淺析可逆矩陣的相關結論及應用

孫傳光 侯林林

摘 要：可逆矩陣是線性代數中的重要內容，是歷來研究生入學考試中重點考察的內容之一。本文對于與可逆矩陣的相關結論，包含與行列式、矩陣的秩、向量組、線性方程組、特征值的關系進行分析與總結，并通過例題來探討它們的應用。

關鍵詞：可逆矩陣；行列式；矩陣的秩；線性方程組；特征值

一、可逆矩陣的定義

設A為n階方陣，若存在n階方陣B，滿足AB=BA=E，則稱矩陣A是可逆的，B為A的逆矩陣，記為A-1=B，這里E表示單位矩陣。（關于可逆矩陣，給出如下說明：可逆矩陣又可稱為非退化矩陣，非奇異矩陣，滿秩矩陣；可逆的定義是相對的，即若B為A的逆，則A也為B的逆；可逆矩陣的記法為A-1，而不能寫成1A。本文中所提矩陣A如果沒有特別說明，都是指n階方陣A。）

二、與可逆矩陣相關的結論

這一部分分別給出矩陣可逆與行列式、矩陣的秩、向量組、線性方程組、特征值的關系。

1.與行列式的關系

方陣A可逆的充分必要條件是|A|。（當A可逆時，可利用此結論得到A的逆：A-1=A*|A|，其中A*是A的伴隨矩陣。由此可進一步得到AA*=|A|E）

2.與矩陣的秩的關系

（1）方陣A可逆的充分必要條件是方陣A的秩r（A）=n，其中r（A）表示矩陣A的秩。

（2）設A是m×n矩陣，P是m×m可逆矩陣，Q是n×n可逆矩陣，則有r（A）=r（PA）=r（AQ）=r（PAQ）

3.與向量組的關系

A可逆的充分必要條件是A的列向量組線性無關，A的行向量組線性無關。（此結論的逆否命題為：A不可逆的充分必要條件是A的列向量組線性相關，A的行向量組線性相關。）

4.與方程組解的關系

線性方程組Ax=b對任意的b都有解的充分必要條件是方陣A可逆。

充分性證明：因為A可逆，從而對任意的b，方程組Ax=b的解為x=A-1b。必要性證明：由題意，方程組Ax=b對任意的b都有解，取ε1=（1，0，…，0）T，ε2=（0，1，…，0）T，…，εn=（0，…，0，1）T，則對方程組Ax=ε1，i=1，2，…n，有解x1，滿足Ax1=ε1，i=1，2，…n，從而有A（x1，x2，…，xn）=（ε1，ε2，…，εn）=E。令X=（x1，x2，…，xn），即AX=E。兩邊同時取行列式，得到|A||X|=1，從而|A|≠0，說明A可逆。（對于齊次線性方程組Ax=0，上述定理的逆否命題可以敘述為：齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是方陣A不可逆。）

5.與矩陣方程的關系

（1）對于矩陣方程AB=C，若A可逆，則有B=A-1C。

（2）若A可逆，且AB=0，則B=0。

6.與特征值的關系

（1）A可逆的充分必要條件是A的特征值均為非零的。

（2）設A的特征值分別為λ1，λ2，…，λn，則當A可逆時，A-1的特征值分別為λ1-1，λ2-1，…，λn-1。

三、可逆矩陣的應用

針對以上結論，這一部分，我們通過一些習題來看可逆矩陣的應用。

1.設A是n階可逆矩陣，A*是A的伴隨矩陣，則（ ）。

（A）|A*|=|A|n-1 （B）|A*|=|A|

（C）|A*|=|A|n（D）|A*|=|A-1|

解析：此題考查矩陣A可逆與行列式不等于零的關系。對AA*=|A|E兩端同時取行列式可得|A||A*|=|A|n，再由A可逆可得|A|≠0，從而|A*|=|A|n-1，選（A）。

2.設A是n階可逆矩陣，是A的一個特征值，則A的伴隨矩陣的特征值之一是（ ）。

（A）λ-1|A|n（B）λ-1|A|

（C）λ|A|（D）λ|A|n

解析：此題考查矩陣可逆與特征值的關系，以及特征值的性質。首先，由A可逆可得A的特征值均為非零的。進一步，根據特征值與特征向量的關系有Ax=λxA*（Ax）=A*（λx）|A|x=λ（A*x）A*x=|A|λx，從而選（B）。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]甘志雄，等.線性代數典型例題與解法[M].長沙：國防科技大學出版社，2004.

[3]上海交通大學數學系.線性代數習題與精解[M].上海：上海交通大學出版社，2005.

作者簡介：孫傳光（1980— ），男，山東曲阜人，碩士，山東水利職業學院講師；侯林林（1982— ），女，山東泰安人，博士，曲阜師范大學信息科學與工程學院副教授。