“化整為零”在概率論教學中的應用

王曉

摘要：本文淺談如何將“化整為零”的思想方法巧妙地融入概率論課程教學中，特別是在學習全概率公式以及隨機變量分布函數這兩個重要知識點過程中，同時強調該思想方法在該門課程中的重要性。

關鍵詞：全概率公式；分布函數；離散型隨機變量；連續型隨機變量

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）26-0214-02

一、引言

笛卡爾在《方法論》[1]一書中指出對于復雜的問題，盡量分解為多個小問題來研究，一個一個解決，直至解決復雜問題，這就是“化整為零”的思想以及分析技巧。在概率論學習過程中，存在一些比較困難、難以掌握的問題，其中，全概率公式以及隨機變量分布函數的確定一直是概率論課程教學中的重點和難點，學生們通常理解不到位。在全概率公式和隨機變量分布函數的教學過程中，引入“化整為零”思維，也就是先了解整體，再把整體分割成部分，通過各部分問題的解決，最后解決整體問題的思想，向學生滲透“化整為零”的思想方法，有助于解決復雜的問題，方便學生掌握全概率公式以及隨機變量分布函數。同時，提高學生對知識的應用能力，碰到復雜問題不會有那種無從入手的感覺，從而促進概率論課程的教學質量的提高，而且培養學生的數學品質與數學思維。

二、全概率公式

定義2.1[2]：設隨機試驗E的樣本空間為Ω，A1，A2，…，An，…為E的一組事件，且滿足：

（1）互不相容性：AiAj=？堙，i≠j，i，j=1，2，…；

（2）完全性： A =Ω；

（3）非負性：P（A ）>0；

那么對于E的任一事件B，有：

P（B）= P（A ）P（B|A ）. （1）

通常稱公式（1）為全概率公式。全概率公式借助樣本空間Ω的一種劃分A1，A2，…，An，…，把一個復雜事件B分解成若干個互不相容的事件BA1，BA2，…，BAn，…，然后借助概率的加法公式，最后每一小事件BAi的概率由概率的乘法公式給出。顯然：這些互不相容的事件BAi可以看作是組成個復雜事件B的各個小部分，當每小部分的概率計算問題解決了，整個問題進而解決。

這里，全概率公式采用“化整為零”的數學思維，在復雜的事件中把一個個小的知識點抽取出來，逐個一一突破，從而使復雜的問題輕而易舉地解決，并且使解決問題的過程的條理也比較清晰。

三、隨機變量的分布函數

定義3.1[3]：設X是一個隨機變量，稱

F（x）=P{X≤x}

為X的分布函數。

定義3.2[3]：一維離散型隨機變量X的概率分布為：

此時，X的分布函數為：

F（x）=P{X≤x}= p . （2）

定義3.3[3]：二維離散型隨機變量（X，Y）的概率分布為：

此時，（X，Y）聯合分布函數為：

F（x，y）=P{X≤x，Y≤y}= p . （3）

由公式（2-3），不難發現：對于離散型隨機變量，在計算其分布函數時，采用“化整為零”思想，首先尋找滿足一定條件的pi或者pij，然后進行求和，最終給出分布函數的表達式。

此外，對于帶有概率密度函數f（x）的一維連續型隨機變量X的分布函數為：

F（x）=P{X≤x}= f（t）dt. （4）

對于二維連續型隨機變量（X，Y），當其密度函數為f（x，y）時，其分布函數為：

F（x，y）=P{X≤x，Y≤y}= f（s，t）dsdt. （5）

由公式（4-5），不難發現：對于連續型隨機變量分布函數的計算，仍然采用“化整為零”思想，首先尋找滿足一定條件的f（x）或者f（x，y），然后進行積分，最終給出分布函數的表達式。

通過分析全概率公式以及分布函數，我們發現，概率論中某些知識點，雖然其表面形式很復雜，但是其本質總是存在簡單的一面，教學過程中引導學生認真觀察、分析問題，找到問題的本質特征，尋求簡潔解法和思路。在概率論教學中向學生們滲透“化整為零”的思想方法，不僅僅是為了解決一個或若干個具體問題，更重要的是培養學生的思維能力和推理能力。同時，培養學生在今后的實際生活中處理復雜問題的能力。

四、結語

針對概率論中全概率公式以及隨機變量分布函數的計算問題進行研究，本文發現這兩個重要知識點采用“化整為零”的數學思維。在概率論教學過程中，將“化整為零”的思想應用于抽象難懂枯燥的知識點講解中，有助于學生對該門課程知識的掌握，促進概率論課程的教學質量的提高，同時對于學生自學能力的培養有一定幫助。

參考文獻：

[1]笛卡爾.方法論[M].彭相基，譯.商務印書館.

[2]魏宗舒等.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，1983.

[3]同濟大學數學系編.概率論與數理統計[M].北京：人民郵電出版社，2017.