以角接觸球軸承剛度為目標(biāo)函數(shù)的主參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

羅天宇，孫東

(1.河南科技大學(xué)，河南 洛陽 471003；2.洛陽軸承研究所有限公司，河南 洛陽 471039)

滾動軸承在使用過程中最常見的失效形式為疲勞失效。為防止軸承失效，延長軸承使用壽命，一般采用額定動載荷為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行軸承主參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)[1]。但隨著軸承材料、工藝和應(yīng)用水平的提高，軸承的壽命有了大幅度提高，在某些應(yīng)用場合軸承壽命不再是設(shè)計(jì)時主要考慮的因素：舍弗勒認(rèn)為在高速精密角接觸球軸承實(shí)際應(yīng)用中因疲勞失效而導(dǎo)致失效的比例很小[2]；NSK在設(shè)計(jì)高速精密角接觸球軸承ROBUST系列產(chǎn)品時，采取減小球徑、增加球數(shù)的設(shè)計(jì)方案，基本額定壽命雖減小，但軸承剛度和高速性能很好地滿足了軸承的應(yīng)用需求[3]。國內(nèi)對該問題還未引起足夠的重視，在設(shè)計(jì)時往往還是以追求軸承壽命最大為目標(biāo)。鑒于此，以角接觸球軸承為例，并以軸向剛度為目標(biāo)函數(shù)對軸承主參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 軸向剛度

在純軸向載荷Fa作用下， 軸承產(chǎn)生軸向位移δa，內(nèi)圈溝曲率中心由Oi移動到O′i，接觸角由α變?yōu)棣痢洌鐖D1所示，Oe為外圈溝曲率中心。球在法向的位移為

圖1 軸向載荷與軸向位移關(guān)系Fig.1 Relationship between axial load and axial displacement

δn=δasinα′。

(1)

根據(jù)Hertz接觸理論可得球的法向接觸載荷為

(2)

式中：Z為球數(shù)；kn為法向接觸系數(shù)，其值可通過文獻(xiàn)[4]得到。

由(2)式可得

(3)

則軸向剛度為

(4)

由(3)式可得

(5)

將(5)式代入(4)式可將剛度表示為Fa的函數(shù)，即

(6)

由(6)式可知在計(jì)算軸向剛度時需確定α′，由圖1幾何關(guān)系可得

L=Acosα=A′cosα′，

(7)

式中：fi,fe分別為內(nèi)、外圈溝曲率半徑系數(shù)；Dw為球徑。

由(7)式可得

(8)

則法向位移δn為

(9)

由(2)，(9)式可得

(10)

通過(10)式進(jìn)行迭代求解即可求得實(shí)際接觸角。

2 主參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

角接觸球軸承往往成對組配使用，在使用過程中可施加軸向預(yù)載荷以提高軸承剛度。在已知Fa=F0(軸向預(yù)載荷)的情況下，以軸向剛度為目標(biāo)函數(shù)對主參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，目標(biāo)函數(shù)為

G(Dw,Z,Dpw,fi,fe,α,F0)?max(Ka)，

(11)

式中：G為主參數(shù)的組合;Dpw為球組節(jié)圓直徑。

主參數(shù)fi,fe和α可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定，只需優(yōu)化Dw，Z和Dpw。其中Dw和Z按GB/T 308.1—2013 《滾動軸承 球 第1部分:鋼球》選取，均為離散變量。采用局部網(wǎng)格法進(jìn)行離散變量系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)[5]，圖2為局部網(wǎng)格法的說明，圖中Dw0和Z0是球徑和球數(shù)的初值，在其鄰近取幾組數(shù)值，這幾組數(shù)值的交點(diǎn)便構(gòu)成了局部網(wǎng)格系統(tǒng)，找出該系統(tǒng)中所有滿足約束條件的點(diǎn)分別計(jì)算剛度，剛度最大的幾組參數(shù)即為可選的設(shè)計(jì)主參數(shù)。

圖2 局部網(wǎng)格法示意圖Fig.2 Diagram of local mesh method

球徑Dw、球數(shù)Z、保持架最小梁寬bmin、球組節(jié)圓直徑Dpw的約束條件分別為

k1(D-d)

(12)

(13)

(14)

0.5(D+d)≤Dpw≤k4(D+d)，

(15)

式中： 系數(shù)k1,k2,k3根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定；D為軸承外徑；d為軸承內(nèi)徑;k4≤0.51。

各參數(shù)初值如下[3]

Dw0=0.5(k1+k2)(D-d)，

(16)

Z0=πDpw/(k3Dw),

(17)

Dpw0=0.5(D+d)。

(18)

3 實(shí)例分析

以7010C角接觸球軸承為例，主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為：d=50 mm，D=80 mm，α=15°，fi= 0.52，fe=0.53，F(xiàn)0=150 N。經(jīng)驗(yàn)系數(shù)：k1=0.2，k2=0.32，k3=1.2，k4=0.51，bmin=2 mm。采用11×11網(wǎng)格系統(tǒng)，共計(jì)算121組參數(shù)，在滿足約束條件的參數(shù)組中輸出剛度值最大的10組，見表1。由于軸承組配使用，表中組配軸承剛度為單列軸承的2倍[6]。為了對比，以額定動載荷Cr為目標(biāo)函數(shù)也進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，額定動載荷最大的10組結(jié)果見表2。

表1 以軸承剛度為目標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Optimal results using bearing stiffness as objective

表2 以額定動載荷為目標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimal results using dynamic load as objective

從表1和表2可以看出，以軸承剛度為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時，要減小鋼球直徑，增加球數(shù)；以額定動載荷為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時，則要增大鋼球直徑，減少球數(shù)。從(6)式中也可以看到：影響剛度的主要因素為Z，增大剛度必然要增加球數(shù)，同時減小球徑；根據(jù)GB/T 308.1—2013可知，影響額定動載荷的主要因素為Dw，增大額定動載荷必然要增大球徑，同時減少球數(shù)。高速精密主軸軸承一般在輕載狀態(tài)下工作，壽命都能滿足要求，而更多的要考慮軸承剛度和高速性能，這就要求軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)時，在滿足軸承壽命的前提下要適當(dāng)?shù)臏p小球徑和增加球數(shù)。

4 結(jié)束語

以7010 C角接觸球軸承為例，推導(dǎo)了軸承剛度的計(jì)算表達(dá)式，并建立了以軸承剛度為目標(biāo)的函數(shù)對角接觸球軸承進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。對于高速精密角接觸球軸承，更多的要考慮軸承剛度和高速性能，這就要求軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)時，在滿足軸承壽命的前提下要適當(dāng)?shù)臏p小球徑和增加球數(shù)。分析結(jié)果可為角接觸球軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。