可以借助乘法解決生活中的許多問題，比如行程問題、植樹問題、工效問題、價格問題等。在特定情境中，對相關術語的理解可以依托于乘法基本意義的理解。比如行程問題中的速度、時間和路程。這里的速度既是單位時間內走的長度，其實就是每份數，時間既是有這樣的幾份，就是份數。溝通了這樣的聯系，在乘法的意義的這部分教學就讓學生對于相同加數及相同加數的個數有了清晰的認識，在今后的教學時，就可以借助這樣的模型進行教學，形成結構化的統一體系，便于學生構建新知，形成對知識體系的清晰的理解和認識，降低學習的復雜性。

二、 關于乘法口訣學習過程中思維連續性的分析

在課例二中教者呈現一個比較亂的擺放的松果圖，讓學生思考“我”怎樣能很快地知道一共有多少個松果。教者這樣做的意圖是什么？這里蘊含著什么樣的思考？為什么教者強調讓學生圈一圈、畫一畫？

1. 在真實的現實問題中思考。

人教版教材中給的一套福娃（圖四），可以說蘊含了幾個5的思考。那為什么教者給的是散亂的松果？筆者覺得這恰恰是教者還原真實的現實。我們在生活中數物體的個數的時候，物體多半處于零散的狀態。在這種情況下，我們怎樣處理呢？能直接用乘法？恐怕是不能的，這里必須有一個思維過程，就是分，而且是等分，實際上學生遇到這個問題的時候往往不是分成10個一組，因為這樣對于他們來說每一份比較多。他們往往選擇的是5個一組，比較好分，也比較好數。教者創造這樣一個情境就是還原現實情境，讓學生經歷畫一畫、圈一圈的過程，感受思維連續性的發展過程，獲得活動的良好經歷和體驗。

尤其這里滲透一個解決數學問題的策略就是“尋求同一性”，即如果面對比較復雜的問題，我們怎樣把比較復雜的數據或問題變成“單一數據”或“單一情境”，通過簡化問題，最后尋求問題的解決，這樣的簡單的處理是對學生思維方式和習慣的引領。

2. 關于乘法本質的實踐性認識。

看似簡單的圈一圈，我們發現這恰恰是乘法本質的實踐性認識，就是加法與乘法的不同之處是什么?？赡艽蠹艺f，加法是加數不多，而且加數都不相同；乘法是加數都相同，或可以創造出相同加數。其實，筆者覺得可以再深入思考下，加法是相同計數單位的累積和疊加。如23+35，2個十與3個十的疊加，3個一與5個一的疊加。乘法是在計數單位的基礎上進行拓展，可以若干個“標準”為基數的累積和疊加，如案例二中，就是5個為基數，1個5，2個5……若以計數單位累積的話比較容易計算，如幾個1就是幾，幾個十就是幾十。若以非計數單位累積和疊加，就非常不好計算，乘法口訣恰恰為這個過程提供了支撐，這也恰恰是乘法口訣學習的價值所在。

看似一個簡單的處理，里面濃縮著教者對課程的理解及教材本質的認識和分析。所以，我們也經常說對教材的處理要深入淺出，就是對教材本質要有深入的認識，又要在課堂呈現上有一個簡單的載體去呈現，使學生能夠通過這樣的環節對知識有深入的認識，從而為后續的學習提供強有力的支撐。

三、 關于乘法的運用過程中思維軌跡的分析

在課例三中，我們看到教師創設了一個情境，讓學生在情境中運用所學的知識來解決問題，那從提取情境中的數學信息到運用所學的乘法知識來解決問題的過程中，我們潛藏的思維路徑是什么呢？在思維的過程中怎樣把“隱形”的思維顯性化呢？

1. 讓數形結合成為顯性化的手段。

借助“數形結合”，讓學生的思考及對問題的認識清晰化。如在課例三中讓學生的每一次思考都要有形的助力。

讓學生動手、動腦把“形的個數”借助“數”來抽象表達，把問題的解決，借助“形”來支撐。讓學生在形與數的相互借力中完成對問題的解決，也讓學生的思維在多種方式的表達中清晰呈現。

2. 借助語言的描述讓思維清晰化。

在學習過程中讓學生思維清晰化、條理化的另一個重要策略就是讓學生學會用語言來表達數學。我們經常會發現一個現象，就是隨著年齡的增長，想表達的學生越來越少，更有一個現象就是當我們讓學生提出問題的時候，學生多半說不清楚、說不出來。

讓學生用自己的語言來表達數學是非常有價值的，我們說思維是隱形的，如何讓思維顯性化，那就需要語言作為思維的載體，通過語言的表達讓思維過程彰顯出來。讓學生用語言表達思維的過程是讓他組織自己的語言，捋順自己的思維，以期通過有理有據的表達讓他人能聽清楚，久而久之就會形成一種有條理的思維習慣，從而變成一種能力。這種思維的條理性、清晰性、外顯性是學生數學核心素養的綜合體現。

我覺得讓學生能說、善說需要有相應的訓練。對學生的表達訓練需要階段性，敢說——想說——會說——善說。

敢說——在學生最開始學習的時候，就讓他能夠安全地去表達，讓他知道，只要他表達就會得到教師的欣賞，為他的敢說提供一種生態氛圍。

想說——多利用贊賞的評價方式給予及時的鼓勵，同時采用多種方式鼓勵學生參與到說的過程中，通過小組互說做好準備，再到群體中分享，讓他養成先準備充分，再積極表達的意識。

會說——教師的及時指導對于學生正確的表達非常重要。對于在發言過程中能有自己個性思考，對發言過程中能夠針對問題集中研究，關注點清晰準確的學生及時鼓勵。并對哪些觀點和方法好給予提煉，給他們一個正確的導向，讓他們學會如何去表達。

善說——教師從學生說的層次、說的方法上進行指導的同時，也可以教會他們在說的過程中借助某種方法和策略，比如上面提到的數形結合、舉例說明等等。

學生在年紀小的時候，就潛移默化地開始訓練，這樣就可以漸漸形成會說的能力，能清晰表達“我”想的是什么，“我”什么沒有弄懂，就不會進行“啞巴式學習”，提不出自己的問題和觀點，也會讓教師在他的表述過程中看到他思維的痕跡，使之成為教育的起點，真正為學生提供有效教學的基本素材。

3. 解決問題策略的多樣性的共性提煉。

在上面課例中，教師提供學生學習的情境，并讓學生多樣化的表達，在這個多樣化表達之后，教師經常少做一件事，就是共性和個性的對比分析。如在上面學生回答了多種方法之后，教師要引導學生思考，適時提出問題，這些方法之間有什么聯系和區別呢？實際這里的聯系就是在情境中尋找相同的每份（如圖五）。如果圖中物品的數量太多，直接數比較困難，我們就可以把圖中的物品進行分割，分割成若干份，每一份都一樣多問題就比較好解決了。分割的過程就是創造用乘法來解決問題的機會。分割后，我們只要數出有一份是幾，有幾份就可以用乘法來解決。

在上述方法進行對比后，我們還能發現在分割的過程中解決問題的共性都是找到每份和份數，但是不同點就是思考問題的方式分成兩大類，一個是“余”，一個是“補”。在對比的過程中學生對于解決問題的方法就有一個比較清晰的認識。

這個比較的過程，就是結構化認知的過程。學生在知識點相互勾連的過程中，把握知識的核心和本質，讓解決問題的方法、策略和經驗與原有的認知結構發生聯系，從而變成學生個體的經驗和感悟，從而成為他們的素養和能力。

編輯/魏繼軍